Ожидаемая доходность и риск портфеля

Портфель – это совокупность различных инвестици­онных инструментов, которые собраны воедино для дости­жения конкретной инвестиционной цели вкладчика. В порт­фель могут входить бумаги только одного типа, например акции или облигации, или различные инвестиционные ценности, такие как акции, облигации, депозитные и сберегательные сертификаты и т. д.

Главная цель в формировании портфеля состоит в дости­жении оптимального сочетания между риском и доходом для инвестора, т. е. соответствующий набор инвестиционных инструментов призван снизить до минимума риск его потерь и одновременно максимизировать его доход.

Ожидаемая доходность портфеля представляет со­бой взвешенную среднюю из показателей ожидаемой до­ходности отдельных ценных бумаг, входящих в данный пор­тфель:

,

где M_p – ожидаемая доходность портфеля; x_i – доля порт­феля, инвестируемая в i-й актив; M_i -ожидаемая доходность i-го актива; n – число активов в портфеле.

Средние квадратические отклонения портфеля σ_р и σ со­ставляющих его ценных бумаг подобным алгоритмом уже не связаны. Теоретически можно подобрать две акции, каж­дая из которых имеет высокий уровень риска, и составить из этих высокорисковых активов портфель, который окажется абсолютно безрисковым (σ_р = 0).

Если имеются фактические данные по доходно­сти, среднеквадратическое отклонение рассчитывается по формуле

Данные по доходности акций А и приведены в таблице.

Год	Доходность акции А, MА, %	Доходность акции B, МB, %	Доходность портфеля АB, Мр, %
		-10
	-10
Средняя доходность
σ

Каждая из акций имеет σ = ____% и, будучи рассмотрен­ной изолированно, является высокорисковой, однако объе­динение их в портфель АB с σ = 0 делает его безрисковым. Это становится возможным благодаря тому, что по­казатели их доходности изменяются в противоположных направлениях (т.е. между ними существует обратная функ­циональная связь).

Случаем, противоположным обратной функциональной связи, является прямая функциональная связь. Показатели доходности двух акций в этом случае изменяются в одном и том же направлении, а риск портфеля, состоящего из двух таких акций, будет равен риску каждой из них.

В действительности большинство активов положитель­но коррелируют друг с другом, но эта связь не является фун­кциональной. При таких условиях объединение акций в портфель снижает риск, но полностью его не уничтожает. Риск портфеля, состоящего из двух акций, меньше риска любой из них только в том случае, если коэффициент корреляции между этими акциями меньше, чем отношение их среднеквадратических отклонений, которое рассчитывается делением меньшего из них на большее:

Мерой риска портфеля может служить показатель среднеквадратического отклонения распределения доходно­сти.

где x_pi – доходность портфеля, соответствующая i-му состоянию экономики; M_p – ожидаемая доходность портфе­ля; p_i – вероятность того, что экономика будет находиться в i-м состоянии.

Для анализа риска портфеля активов используется понятие ковариации и коэффициента корреляции.

Ковариация – это мера, учитывающая дисперсию (разброс) индивидуальных значений доходности данной акции и всех других акций. Ковариация между акциями А и В опре­деляется из выражения:

Из выражения видно, что COV(A,B) имеет высо­кое положительное значение, если значения доходности двух активов изменяются однонаправлено и имеют высо­кую степень колеблемости. Она имеет высокое отрица­тельное значение, если значения доходности изменяются в противоположных направлениях. Она является низкой (близкой к 0), если колебания доходности двух активов но­сят случайный характер либо колеблемость доходности од­ного из них невелика.

В целях стандартизации на практике для измерения силы связи между двумя переменными используется коэффици­ент корреляции

Его значения лежат в интервале от - 1,0 (обратная функ­циональная связь) до +1,0 (прямая функциональная связь). Если значение r_ABблизко к 0, связь между переменными слабая.

Если предположить, что распределения доходности от­дельных ценных бумаг являются нормальными, то для оп­ределения риска портфеля, состоящего из двух активов, может использоваться следующая формула:

,

где х – доля портфеля, инвестируемая в ценную бумагу, тогда (1-х) – доля портфеля, инвестируемая в ценную бумагу В.

Эффективные портфели

Эффективными портфелями финансовых активов называются портфели, которые обеспечивают максималь­ную ожидаемую доходность при определенном уровне рис­ка или минимальный уровень риска при определенной ожидаемой доходности. Предположим, что необходимо вложить капитал в ценные бумаги А и В, причем распределение ка­питала между ними может быть любым. Ожидаемая до­ходность ценной бумаги А: M_A = 6%, σ_A =3%; соответствен­но M_B = 10%, σ_B = 9%. Задача состоит в определении мно­жества допустимых портфелей и затем выделении из до­пустимого множества эффективного подмножества. Рассмотрим три возможных значения r_A,B (r_A,B =+1,0;r_A,B = 0;r_A,B = -1,0) и вычислим по этим значениям ожидаемую доходность и среднеквадратическое отклонение портфеля.

Доходности различных вариантов портфелей, состоящих из ценных бумаг А и В

Доля ЦБ А в портфеле (х)	Доля ЦБ В в портфеле (1-х)	Вариант 1 (rA,B =+1,0)	Вариант 2 (rA,B =0)	Вариант 3 (rA,B = -1,0)
Mp, %	,%	Mp,%	,%	Mp,%	,%
1,00
0,75
0,50
0,25
0,00

Значения приведем в таблице и отобразим графически.

Доходность

а

СКО

б

Доходность

в

100%А 100%В

100%А 100%В

0 2 4 6 8 10

Структура портфеля

Структура портфеля

СКО

Доходность

а

СКО

б

Доходность

в

100%А 100%В

100%А 100%В

0 2 4 6 8 10

Структура портфеля

Структура портфеля

СКО

Доходность

а

СКО

б

Доходность

в

100%А 100%В

100%А 100%В

0 2 4 6 8 10

Структура портфеля

Структура портфеля

СКО

На рисунках в столбце а представлены графики матожиданий допустимого множества портфелей АВ для каждого варианта коэффициента корреляции, в столбце б – графики среднеквадратических отклонений, в столбце в – допустимые множества портфелей.

Все три варианта являются теоретическими в том смысле, что на практике они встречаются крайне редко. В действительностиr_A,B большинства активов находится в пределах 0,5-0,7. Графики варианта 2 наиболее близки к реаль­ным примерам. Из графиков видно, что σ_р, в отличие от M_pзависит от коэффициента корреляции.

На рисунках в столбце в показаны допустимые или воз­можные множества портфелей, имеющих различную структуру. Являются ли все портфели, принадлежащие допусти­мому множеству, в равной степени хорошими? Ответ однозначен: нет. Только часть допустимого множества, лежа­щую в вариантах 2в и 3в, можно считать эффективной. В варианте 1 все допустимое множество является эффективным – ни одно из сочетаний не может быть исключено из рассмотрения.