Задача о замене и ремонте оборудования

Целью решения является определение оптимальных сроков замены и ремонта старого оборудования (станков, зданий и т.п.). Критериями оптимизации могут выступать:

- прибыль от эксплуатации оборудования (задача максимизации);

- суммарные затраты на эксплуатацию в течение планируемого периода (задача минимизации).

Важность задачи обусловлена:

- физическим и моральным износом оборудования;

- ростом производственных затрат, связанных с эксплуатацией и ремонтом старого оборудования;

- снижением производительности труда;

- снижением ликвидности.

Предположения при построении модели:

- весь срок эксплуатации может быть разбит на n периодов;

- решение о замене принимается в начале каждого периода;

- решение, принимаемое для одного периода, не влияет на решения для других периодов;

- основная характеристика оборудования – его возраст t;

- возможное управление на каждом шаге выбирается качественно, например, X^с – сохранить оборудование, X^з – заменить, X^р – ремонт.

Рассмотрим алгоритм решения на конкретном примере.

Постановка задачи.

Оборудование эксплуатируется в течение 4 лет, после чего продается. В начале каждого года можно либо продолжать эксплуатацию имеющегося оборудования, либо заменить оборудование на новое. Пусть стоимость нового оборудования постоянна и не зависит от года покупки, ликвидная стоимость зависит от возраста t продаваемого оборудования (при его замене на новое) и равна .

Затраты на содержание оборудования в течение года зависят только от возраста t оборудования и равны .

Определить оптимальную стратегию эксплуатации оборудования, чтобы суммарные затраты на эксплуатацию с учетом начальной покупки и заключительной продажи были минимальны.

Решение задачи.

Весь период эксплуатации разобьем на 4 шага. Таким образом шаг k принимает значения 1, 2, 3, 4. Параметр состояния системы на каждом шаге определяется возрастом оборудования.

В начале первого года оборудование новое, и параметр состояния принимает единственно возможное значение . В дальнейшем, к началу шага параметр состояния равен возрасту оборудования , где .

При выборе управления в конце шага возраст увеличится на 1, т. е. значение параметра состояния .

При управлении в начале шага k оборудование возраста t продается и заменяется новым, т. е. его возраст становится равен нулю: . Тогда через год эксплуатации (в конце шага k) параметр состояния .

Таким образом, уравнения состояния имеют вид:

(30)

Показатель эффективности шага также зависит от выбора управления для каждого возможного значения :

(31)

С учетом исходных данных задачи имеем:

(32)

При вариант управления единственный, поэтому эффективность шага определяем по формуле

. (33)

Далее выполняем пошаговое решение задачи в соответствии с общим алгоритмом решения задач динамического программирования.

Минимизируем условные оптимальные затраты на последнем шаге при k=4 для всех возможных значений .

(34)

В уравнениях Беллмана на этом шаге учтена заключительная продажа оборудования в конце 4-го шага по ликвидной стоимости .

Условные оптимальные затраты на остальных шагах k=3,2,1 вычисляем последовательно по формулам:

(35)

В итоге получим оптимальное значение целевой функции всей задачи:

(36)

Геометрическое решение

Решение задачи о ремонте и замене оборудования удобно проводить на графе. В этом случае задача становится похожа на задачу поиска минимального маршрута.

Граф задачи можно составить из отдельных фрагментов (рис.13), каждый из которых отображает возможный переход из состояния в состояние . По оси абсцисс будем откладывать номер шага k, по оси ординат – возраст оборудования t.

«Точка» на плоскости соответствует началу шага k эксплуатации оборудования возраста t (на схеме «точку» изображаем кружком). Перемещение к концу шага происходит в зависимости от выбранного в начале шага управления либо в «точку» при управлении , либо в «точку» при управлении .

На каждом векторе перемещения записываются соответствующие затраты в соответствии с формулами (32).

k-1,t

k,t+1

k,1

Рис.13. Фрагмент графической схемы решения

Рисуем всю графическую схему (рис.14), состоящую из четырех шагов, с разметкой затрат . Затраты вычисляем по формулам (32) и (33). Внутри кружков в конце последнего шага записываем ликвидную стоимость для каждого возможного возраста оборудования со знаком «–» (рис. 14).

Рис.14. Разметка графа в задаче о замене оборудования

-500

-1000

-125

-250

t

k

Графическая схема на рис.14 похожа на схему маршрутов между пунктами А и Б на рис.4. Отличие лишь в том, что вместо одного конечного пункта Б в данной схеме имеем 4 возможных конечных пункта , , , . При этом заранее неизвестно, в какой из них ведет минимальный маршрут. Начальное состояние определено однозначно.

При графическом решении данной задачи условные оптимальные затраты на каждом шаге, вычисляемые по формулам (35), удобно записывать в соответствующих вершинах графа (кружках). Соответствующие локальные оптимальные управления для каждого состояния системы (векторы) для наглядности выделяем двойной линией. Результат решения показан на рис.15.

Рис.15. Графическое решение задачи о замене оборудования

-500

-1000

-125

-250

2500

1900

1250

1050

650

100

t

k

4800

Минимальное значение целевой функции . Оптимальное управление соответствует непрерывной ломаной линии, составленной из локальных оптимальных управлений на каждом шаге:

, т. е. оборудование следует заменить на новое один раз через 2 года эксплуатации.

Графический метод решения задачи об оптимальных сроках замены оборудования достаточно просто и наглядно позволяет найти все варианты в случае неединственности оптимального решения.

Изменим в условии задачи функцию затрат на содержание оборудования в течение года. Пусть .

Графическая модель задачи и её решение показаны на рис.16. Минимальное значение целевой функции . Задача имеет пять оптимальных вариантов управления:

Рис.16. Пример неединственности оптимального решения

-500

-1000

-125

-250

3500

2500

2000

1250

1000

500

t

k

6000

Универсальность алгоритма

Рассмотренный алгоритм решения может быть расширен как за счет большего числа шагов (периодов принятия решения), так и за счет увеличения вариантов управления (текущий ремонт, капитальный ремонт). Можно учитывать зависимость стоимости нового оборудования и функции затрат на эксплуатацию в зависимости от года (шага k): .