Транспортная задача и методы ее решения.

Классическая транспортная задача заключается в нахождении оптимальных грузопотоков, т.е. в оптимальном закреплении поставщиков однородного груза за потребителями. В математической форме условия транспортной задачи выглядят следующим образом: потребителям В₁, В₂, ..., В_j, ..., В_n требуется однородный продукт (груз) в количествах соответственно b₁,b₂,..,b_j,..,b_n тонн, который производится (или хранится) у поставщиков А₁,А₂,..,А_i,..А_m в количествах а₁, а₂, ...,а_i, ..., а_m тонн. Известны (i=1,2,…,m; j=1,2,…,n)- стоимости перевозки единицы груза от каждого i-го поставщика каждому j-му потребителю. Расстояния между отправителями и получателями груза известны. Требуется составить такой план перевозок грузов, который обеспечит удовлетворение запросов всех потребителей при минимальной транспортной работе. Переменными(неизвестными) транспортной задачи являются (i=1,…,m;i=1,2,…,n)- объемы перевозок от каждого i-го поставщика каждому j-му потребителю. Эти переменные могут быть записаны в матрице перевозок . Математическая модель транспортной задачи в общем случае имеет вид: (1.1). i=1,2,…,m,(1.2). j=1,2,…,n,(1.3). i=1,2,…,m; j=1,2,…,n.(1.4). Целевая функция задачи (1.1) выражает требования обеспечить минимум суммарных затрат на перевозку всех грузов. Первая группа из т уравнений (1.2) описывает тот факт, что запасы всех т поставщиков вывозятся полностью. Вторая группа из n уравнений (1.3) выражает требования полностью удовлетворить запросы всех n потребителей. Неравенства (1.4) являются условиями неотрицательности всех переменных задачи. Таким образом, математическая формулировка транспортной задачи состоит в следующем: найти переменные задачи i=1,2,…,m; j=1,2,…,n, удовлетворяющее системе ограничений (1.2), (1.3), условиям неотрицательности (1.4) и обеспечивающее минимум целевой функции (1.1). В рассмотренной модели транспортной задачи предполагается, что суммарные запасы поставщиков равны суммарным запросам потребителей, т.е. . Такая задача называется задачей с правильным балансом, а ее модель- закрытой. Для того чтобы транспортная задача линейного программирования имела решение, необходимо и достаточно, чтобы суммарные запасы поставщиков равнялись суммарным запросам потребителей, т.е. задача должна быть с правильным балансом. Если транспортная задача не сбалансирована, то возникают особенности в ее решении. Особенности решения транспортных задач с неправильным балансом: 1.Если суммарные запасы поставщиков превосходят суммарные запросы потребителей, т.е. то необходимо ввести фиктивного (n+1)-го потребителя с запросами равными разности суммарных запасов поставщиков и запросов потребителей, и нулевыми стоимостями перевозок единиц груза

2. Если суммарные запросы потребителей превосходят суммарные запасы поставщиков, т.е. то необходимо ввести фиктивного (m+1)-го поставщика с запасами равные разности суммарных запросов потребителей и запасов поставщиков, и нулевыми стоимостями перевозок единиц груза