Змістовий модуль 2. Випадкові величини
Практичне заняття 4
Дискретні та неперервні випадкові величини
План.
1. Повторення методів знаходження математичного сподівання та дисперсії дискретної ВВ, формули для обчислення середнього квадратичного відхилення (студенти біля дошки).
2. Розв’язання задач на знаходження математичного сподівання дискретної ВВ.
3. Розв’язання задач на обчислення дисперсії та середнього квадратичного відхилення дискретної ВВ.
4. Побудова інтегральної функції розподілу за законом розподілу ДВВ.
5. Розв’язання задач на використання властивостей математичного сподівання та дисперсії.
6. Повторення теоретичного матеріалу.
7. Розв’язання задач на знаходження диференціальної функції розподілу за інтегральною та навпаки.
8. Розв’язання задач на обчислення числових характеристик НВВ.
Дискретні випадкові величини
| Характеристика | Формула для обчислення |
| Математичне сподівання |  |
| Дисперсія |   |
| Середнє квадратичне відхилення |  |
Задача 1. Дві незалежні випадкової величини подані законами розподілу:
| Х | Y | -1 | ||||
| Р | 0,9 | 0,1 | Р | 0,2 | 0,8 |
Знайти а) М(Х), М(Y); б) М(7Х–2Y+10).
Розв’язання.
а) М(Х) = _______________________________________________________________
М(Y) = ________________________________________________________________
б) М(7Х–2Y+10) = ________________________________________________________
Відповідь: а) ___________________________________, б) _____________________.
Задача 2. У скрині 8 куль, серед яких 5 білих. Навмання витягують 3 кулі. Скласти закон розподілу випадкової величини Х – числа білих серед витягнутих.
Розв’язання.
| Х | ||||
| Р |
Задача 3. У місті 6 комерційних банків. Ризик банкрутства протягом року для кожного банку становить 10%. 1) скласти ряд розподілу числа банків, які можуть збанкрутувати протягом наступного року; побудувати його графік; 2) знайти числові характеристики цього розподілу; 3) записати у загальному вигляді функцію розподілу ймовірностей і побудувати її графік; 4) знайти ймовірність того, що протягом року збанкрутує не більше одного банку?
Розв’язання.
| 1) | Х | ||||||||
| Р |
| 2) | Х | Р | Х × Р | Х 2 × Р |
М(Х) = __________________________________________________________________
D(X) = __________________________________________________________________
s(Х) = __________________________________________________________________
3)
4) Р( ____________ ) = ____________________________________________________
Задача 4. Дві незалежні випадкової величини подані законами розподілу:
| Х | Y | |||||
| Р | 0,6 | 0,4 | Р | 0,8 | 0,2 |
Знайти закони розподілу випадкових величин: а) Х × Y; б) Х + Y. Визначити математичне сподівання та дисперсію випадкових величин: Х; Y; Х + Y.
Розв’язання.
| Х × Y | ||||||
| Р |
| Х + Y | ||||||
| Р |
| Х | Р | Х × Р | Х 2 × Р | Y | Р | Y × Р | Y 2 × Р | |
М(Х) = ________; D(X) =___________________________________________________
М(Y) = ________; D(Y) = ___________________________________________________
М(Х + Y) = ______________________________________________________________
D(Х + Y) = ______________________________________________________________
| Інтегральна функція розподілу ВВ Х |  |
| Ймовірність того, що ВВ Х прийме значення з проміжку [a, b] |   |
| Диференційна функція розподілу ВВ Х (щільність) |  |
| Властивість диференційної функції розподілу |  |
| Ймовірність того, що ВВ Х прийме значення з проміжку [a, b] |  |
| Математичне сподівання НВВ Х |  |
| Дисперсія НВВ Х |  |
| Середнє квадратичне відхилення | |
Задача 5. Випадкова величина Х задана своєю інтегральною функцією розподілу
Знайти: 1) диференційну функцію розподілу випадкової величини Х;
2) 
; 
; 
;
3) М(Х), D(X), σ(Х).
Розв’язання.
1)
2) = ___________________________________________________
= ___________________________________________________
= ____________________________________________________
3) М(Х) = ______________________________________________________________
_______
_______
D(Х) = ________________________________________________________________
_______
_______
σ(Х) = _________________________________________________________________
Задача 6.При якому значенні а функція 
є щільністю розподілу для деякої випадкової величини.
Розв’язання.
_______
_______
_______
Задача 7.Випадкова величина Х задана своєю щільністю розподілу
Знайти М(Х), D(X), σ(Х).
Розв’язання.
М(Х) = _______________________________________________________________
_______
_______
D(Х) = ________________________________________________________________
_______
_______
σ(Х) = _________________________________________________________________
| Диференційна функція рівномірного розподілу (щільність) |  |
| Інтегральна функція рівномірного розподілу |  |
Ймовірність того, що ВВ Х прийме значення з проміжку [х1, х2]  |  |
| Математичне сподівання |  |
| Дисперсія |  |
Задача 8.Випадкова величина Х рівномірно розподілена на відрізку [1;6], тобто її щільність розподілу ймовірностей постійна. Знайти: 1) диференційну та інтегральну функції розподілу випадкової величини Х; 2) математичне сподівання та дисперсію випадкової величини Х.
Розв’язання.
1)
2) М(Х) = _______________________________________________________________
D(X) = __________________________________________________________________
Практичне заняття 5