Имитация равномерного поступательного движения объекта, принятого за абсолютно твердое тело.

Исходные данные изменяются на 2 мм относительно t1 момента времени (таблицы 5, 6). Результаты моделирования приведены в таблице 6.

Таблица 5 – Таблица высотных координат Н геодезических точек, в м.

Имитация равномерного поступательного движения объекта

Номер цикла	H1	H2	H3	H4	H5
	49,345	48,718	49,420	49,389	49,410
	49,343	48,716	49,418	49,387	49,408
	49,341	48,714	49,416	49,385	49,406
	49,339	48,712	49,414	49,383	49,404
	49,337	48,710	49,412	49,381	49,402
	49,335	48,708	49,410	49,379	49,400
	49,333	48,706	49,408	49,377	49,398
	49,331	48,704	49,406	49,375	49,396
	49,329	48,702	49,404	49,373	49,394

Таблица 6 – Значения фазовых координат M(t) и a(t)

Номер цикла	M(t)	a(t)
	110,1423	0,22-Е06
	110,1378	0,22Е-06
	110,1334	0,22Е-06
	110,1289	0,22Е-06
	110,1244	0,22Е-06
	110,1199	0,22Е-06
	110,1155	0,22Е-06
	110,1110	0,22Е-06
	110,1065	0,22Е-06

Реакция модели эволюции на равномерное поступательное движение изображена на графиках рисунка 3 а, б, в.

а)

б)

в)

Рисунок 3 – Моделирование состояния равномерного поступательного движения объекта

а) – график фазовой траектории;

б) – график фазовой координаты M(t);

в) – график фазовой координаты a(t).

В данном случае, имитируемая равномерная осадка на графике фазовой координаты М(t) изображена прямой с равностоящими узловыми точками. Величина осадки эквивалентна средней осадке по всей системе точек. Поскольку неравномерность движения геодезических точек системы отсутствует, фазовая траектория и график фазовой координаты a(t) – прямая, параллельная Ot с равностоящими узлами.

Имитация скачка.

Моделирование скачков состоит в определении момента времени каждого скачка и моделировании эволюции состояний объекта после скачка. Скачкообразное изменение состояния объекта связано с переходом его из устойчивого исходного состояния в другое состояние, не обязательно устойчивое. Переход объекта из устойчивого состояния в неустойчивое сопровождается изменением структуры объекта. Это обстоятельство может служить индикатором резкого изменения состояния объекта. Изучением изменений состояний объекта, связанных с изменением их структуры, занимаются теория устойчивости, инвариантности и бифуркаций.

На фазовой траектории «скачок» отображается резким выходом фазовой точки (или группы фазовых точек) из некоторой области устойчивого состояния, когда множество фазовых точек можно выделить в некоторую область близлежащих точек, тяготеющих друг к другу.

На графиках фазовых координат М(t) и a(t) параметр времени присутствует в качестве одной из двух координат, поэтому характер кривой отличается от фазовой траектории. Неустойчивость состояния обозначается резким синусоидальным всплеском на графике и характеризует движение объекта М(t) или его деформацию a(t).

Поскольку координаты М(t) и a(t) являются функциями времени, то существует возможность определить не только наличие неустойчивых состояний, но и моменты времени, на которые они приходятся, а также характер развития изменений состояний до и после скачка. Это дает возможность определить предельное состояние объекта, как точку на графике, которая находится на границе области допустимого значения.

В том случае, если точка состояния выходит за границу области устойчивого состояния или состояния покоя, это свидетельствует о том, что в момент времени t объект испытывает воздействие учитываемых факторов и претерпевает движение или деформацию, выходящие за рамки допустимых, т е. объект находится в неустойчивом состоянии.

Скачкообразное изменение состояния объекта в точках бифуркации, т. е.
в точках, где эволюция процесса резко меняет свое направление (изображенных на рисунках ò), связано с переходом его из устойчивого исходного состояния
в другое состояние, необязательно устойчивое.

Скачок можно трактовать как потерю устойчивости системы и переход ее к новому состоянию устойчивости. Прогнозирование скачков заключается в определении области структурной устойчивости системы и границ таких областей. При составлении математической модели прогнозирования скачков необходимо руководствоваться двумя положениями: во-первых, на отдельных участках развитие процесса должно идти в соответствии с алгоритмической или экспоненциальной зависимостью с учетом точек бифуркации, во-вторых, область устойчивости процесса должна допускать смену параметров в соответствующих пределах.

В математической интерпретации скачки в развитии процессов движения и деформации описываются функциональными зависимостями между величинами. Эволюционное развитие процессов описывается непрерывными функциями, которые классифицируются по двум видам: скачки-взрывы и постепенные скачки. Деформационные процессы, происходящие на объекте, могут являться следствием резких изменений параметров, характеризующих состояние объекта (например, замачиванием грунтов и, как следствие, просадкой сооружений), добавления новых возмущающих факторов, или следствием постепенного суммарного воздействия различных доминирующих факторов на развитие деформационных процессов (постепенной деформацией сооружения, имеющей затухающий характер с течением времени).

Особый интерес в развитии процессов движений и деформаций представляет прогнозирование процесса после перехода в неустойчивое состояние. После потери устойчивости системы возможны три траектории развития процесса: 1) уход в бесконечность; 2) переход к другому состоянию равновесия; 3) переход к устойчивому состоянию или режиму устойчивых колебаний. Для объектов, наблюдаемых геодезическими методами, в основном характерен третий случай развития процесса.

Рассмотрим пример моделирования «скачка». Имитационные данные расположены в таблице 7. Значения фазовых координат M(t) и a(t) вектор-функции приведены
в таблице 7.

Таблица 7 – Таблица высотных координат z геодезических точек, в м.

Имитация «скачка»

Номер цикла	H1	H2	H3	H4	H5
	49,347	48,720	49,422	49,391	49,412
	49,347	48,720	49,422	49,391	49,412
	49,347	48,720	49,422	49,391	49,412
	49,382	48,734	49,447	49,406	49,437
	49,349	48,721	49,425	49,393	49,414
	49,347	48,720	49,422	49,391	49,412
	49,347	48,720	49,422	49,391	49,412
	49,347	48,720	49,422	49,391	49,412
	49,347	48,720	49,422	49,391	49,412

Таблица 8 – Значения фазовых координат M(t) и a(t)

Номер цикла	M(t)	a(t)
	110,1468
	110,1468
	110,1468	0,00015501
	110,1978	0,00014989
	110,1513	1,2656E-05
	110,1468
	110,1468
	110,1468
	110,1468

Результаты моделирования приведены на рисунке 4 а, б, в.

а)

б)

в)

Рисунок 4 – Моделирование «скачка»

а) – график фазовой траектории;

б) – график фазовой координаты M(t);

в) – график фазовой координаты a(t).

Как видно на рисунке 4 а, «скачок» на фазовой траектории определен резким выходом фазовой точки момента времени t4 из устойчивого состояния, где все фазовые точки t1, t2, t5, t6 – t9 расположены в одной области, обведенной на графике окружностью. Точка бифуркации, т. е. переломный момент в эволюции, приходится на t4. На графиках фазовых координат «скачок» изображен синусоидальным всплеском, приходящимся на тот же момент t4. Наличие амплитуды на графиках M(t) и a(t) свидетельствует о присутствии движения и неравномерности движения между точками системы (деформации).

Данный пример демонстрирует развитие процесса после «скачка» по третьему направлению, т. е. переход в устойчивое состояние.

Таким образом, рассмотренные примеры реакции модели эволюции состояний на входные данные свидетельствуют о том, что модель отображает четкую, единую картину развития эволюции всей геодезической системы (а не отдельных ее знаков), характеризует направление движения, выявляет присутствие неравномерности движения, дает возможность определить наличие неустойчивых состояний и моменты времени, на которые они приходятся, а также определяет характер развития изменений состояний до и после перехода объекта в неустойчивое состояние. Все перечисленные характеристики являются качественными показателями эволюции состояния объекта.

Задание.

Используя исходные данные Х(м), У(м),Н(м) таблиц 1,2,3 лабораторной работы №1 самостоятельно разработать имитационную модель:

Состояния покоя