Стохастические сетевые модели.

До сих пор мы рассматривали модели с детерминированной топологией сети. При моделировании сложного проекта нередко наиболее гибкими и полезными оказываются сетевые модели со стохастической структурой. Стохастическую сеть определяют как сеть, содержащую альтернативные узлы (состояния), при этом дуги (работы) характеризуются не только вероятностным распределением продолжительности, но и вероятностью их выполнения.

Стохастическая сетевая модель с множеством возможных исходов, являясь дальнейшим развитием традиционных сетей, дает возможность полнее отобразить процесс разработки и создания сложного проекта. Применяемый для анализа стохастических сетевых моделей математический аппарат позволяет вычислять вероятности различных альтернативных исходов, оценивать время их возможной реализации.

Стохастическая сетевая модель есть конечный граф G=(W,А), где W– есть множество детерминированных и альтернативных вершин, отождествляемых с событиями, а технологическая матрица А={p_ij} задает множество ориентированных дуг, отождествляемых с работами (или связями). Для стохастических сетей 0£ p_ij £ 1, причем p_ij =1 определяет работу (i,j) аналогично принятым в традиционных сетях определениям, а

0 < p_ij < 1 соответствует альтернативному событию i, из которого с вероятностью p_ij «выходит» работа (i,j). Другими словами p_ij – вероятность того, что работа (i,j) будет выполнена при условии, что узел i выполнен.

Пусть j(t_ij) – плотность распределения времени выполнения работы (i,j). М[х] – математическое ожидание случайной величины х.

Вводится условная производящая функция моментов случайной величины t_ij как М_ij(s)=М[е^stij], т е.

М_ij(s)= ò е^stijj(t_ij)dt_ij (для непрерывной случайной величины),

å е^stijj(t_ij) (для дискретной случайной величины).

В частности, М_ij(s)=М[е^sа] = е^sа при t_ij=а=const, М_ij(0)=1.

Для каждой дуги (i,j) определяется Y–функция как

Y_ij(s) = p_ijМ_ij(s).

Исходная сеть преобразуется в эквивалентную, используя три базисных преобразования:

· последовательные дуги,

· параллельные дуги,

· петли.

Для последовательных дуг (рис.7)

Y_ij Y_jk

Рис. 7

Y_ik(s) = Y_ij(s)Y_jk(s).

Для параллельных дуг (рис.8)

Y_a

Y_b Рис. 8

Y_ij(s) = Y_a(s) +Y_b(s).

Для петель вида (рис. 9)

Y_a

Y_b

Рис. 9

Y_ij(s) = Y_b(s)/[1 - Y_a(s)].

Комбинируя базисные преобразования, любую сеть можно преобразовать в эквивалентную сеть, состоящую из одной дуги (Е-дуги).

Цель временного анализа стохастической сети состоит в вычислении математического ожидания и дисперсии времени выполнения сети (или любого ее фрагмента) и вероятности выполнения заключительного (или любого другого события) сети.

Здесь используется теория замкнутых потоковых графов[6], где введенная выше Y–функция трактуется как соответствующий коэффициент пропускания дуги. Для применения результатов этой теории к открытой сети с искомым параметром Y_Е(s) вводится дополнительная дуга с параметром Y_А(s), соединяющая конечное событие (сток) с начальным (источником).

Затем используется топологическое уравнение для замкнутых графов, известное как правило Мейсона, следующего вида:

1 – åТ(L₁) + åТ(L₂) – åТ(L₃) +…+ (-1)^måT(L_m) + … =0, (10)

где åT(L_m) – сумма эквивалентных коэффициентов пропускания для всех возможных петель m–го порядка.

Эквивалентный коэффициент пропускания для петли m–го порядка равен произведению коэффициентов пропускания m не связанных между собой петель первого порядка, т.е.

T(L_m)=Õ^m _k=1T_k.

Непосредственно из правила Мейсона следует, что 1–Y_А(s)Y_Е(s)=0 или Y_А(s)=1/Y_Е(s). Используя данный результат, в топологическом уравнении (10) Y_А(s) заменяется на 1/Y_Е(s) и затем оно решается относительно Y_Е(s), тем самым получается эквивалентная Y–функция для исходной стохастической сети.

Поскольку Y_Е(s) = p_ЕМ_Е(s), а М_Е(0)=1, то p_Е=Y_Е(0), откуда следует, что

М_Е(s)= Y_Е(s)/p_Е =Y_Е(s) /Y_Е(0). (11)

После получения аналитического выражения для М_Е(s), вычисляют первую и вторую частную производную по s функции М_Е(s) в точке s=0, т.е.

m_1E=¶/¶s[М_Е(s)]_s=0 (12)

m_2E=¶²/¶s²[М_Е(s)]_s=0 (13)

Первый момент m_1E относительно начала координат есть математическое ожидание времени выполнения сети (преобразованной в эквивалентную ей Е-дугу), а дисперсия времени выполнения сети равна разности между вторым моментом m_2E и квадратом первого, т.е.

s²= m_2E – (m_1E) ². (14)

Таким образом, описанный выше аппарат позволяет вычислять временные параметры любых интересующих пользователя событий стохастической сети, а также определять вероятность их наступления.

Используя полученную информацию, можно с помощью неравенства Чебышева оценивать вероятность любых доверительных интервалов времени окончания проекта при произвольных законах распределения времени выполнения отдельных операций. Если время выполнения каждой операции имеет нормальное распределение, то результирующее время также нормально распределено. В этом случае можно получить вероятностные оценки времени выполнения проекта, используя интегральную теорему Муавра-Лапласа. Кроме того, при достаточно большом числе работ в сети и выполнении некоторых условий (в частности, независимость работ) можно использовать предельную теорему Ляпунова и считать результирующее время выполнения проекта нормально распределенной случайной величиной с характеристиками, вычисленными по выше описанной методике.

Таким образом, стохастическая сетевая модель включает все случайные отклонения и неопределенность, возникающие непосредственно во время выполнения каждой отдельной работы.

3.4. Формализация общей постановки задачи планирования работ при управлении проектами и описание универсальной сетевой модели и задач временного анализа, решаемых на ее основе

В результате анализа и синтеза вышерассмотренных моделей предложена универсальная математическая модель, при этом классические, обобщенные и стохастические сетевые модели являются ее частными случаями[3].

Данная модель (названная циклическая стохастическая сетевая модель - ЦССМ) является более гибким и адекватным инструментом для описания процесса управления разработкой сложного проекта.

ЦССМ представляет собой конечный, ориентированный, циклический граф G(W,A), состоящий из множества событий W и дуг (i,j)(события i, jОW), определяемых матрицей смежности А={p_ij}. 0Ј p_ij Ј1, причем p_ij =1 задает детерминированную дугу (i,j), а 0< p_ij <1 определяет альтернативное событие i, которое с вероятностью p_ij связано дугой с событием j. Множество дуг подразделяется на дуги-работы и дуги-связи. Первые реализуют определенный объем производственной деятельности во времени, второй тип дуг отражает исключительно логические связи между последними. Событиями могут быть как начала и окончания выполняемых работ, так некоторые их промежуточные состояния.

Обозначим через Т_i время свершения i-го события, тогда соотношение между сроками свершения событий, связанных дугой (i,j), задается неравенством:

Т_j – Т_i і y_ij , (15)

где y_ij в общем случае случайная величина, распределенная по некоторому закону в интервале от – Ґ до 0 или от 0 до +Ґ.

Кроме того, возможны абсолютные ограничения на момент реализации события i:

l_iЈ Т_i ЈL_i. (16)

Соотношения (15)-(16) являются обобщением соответствующих неравенств при описании обобщенных сетевых моделей, где параметр y_ij и матрица смежности А носят детерминированный характер.

Рассмотрим смысловую нагрузку соотношения (15) при вероятностном характере параметра y_ij.

Если (i,j) есть дуга-работа (или ее часть), то положительно распределенная случайная величина y_ij задает распределение минимальной продолжительности этой работы (связанной с максимальным насыщением ее определяющим ресурсом). В работе показано, что распределение величины y_ij является унимодальным и асимметричным, а данным требованиям удовлетворяет бета-распределение, таким образом, минимальная продолжительность работы есть случайная величина y_ij=t_min(i,j), распределенная по закону бета-распределения на отрезке [а, b] с плотностью

j(t)=С(t – a)^p-1(b – t)^q-1, (17)

где С определяется из условия

Если же случайная величина y_ij в (15), соответствующая дуге-работе (i,j), распределена в интервале от – Ґ до 0, то –y_ij=t_max(j,i) задает распределение длины максимального временного интервала, на протяжении которого работа (i,j) должна быть начата и окончена даже при минимальном насыщении ее определяющим ресурсом. Для этой величины получили ее распределение аналогичного вида (17). Зная распределение случайной величины y_ij для каждой работы (i,j), по соответствующим формулам вычисляются ее математическое ожидание и дисперсия.

Введение в (15) отрицательно распределенных величин y_ij для дуг-работ (i,j) существенно расширяет возможности описания временных характеристик работ, делая широко используемую вероятностную модель лишь одним из частных случаев.

Для дуг-связей (i,j) величина y_ij задает распределение временной зависимости между событиями i и j, причем положительно распределенная величина y_ij определяет взаимосвязь типа «не ранее» (событие j может наступить не раньше, чем через y_ij дней после свершения события i), а отрицательно распределенная величина y_ij определяет взаимосвязь типа «не позднее» (событие i может наступить не позже, чем через –y_ij дней после свершения события j). В последнем случае такие связи называют «обратными».

Таким образом, здесь мы получили обобщение этих связей с учетом возможно вероятностного их характера.

Так как сроки свершения событий Т_i определяются суммой продолжительностей работ, технологически им предшествующих, то при достаточно большом числе таких работ в соответствии с центральной предельной теоремой распределение случайной величины Т_i стремится к нормальному с параметрами – математическое ожидание MТ_i и дисперсия DТ_i. Нормальное распределение имеет и параметр y_ij, соответствующий «обратным» дугам, что также подтверждается статистическим анализом.

Абсолютные ограничения на сроки свершения событий, заданные (16), отражают соответствующие директивные, организационные и технологические ограничения на сроки выполнения работ или их частей, заданные в «абсолютной» (реальной или условной) шкале времени. Абсолютные ограничения также характеризуются типом «не ранее» или «не позднее» и принимает вид: Т_i – Т₀ і l_i , Т₀ – Т_i і –L_i. Таким образом, абсолютные ограничения вида (16) являются частным случаем ограничений вида (15) для определенных дуг-связей.

Введение стохастической матрицы смежности А в сочетании с обобщенными связями дает дополнительные возможности для описания процесса создания сложного проекта.

Пусть L(i,j) – некоторый путь, соединяющий события i и j:

L(i,j)={i=i₀®i₁®i₂®…®i_v=j}. (18)

Этот путь детерминированный, если для всех kО[1,v] справедливо pi_k-1i_k=1, и стохастический, в противном случае. Таким образом, стохастический путь содержит хотя бы одну дугу, вероятность «исполнения» которой строго меньше 1.

Аналогично определяется детерминированный и стохастический контур К(i)={i=i₀®i₁®i₂®…®i_v=i}. (такие события i называются «контурными»).

Если события i и j соединены путем L(i,j), то вероятность свершения события j при условии, что событие i произошло Р(j/i) есть произведение коэффициентов матрицы смежности А, соответствующих дугам связующего пути:

Р(j/i)=Х^v_k=1 p_ik-1ik. (19)

Если события i и j соединены несколькими путями, то выполняется эквивалентное GERT-преобразование данного фрагмента сети в соответствии с приведенными в работе формулами, вычисляется производящая функция Y_ij(s) преобразованного фрагмента, и вероятность свершения события j при условии, что событие i произошло Р(j/i)= Y_ij(0).

Первая производная функции Y_ij(s)/ Y_ij(0) по s в точке s=0 (первый момент m₁(j/i)) определяет математическое ожидание М(j/i) времени свершения события j относительно времени свершения события i. Вторая производная функции Y_ij(s)/ Y_ij(0) по s в точке s=0 (второй момент m₂(j/i)) позволяет вычислить дисперсию времени свершения события j относительно времени свершения события i по формуле

s²(j/i) =m₂(j/i) – (m₁(j/i))². (20)

Длина пути L(i,j) есть случайная величина, математическое ожидание которой МL(i,j) есть сумма математических ожиданий длин всех дуг, составляющих данный путь, а дисперсия DL(i,j) равна сумме дисперсий.

При этих условиях длина пути (контура) может принимать отрицательные значения, что интерпретируется следующим образом:

если L(i,j)<0 и дуга (j,i) имеет отрицательно распределенный параметр y_ji, то событие j должно свершиться не позднее чем через –y_ji дней после наступления события i. Параметр y_ji носит вероятностный характер, что позволяет более гибко (по отношению к циклическим сетевым моделям) описывать логико-временные связи между событиями.

В качестве параметра дуги y_ij можно рассматривать также любой характерный параметр, который обладает аддитивностью по дугам любого пути (например, стоимость работы), при этом с помощью эквивалентного GERT-преобразования получим математическое ожидание и дисперсию стоимости фрагмента сети или проекта в целом.

Задачи временного анализа ЦССМ (и алгоритмы их решения) так же, как и временной анализ классических, обобщенных или стохастических сетевых моделей, лежат в основе решения всех задач планирования и управления проектом. Они имеют самостоятельное значение при решении задач управления проектом без учета ограничений на ресурсы.

Задачи временного анализа также необходимы для генерирования различных вариантов плана при определенных значениях вектора наличия ресурсов с целью их последующего сопоставления, оценки качества вариантов плана и выбора направления его дальнейшего улучшения.

При решении задач оптимального планирования работ при управлении проектами алгоритмы временного анализа ЦССМ применяются как инструмент для вычисления необходимых параметров, используемых в соответствующих оптимизационных алгоритмах с целью обеспечения выполнения ограничений технологического характера.

Задача временного анализа ЦССМ сводится к нахождению случайного вектора Т=(Т₀,Т₁,…,Т_n), где Т_i есть время свершения i-го события, координаты которого удовлетворяют неравенствам (15),(16) и обращают в экстремум некоторую целевую функцию f(T).

Выделены три класса задач временного анализа:

· классические, в которых для вычисления {Т_i} используются математические ожидания продолжительностей всех дуг;

· вероятностные, в которых на основании предельной теоремы Ляпунова или другими аналитическими средствами вычисляются математические ожидания сроков свершения i–х событий – {МТ_i}, являющиеся аргументами целевой функции f(T);

· статистические, в которых для заданного уровня достоверности р по методике, описанной в работе[3], определяются р-квантильные оценки эмпирических распределений как сроков свершения i-х событий – {W_p(Т_i)}, так и производных от них величин, в том числе и значений целевой функции f(W_p(T)), где W_p(Т)={W_p(Т₀),W_p(Т₁),…,W_p(Т_n)}.

Вводится понятие непротиворечивости ЦССМ.

Циклическая стохастическая сетевая модель называется непротиворечивой, если найдется хотя бы один допустимый план, вычисленный для соответствующего класса задач временного анализа (классического, вероятностного или статистического), удовлетворяющий системе неравенств (15),(16).

Разберем эти три понятия.

Классическая непротиворечивость модели.

Вычисляются математические ожидания продолжительностей всех дуг, после чего образуется сеть с постоянными длинами дуг. Учитывая стохастический характер рассматриваемой модели и наличие обобщенных связей, в ЦССМ после проведенных выше вычислений могут иметь место стохастические и детерминированные контуры. Доказывается следующая теорема:

Теорема 1. Для того, чтобы циклическая стохастическая модель, в которой продолжительности дуг вычислены по классической схеме, была непротиворечивой с заданной вероятностью a, необходимо и достаточно, чтобы длины всех детерминированных контуров были не положительны.

Вероятностная непротиворечивость модели.

Вычисляются аналитическим способом математическое ожидание МТ_i и дисперсия s²Т_i сроков свершения событий. Вычисленные подобным способом параметры на 15-20% отличаются по величине от вычисленных классическим способом (по математическим ожиданиям продолжительностей дуг).

Будем говорить о вероятностной непротиворечивости модели в среднем, если полученный таким образом набор удовлетворяет неравенствам (15)-(16), где в качестве значения y_ij взято ее математическое ожидание. Доказана справедливость следующей теоремы:

Теорема 2. Для того, чтобы циклическая стохастическая модель была вероятностно непротиворечивой в среднем, необходимо и достаточно, чтобы математические ожидания длин всех детерминированных контуров были не положительны.

В предположении, что Т_i имеют нормальное распределение с параметрами: математическое ожидание – МТ_i и дисперсия – s²Т_i, введем более широкое понятие e-вероятностная непротиворечивость модели.

Будем говорить, что ЦССМ e-вероятностно непротиворечива, если существует e > 0, такое, что для всех Т_i, удовлетворяющих неравенству

|Т_i–МТ_i| < e, справедливы соотношения (15)-(16). В работе [2] доказано следующее:

Теорема 3. Для того, чтобы циклическая альтернативная модель была e-вероятностно непротиворечивой, необходимо и достаточно, чтобы математические ожидания длин всех детерминированных контуров удовлетворяли соотношению МL(K(i)) Ј –4e.

Вероятностная непротиворечивость модели в среднем является частным случаем e-вероятностной непротиворечивости при e=0.

Статистическая непротиворечивость модели.

При статистическом методе расчета параметров сетевой модели мы имеем дело с их р-квантильными оценками значений, которые являются теоретико-вероятностными аналогами соответствующих показателей. Говорится, что циклическая стохастическая модель статистически непротиворечива с вероятностью р, если для каждого события i существуют р-квантильные оценки сроков свершения событий W_p(Т_i), удовлетворяющие неравенствам:

W_p(Т_j) – W_p(Т_i)і W_p(y_ij), (21)

l_iЈW_p(Т_i)ЈL_i. (22)

Здесь соотношения (21)-(22) являются вероятностными аналогами (15)-(16), W_p(y_ij) есть р-квантильная оценка длины дуги (i,j). Доказано следующее:

Теорема 4. Для того, чтобы циклическая альтернативная модель была статистически непротиворечивой с вероятностью р, необходимо и достаточно, чтобы р-квантильные оценки длин всех детерминированных контуров удовлетворяли соотношению W_p(L(K(i))) Ј 0.

Алгоритмы расчета временных параметров ЦССМ.

Планы ранних и поздних сроков.

Для расчета ранних и поздних сроков свершения событий предлагается модифицированный алгоритм «Маятник». Идея модификации заключается в синтезе статистического метода расчета параметров, применяемого для вероятностных сетей, и алгоритма «Маятник», используемого в обобщенных сетях, и последующего применения его для ЦССМ.

Да

Да

Рис.10. Принципиальная блок-схема алгоритма для расчета

р-квантильных оценок ранних сроков свершения событий

Блок 1. Ввод исходных данных (коэффициентов матрицы А, параметров распределения y_ij, уровня достоверности р).

Блок 2. Вычисление необходимого числа «розыгрышей» N для обеспечения заданной точности результатов. Проделанные расчеты показали, что при р=0.95, e=0.05 получаем N»270.

Блок 3. v:=v+1 (v – номер «розыгрыша»).

Блок 4. Розыгрыш v-го варианта случайных величин y_ij, каждой в соответствии с ее законом распределения, получение констант y_ij^(v) – длина дуги (i,j) при v-м розыгрыше.

Блок 5. Розыгрыш для каждой альтернативной вершины i перехода в смежную вершину j (разыгрывается дискретная случайная величина р_ij, представленная i-й строкой матрицы смежности А, 0< р_ij <1 и е_jр_ij =1). Выбранная дуга помечается, остальные из графа исключаются. Если в полученном графе образовался контур К(i), содержащий хотя бы одну помеченную дугу, это есть стохастический контур, вычисляем его длину L^(v)K(i) и опять для вершины i разыгрываем дискретную случайную величину р_ij. В соответствие с доказанной в работе[3] леммой 1 один и тот же стохастический контур при заданном уровне достоверности р может образоваться не более k раз, где k оценивается по соответствующей формуле. k-кратную длину контура прибавляем к длине дуги, которую мы «разыграли» на (k+1)-м шаге и переходим к анализу другого стохастического контура (если он есть). При этом могут образоваться противоречия в сети (положительные детерминированные контуры), тогда в соответствие с приведенными в работе формулами прибавляем d-кратную длину контура, оценивая тем самым время свершения «выходного» из контура события в среднем.

Блок 6. Полученную детерминированную обобщенную сеть G^(v) разбиваем на две сети G₁^(v) и G₂^(v), так, чтобы ни G₁^(v), ни G₂^(v) не содержали контуров. Вершины в сети G₁^(v) упорядочиваем по рангам и в соответствие с ними устанавливаем «правильную» нумерацию. Переносим эту нумерацию на сеть G₂^(v) и на исходную G^(v).

Блок 7. Для всех вершин i сети G₁^(v) вычисляем ранние сроки свершения

Т_i^0(v) :=мах_j{Т_i^0(v), Т_j^0(v) + y_ij^(v)}.

Блок 8. Проделываем процедуры, аналогичные блоку 7, для вершин сети G₂^(v).

Блок 9. Если результаты блоков 7 и 8 хоть на одном показателе не совпадают, то возвращаемся к блоку 7 (таких возвратов не более, чем число обратных дуг в G₂^(v)), иначе блок 10.

Блок 10. Если номер розыгрыша vЈN, то переходим к блоку 4, иначе к блоку 11.

Блок 11. Из полученной совокупности {Т_i^0(v)} для каждой вершины i строим вариационный ряд. Фиксируем такое значение Т_i^0(x), что N_x/N=р, где N_x – число членов вариационного ряда, меньших Т_i^0(x). Величина Т_i^0(x) является искомым р-квантилем раннего срока свершения i-го события – W_p(Т_i⁰). Аналогично, по вариационным рядам {y_ij^(v)} строим р-квантильные оценки длин дуг – W_p(y_ij).

На вход блока 6 поступает v-й вариант обобщенной сетевой модели G^(v), и, собственно, блоки 6 – 9 представляют собой укрупненную блок-схему алгоритма «Маятник» для вычисления ранних сроков свершения событий в ОСМ. Применяя соответствующий алгоритм для вычисления поздних сроков свершения событий в блоках 7 и 8, мы получаем Т_i^1(v)– поздние сроки свершения событий для v-го варианта обобщенной сетевой модели, при этом блок 11 нам дает W_p(Т_i¹) – р-квантильные оценки поздних сроков свершения событий.

Планы минимальной продолжительности.

Продолжительность L(Т^(v)) любого допустимого плана Т^(v)={Т_i^(v)} v-го варианта сети G^(v) определяется по формуле:

L(Т^(v))=мах_ij |Т_i^(v) – Т_j^(v)|. (23)

Заменяя в блок-схеме на рис. 10 блоки 6 – 9 на блок нахождения минимума функции (23), получаем план минимальной продолжительности для сети G^(v) (или «сжатый» план). Величина

L(Т*^(v))=min мах_ij |Т_i^(v) – Т_j^(v)| (24)

является критическим временем сети G^(v).

Используя в блоках 6-9 метод нахождения сжатого плана для ОСМ и пропуская полученные планы через блок 11, получаем вероятностные р-квантильные оценки сжатых планов.

Резервам времени для работы (i,j) соответствуют их р-квантильные аналоги, вычисляемые по формулам:

R^п_p(i,j)= W_p(Т_j¹) - W_p(Т_i⁰) - W_p(y_ij) для полного резерва, (25)

R^с_p(i,j)= W_p(Т_j⁰) - W_p(Т_i⁰) - W_p(y_ij) для свободного резерва. (26)

По соответствующим формулам вычисляются р-квантильные коэффициенты напряженности работ W_p(k_н(i,j)), затем определяются р-квантильная критическая зона, р-квантильная зона резервов и р-квантильная промежуточная зона.

В качестве параметра дуги мы рассматривали время выполнения операции (работы). Можно рассматривать также любой характерный параметр, который обладает аддитивностью по дугам любого пути. Это может быть стоимость работы, количество потребного накапливаемого ресурса и т.п.

Следует отметить, что до настоящего времени широкое практическое применение нашли только методы детерминированного сетевого моделирования, некоторые эвристические методы оптимального распределения ресурсов и параметрические методы оценки затрат (преимущественно в сфере воздушных и космических полетов). Хотя точное решение стоимостных задач календарного планирования на основе классических сетевых моделей теоретически найдено (описано в[5]), но его практическое использование сопряжено с трудностью получения фактических данных о зависимостях «время-стоимость».

Каждая из рассмотренных выше моделей имеет свою предметную область, по своему (более или менее полно) реализует базовые функции управления проектом, и только синтез анализируемых моделей и методов позволяет построить модель, адекватно отражающую процесс реализации сложного проекта в условиях неопределенности, и при этом получить приемлемое в решение сформулированной задачи.

Тема 4. ОПТИМИЗАЦИЯ ПОТРЕБЛЕНИЯ РЕСУРСОВ НА ОСНОВЕ СЕТЕВЫХ МОДЕЛЕЙ

Общие понятия.

Выше были рассмотрены сетевые модели без учета ограниченности ресурсов, т.е. задача наилучшего распределения ресурсов как таковая не ставилась. В рассмотренных нами методах использования сетевых моделей основное внимание уделялось срокам выполнения отдельных работ и выявлению наиболее важных (критических и подкритических) цепочек работ, от которых зависит своевременное окончание проекта (ввод объекта в эксплуатацию). Таким образом, характерной особенностью этих методов является классификация информации по степени ее важности с точки зрения завершения всего комплекса работ в установленный срок.

Количественной мерой важности информации являются резервы времени работ или коэффициенты напряженности

К_ij=1 – R^п_ij/(T_n⁰–Т_кр(i,j)), (25)

где R^п_ij – полный резерв работы (i,j), T_n⁰ – критическое время выполнения проекта, Т_кр(i,j) – продолжительность совпадающего с критическим путем отрезка максимального пути, содержащего работу (i,j). 0 £ К_ij £ 1, причем, чем ближе К_ij к 1, тем относительно меньше резерва в запасе у работы (i,j), следовательно, выше риск ее невыполнения в заданные сроки. Например, у работы (2,5) (рис.5) Т_кр(2,5)=5, R^п₂₅ =3, откуда К₂₅=1 –3/(22 – 5)=0.82, а у работы (5,8) Т_кр(5,8)=0, R^п₅₈ =12, откуда К₅₈=1 –12/(22 – 0)=0.45. Работы могут обладать одинаковыми полными резервами, но степень напряженности сроков их выполнения может быть различна. И наоборот, различным полным резервам могут соответствовать одинаковые коэффициенты напряженности. Имея информацию, классифицированную подобным образом, руководитель проекта в каждый момент времени может определить, на каком участке следует сосредоточить внимание (и ресурсы) для ликвидации намечающихся отклонений от заданного срока завершения всех работ.

Прежде чем наметить дальнейшие пути совершенствования методов сетевого планирования и управления, остановимся подробнее на некоторых основных недостатках, присущих методам, рассмотренным выше.

Давая временную оценку продолжительности какой-либо работы, мы предполагали использование для выполнения этой работы определенных ресурсов с определенной интенсивностью (интенсивность потребления ресурса – это количество ресурса, потребляемое в единицу времени).

В момент назначения временной оценки неизвестно, когда эта работа должна будет выполняться, какие другие работы проекта, потребляющие тот же вид ресурса, будут вестись одновременно. Более того, как правило, одни и те же ресурсы могут потребоваться одновременно на разных проектах. Поэтому не исключено, что суммарная потребность в том или ином ресурсе в отдельные моменты времени может превосходить их наличный уровень. В этих случаях придется или уменьшать интенсивность потребления ресурсов на отдельных работах, либо отложить выполнение ряда работ на более поздние сроки, зачастую за пределы полных резервов этих работ. Это приводит в процессе выполнения проекта к частым корректировкам исходного плана, иными словами, к неустойчивости плана.

Очевидно, если заранее при планировании процесса выполнения проекта учесть ограниченность ресурсов, то можно получить гораздо более надежный план.

Наличный уровень ресурсов и возможные сроки завершения проекта взаимосвязаны. Время завершения всего проекта будет зависеть от того, когда и какое количество ресурсов будет выделено на каждую работу, а это в значительной мере определяется их предполагаемым наличием в каждый момент времени.

Таким образом, возникает задача о распределении ресурсов в сетевой постановке.

Вообще говоря, любой процесс производственного планирования есть ни что иное, как решение задачи об эффективном использовании ресурсов.

Критерии эффективности могут быть различны, на этом важном моменте планирования (выборе и обосновании критерия) мы остановимся несколько ниже при рассмотрении конкретных задач.

Введем некоторые понятия и определения.

· Программой работ назовем определенное множество операций (работ), которое нужно выполнить для достижения одной или нескольких целей, причем выполнение работ программы подчинено единому руководящему центру. Можно говорить о программе работ по пусковому комплексу, программе работ участка, строительной организации, проектного института и т.п.

· Однотемной программой работ будем называть программу, состоящую из одного комплекса технологически взаимосвязанных работ, направленных на достижение одной (одноцелевая тема) или нескольких целей (многоцелевая тема).

· Многотемной программой работ будем называть программу, состоящую из нескольких комплексов работ, технологически взаимосвязанных внутри каждого комплекса. Каждый комплекс работ может иметь одну или несколько конечных целей. Работы, принадлежащие разным комплексам, технологически между собой не связаны. Принадлежность тем одной многотемной программе обуславливается единством управляющего центра и общностью резервуара ресурсов.

Рассмотрим сначала различные постановки задач распределения ресурсов для однотемной одноцелевой программы.

Исходя из двух возможных целевых установок при управлении проектом, описанным сетевой моделью, возможны два основных типа постановки задач. Первый тип ориентирован на жесткое соблюдение ограничений по ресурсам, тогда как второй тип предполагает строгое выполнение сроков завершения проекта.

Формулировка первого типа постановки задачи («калибровка»).

При заданных ограничениях в потреблении ресурсов найти такое их распределение с учетом технологической последовательности ведения работ, определенной топологией сетевого графика, которое обеспечивает завершение всей программы за минимальное время.

Формулировка второго типа постановки задачи («сглаживание»).

При соблюдении заданной продолжительности выполнения программы требуется так распределить ресурсы по отдельным работам, чтобы их потребление было оптимальным. Вопрос о выборе критерия оптимальности для этой постановки будет нами рассмотрен специально.

В силу разного механизма удовлетворения потребности в ресурсах их принято разделять на две группы: накапливаемые (складируемые) и ненакапливаемые (нескладируемые). Вторую группу ресурсов часто называют «ресурсы типа мощности».

К первой группе относятся ресурсы, которые по своему характеру допускают накопление с возможностью их последующего использования, например, денежные средства, различные материалы и конструкции и т.п. Ресурсные ограничения в этом случае могут быть заданы интегральной неубывающей функцией, показывающей в каждый момент времени суммарную величину поставок ресурса за весь предшествующий период.

Ко второй группе относятся ресурсы, накопление которых для последующего использования невозможно. Например, ресурсы рабочего и машинного времени. Простой рабочих и механизмов является безвозвратной потерей. Ресурсные ограничения для этой группы задаются функцией наличия ресурса в каждый момент времени.

Пусть r^k_ij– интенсивность потребления k-го ресурса на работе (i,j). Тогда величину w^k_ij = r^k_ijt_ij – назовем объемом работы. Обозначим ε^k – множество работ, потребляющих ресурс k, а ε^k_t – множество работ, потребляющих ресурс k в момент времени t (ε^k=U_"tε^k_t), тогда общая потребность на всю программу в k-м ресурсе равна W^к =å_(i,j)Îεkw^k_ij = =å_(i,j)Îεkr^k_ijt_ij, причем для ресурсов второго типа этот показатель измеряется в машиносменах, человекоднях и т.п. Пусть наличие ресурсов в каждый момент времени задано функцией А^к(t). Есл<