К стр. 46 : Различные формы движения и изучающие их науки

С тех пор как появилась эта статья («Vorwarts» от 9 февраля 1877 г.)*** , Кекуле («Научные цели и достижения химии») дал совершенно аналогичное определение механики, физики и химии:

«Если положить в основу это представление о сущности материи, то химию можно будет определить как науку об атомах, а физику как науку о молекулах; и тогда сама собой напрашивается мысль выделить ту часть современной физики, которая занимается массами, в особую дисциплину, оставив для нее название механики. Таким образом, механика оказывается основой физики и химии, поскольку та и другая, при рассмотрении оп­ределенных сторон явлений и особенно при вычислениях, должны трактовать свои молекулы и, соответствен­но, атомы как массы»⁴⁴⁸.

Эта формулировка отличается, как мы видим, от той, которая дана в тексте и в предыду­щем примечании**** ,только своей

— т. е. описание природы. Ред. См. настоящий том, стр. 66. Ред.

*** Т. е. VII глава первого отдела «Анти-Дюринга». Ред.

**** Т. е. в тексте «Анти-Дюринга» и в примечании «О прообразах математического бесконечного в действи­тельном мире» (см. настоящий том, стр. 66 и 581—587). Ред.

___________________ ФОРМЫ ДВИЖЕНИЯ МАТЕРИИ. КЛАССИФИКАЦИЯ НАУК_______________ 567

несколько меньшей определенностью. Но когда один английский журнал («Nature») придал вышеприведенному положению Кекуле такой вид, что механика — это статика и динамика

масс, физика — статика и динамика молекул, химия — статика и динамика атомов449 , то, по моему мнению, такое безусловное сведение даже и химических процессов к чисто механиче­ским суживает неподобающим образом поле исследования, по меньшей мере в области хи­мии. И тем не менее это сведение стало столь модным, что, например, у Геккеля слова «ме­ханический» и «монистический» постоянно употребляются как равнозначащие и что, по его мнению,

«современная физиология... дает в своей области место только физико-химическим, или в широком смысле слова* механическим, силам» («Перигенезис»)⁴⁵⁰.

Называя физику механикой молекул, химию — физикой атомов и далее биологию — хи­мией белков, я желаю этим выразить переход одной из этих наук в другую, — следователь­но, как существующую между ними связь, непрерывность, так и различие, дискретность обеих. Идти дальше этого, называть химию тоже своего рода механикой, представляется мне недопустимым. Механика в более широком или узком смысле слова знает только количест­ва, она оперирует скоростями и массами и, в лучшем случае, объемами. Там, где на пути у нее появляется качество тел, как, например, в гидростатике и аэростатике, она не может обойтись без рассмотрения молекулярных состояний и молекулярных движений, и сама она является здесь только вспомогательной наукой, предпосылкой физики. В физике же, а еще более в химии, не только имеет место постоянное качественное изменение в результате ко­личественных изменений, т. е. переход количества в качество, но приходится также рассмат­ривать множество таких качественных изменений, обусловленность которых количествен­ным изменением совершенно не установлена. Можно охотно согласиться с тем, что совре­менное течение в науке движется в этом направлении, но это не доказывает, что оно является исключительно правильным и что, следуя этому течению, мы до конца исчерпаем физику и химию. Всякое движение заключает в себе механическое движение, перемещение больших или мельчайших частей материи; познать эти механические движения является первой зада­чей науки, однако лишь первой ее задачей. Но это механическое движение не исчерпывает движения

Подчеркнуто Энгельсом. Ред.

_____________________ «ДИАЛЕКТИКА ПРИРОДЫ». ЗАМЕТКИ И ФРАГМЕНТЫ_________________ 568

вообще. Движение — это не только перемена места; в надмеханических областях оно явля­ется также и изменением качества. Открытие, что теплота представляет собой некоторое мо­лекулярное движение, составило эпоху в науке. Но если я не имею ничего другого сказать о теплоте кроме того, что она представляет собой известное перемещение молекул, то лучше мне замолчать. Химия, по-видимому, находится на верном пути к тому, чтобы из отношения атомных объемов к атомным весам объяснить целый ряд химических и физических свойств элементов. Но ни один химик не решится утверждать, что все свойства какого-нибудь эле­мента исчерпывающим образом выражаются его положением на кривой Лотара Мейера⁴⁵¹, что этим одним можно будет когда-нибудь объяснить, например, своеобразные свойства уг­лерода, которые делают его главным носителем органической жизни, или же необходимость наличия фосфора в мозгу. И тем не менее «механическая» концепция сводится именно к этому. Всякое изменение она объясняет перемещением, все качественные различия — коли­чественными, не замечая, что отношение между качеством и количеством взаимно, что каче­ство так же переходит в количество, как и количество в качество, что здесь имеет место взаимодействие. Если все различия и изменения качества должны быть сводимы к количест­венным различиям и изменениям, к механическим перемещениям, то мы с необходимостью приходим к тезису, что вся материя состоит из тождественных мельчайших частиц и что все качественные различия химических элементов материи вызываются количественными различиями, различиями в числе и пространственной группировке этих мельчайших частиц при их объединении в атомы. Но до этого мы еще не дошли.

Только незнакомство наших современных естествоиспытателей с иной философией, кро­ме той ординарнейшей вульгарной философии, которая господствует ныне в немецких уни­верситетах, позволяет им в таком духе оперировать выражениями вроде «механический», причем они не отдают себе отчета или даже не подозревают, к каким вытекающим отсюда выводам они тем самым с необходимостью обязывают себя. Ведь у теории об абсолютной качественной тождественности материи имеются свои приверженцы; эмпирически ее так же нельзя опровергнуть, как и нельзя доказать. Но если спросить людей, желающих объяснить все «механическим образом», сознают ли они неизбежность этого вывода и признают ли они тождественность материи, то сколько различных ответов услышим мы на этот вопрос !

Самое комичное — это то, что приравнение «материалистического» и «механического» идет от Гегеля, который хотел уни-

___________________ ФОРМЫ ДВИЖЕНИЯ МАТЕРИИ. КЛАССИФИКАЦИЯ НАУК_______________ 569

зить материализм эпитетом «механический». Но дело в том, что критикуемый Гегелем мате­риализм — французский материализм XVIII века — был действительно исключительно ме­ханическим, и по той весьма естественной причине, что в то время физика, химия и биология были еще в пеленках и отнюдь не могли служить основой для некоторого общего воззрения на природу. Точно так же у Гегеля заимствует Геккель перевод выражения causae efficientes через «механически действующие причины» и выражения causae finales — через «целесооб­разно действующие причины»; но Гегель понимает здесь под словом «механический» — слепо, бессознательно действующий, а не механический в геккелевском смысле. При этом для самого Гегеля все это противоположение до такой степени является превзойденной точ­кой зрения, что он даже не упоминает о нем ни в одном из обоих своих изложений причин­ности в «Логике» и затрагивает его только в «Истории философии», в тех местах, где оно выступает как исторический факт (следовательно, у Геккеля мы имеем здесь чистое недора­зумение, результат поверхностности!), и совершенно мимоходом при рассмотрении телеоло­гии («Логика», кн. III, отд. II, гл. 3), где об этом противоположении упоминается как о той форме, в которой старая метафизика формулировала противоположность между механиз­мом и телеологией. Вообще же он трактует указанное противоположение как давно уже пре­одоленную точку зрения. Таким образом, Геккель просто неверно списал у Гегеля, радуясь тому, что он здесь, как ему показалось, нашел подтверждение своей «механической» кон­цепции, и этим путем он приходит к тому блестящему результату, что когда естественный отбор создает у того или другого животного или растения какое-нибудь определенное изме­нение, то это происходит благодаря causa efficiens; если же это самое изменение вызывается искусственным отбором, то это происходит благодаря causa finalis! Селекционер есть causa finali s! Конечно, диалектик калибра Гегеля не мог путаться в пределах узкой противополож­ности между causa efficiens и causa finalis. А для теперешней стадии развития науки всей бесплодной болтовне об этой противоположности кладет конец то обстоятельство, что мы знаем из опыта и теории, что материя и ее способ существования — движение — несотвори-мы и, следовательно, являются своими собственными конечными причинами; между тем как у тех отдельных причин, которые на отдельные моменты времени и в отдельных местах изо­лируют себя в рамках взаимодействия движения вселенной или изолируются там нашей мыслью, не прибавляется решительно никакого нового определения,

_____________________ «ДИАЛЕКТИКА ПРИРОДЫ». ЗАМЕТКИ И ФРАГМЕНТЫ_________________ 570

а лишь вносящий путаницу элемент в том случае, если мы их называем действующими при­чинами. Причина, которая не действует, не есть вовсе причина.

NB. Материя как таковая, это — чистое создание мысли и абстракция. Мы отвлекаемся от качественных различий вещей, когда объединяем их, как телесно существующие, под поня­тием материи. Материя как таковая, в отличие от определенных, существующих материй, не является, таким образом, чем-то чувственно существующим. Когда естествознание ставит себе целью отыскать единообразную материю как таковую и свести качественные различия к чисто количественным различиям, образуемым сочетаниями тождественных мельчайших частиц, то оно поступает таким же образом, как если бы оно вместо вишен, груш, яблок же­лало видеть плод как таковой452 , вместо кошек, собак, овец и т. д. — млекопитающее как та­ковое, газ как таковой, металл как таковой, камень как таковой, химическое соединение как таковое, движение как таковое. Теория Дарвина требует подобного первичного млекопи­тающего, Promammale Геккеля453 , но должна в то же время признать, что если оно содержало в себе в зародыше всех будущих и ныне существующих млекопитающих, то в действитель­ности оно стояло ниже всех теперешних млекопитающих и было первобытно грубым, а по­этому и более преходящим, чем все они. Как доказал уже Гегель («Энциклопедия», ч. I, стр. 199), это воззрение, эта «односторонне математическая точка зрения», согласно которой ма­терия определима только количественным образом, а качественно искони одинакова, есть «не что иное, как точка зрения» французского материализма XVIII века454 . Она является да­же возвратом к Пифагору, который уже рассматривал число, количественную определен­ность, как сущность вещей.

* * *

Во-первых, Кекуле⁴⁵⁵. Далее: систематизацию естествознания, которая становится теперь все более и более необходимой, можно найти не иначе, как в связях самих явлений. Так, ме­ханическое движение небольших масс на каком-нибудь небесном теле кончается контактом двух тел, который имеет две формы, отличающиеся друг от друга лишь по степени: трение и удар. Поэтому мы изучаем сперва механическое действие трения и удара. Но мы находим, что дело этим не исчерпывается: трение производит теплоту, свет и электричество; удар —

___________________ ФОРМЫ ДВИЖЕНИЯ МАТЕРИИ. КЛАССИФИКАЦИЯ НАУК_______________ 5Ц

теплоту и свет, а, может быть, также и электричество. Таким образом, мы имеем превраще­ние движения масс в молекулярное движение. Мы вступаем в область молекулярного дви­жения, в физику, и продолжаем исследовать дальше. Но и здесь мы находим, что исследова­ние молекулярным движением не заканчивается. Электричество переходит в химические превращения и возникает из химических превращений; теплота и свет тоже. Молекулярное движение переходит в атомное движение: химия. Изучение химических процессов находит перед собой, как подлежащую исследованию область, органический мир, т. е. такой мир, в котором химические процессы происходят согласно тем же самым законам, но при иных ус­ловиях, чем в неорганическом мире, для объяснения которого достаточно химии. А все хи­мические исследования органического мира приводят в последнем счете к такому телу, ко­торое, будучи результатом обычных химических процессов, отличается от всех других тел тем, что оно есть сам себя осуществляющий перманентный химический процесс, — приво­дят к белку. Если химии удастся изготовить этот белок в том определенном виде, в котором он, очевидно, возник, в виде так называемой протоплазмы, — в том определенном или, вер­нее, неопределенном виде, в котором он потенциально содержит в себе все другие формы белка (причем нет нужды принимать, что существует только один вид протоплазмы), то диа­лектический переход будет здесь доказан также и реально, т. е. целиком и полностью. До тех пор дело остается в области мышления, alias* гипотезы. Когда химия порождает белок, хи­мический процесс выходит за свои собственные рамки, как мы видели это выше относитель­но механического процесса. Он вступает в некоторую более богатую содержанием область — область органической жизни. Физиология есть, разумеется, физика и в особенности химия живого тела, но вместе с тем она перестает быть специально химией: с одной стороны, сфера ее действия ограничивается, но, с другой стороны, она вместе с тем поднимается здесь на некоторую более высокую ступень.

— иначе говоря. Ред.

«ДИАЛЕКТИКА ПРИРОДЫ». ЗАМЕТКИ И ФРАГМЕНТЫ_________________ 572

[МАТЕМАТИКА]

Так называемые аксиомы математики — это те немногие мыслительные определения, ко­торые необходимы в математике в качестве исходного пункта. Математика — это наука о величинах; она исходит из понятия величины. Она дает последней скудную, недостаточную дефиницию и прибавляет затем внешним образом, в качестве аксиом, другие элементарные определенности величины, которые не содержатся в дефиниции, после чего они выступают как недоказанные и, разумеется, также и недоказуемые математически. Анализ величины выявил бы все эти аксиоматические определения как необходимые определения величины. Спенсер прав в том отношении, что кажущаяся нам самоочевидность этих аксиом унаследо­вана нами. Они доказуемы диалектически, поскольку они не чистые тавтологии.

Из области математики. Ничто, кажется, не покоится на такой непоколебимой основе, как различие между четырьмя арифметическими действиями, элементами всей математики. И тем не менее уже с самого начала умножение оказывается сокращенным сложением, деле­ние — сокращенным вычитанием определенного количества одинаковых чисел, а в одном случае — если делитель есть дробь — деление производится путем умножения на обратную дробь. А в алгебре идут гораздо дальше этого. Каждое вычитание (a — b) можно изобразить как сложение (—b+a), каждое деление a/b, как умножение ах Д. При действиях со степенями идут еще значительно дальше. Все неизменные различия математических действий исчеза­ют, всё можно изобразить в противоположной форме.

МАТЕМАТИКА 573

Степень — в виде корня (x² = л/х⁴), корень — в виде степени (л/х = x²). Единицу, деленную на степень или на корень, — в виде степени знаменателя ( Л/_х ⁼ х~ ²; /_х³ = х" ). Умножение или

деление степеней какой-нибудь величины превращается в сложение или вычитание их пока­зателей. Каждое число можно рассматривать и изображать в виде степени всякого другого числа (логарифмы, y = a^x). И это превращение из одной формы в другую, противоположную, вовсе не праздная игра, — это один из самых могучих рычагов математической науки, без которого в настоящее время нельзя произвести ни одного сколько-нибудь сложного вычис­ления. Пусть кто-нибудь попробует вычеркнуть из математики хотя бы только отрицатель­ные и дробные степени, — и он увидит, что без них далеко не уедешь.

(------- = +,-=- = + л/—1 и т. д. разобрать до этого).

Поворотным пунктом в математике была Декартова переменная величина. Благодаря это­му в математику вошли движение и тем самым диалектика и благодаря этому же стало не­медленно необходимым дифференциальное и интегральное исчисление, которое тотчас и воз­никает и которое было в общем и целом завершено, а не изобретено, Ньютоном и Лейбни­цем.

* * *

Количество и качество. Число есть чистейшее количественное определение, какое мы только знаем. Но оно полно качественных различий. 1) Гегель, численность и единица, ум­ножение, деление, возведение в степень, извлечение корня. Уже благодаря этому получают­ся, — чего не подчеркнул Гегель, — качественные различия: простые числа и произведения, простые корни и степени. 16 есть не только суммирование 16 единиц, оно также квадрат от 4 и биквадрат от 2. Более того, простые числа сообщают числам, получающимся из них путем умножения на другие числа, новые, вполне определенные качества: только четные числа де­лятся на два; аналогичное определение — для 4 и 8. Для деления на 3 мы имеем правило о сумме цифр. То же самое в случае 9 и 6, где оно соединяется также со свойством четного числа. Для 7 особый закон. На этом основываются фокусы с числами, которые непосвящен­ным кажутся непонятными. Поэтому неверно то, что говорит Гегель

_____________________ «ДИАЛЕКТИКА ПРИРОДЫ». ЗАМЕТКИ И ФРАГМЕНТЫ_________________ 574

(«Количество», стр. 237) о мыслительной скудости арифметики. Ср., однако: «Мера»⁴⁵⁶.

Говоря о бесконечно большом и бесконечно малом, математика вводит такое качествен­ное различие, которое имеет даже характер непреодолимой качественной противоположно­сти: мы имеем здесь количества, столь колоссально отличные друг от друга, что между ними прекращается всякое рациональное отношение, всякое сравнение, и что они становятся ко­личественно несоизмеримыми. Обычная несоизмеримость, например несоизмеримость круга и прямой линии, тоже представляет собой диалектическое качественное различие; но здесь именно количественная разница однородных величин заостряет качественное различие до несоизмеримости.

Число. Отдельное число получает некоторое качество уже в числовой системе и сообразно тому, какова эта система. 9 есть не только суммированная девять раз 1, но и основание для 90, 99, 900000 и т. д. Все числовые законы зависят от положенной в основу системы и опре­деляются ею. В двоичной и троичной системе 2 х 2 не = 4, а = 100 или =11. Во всякой сис­теме с нечетным основанием теряет свою силу различие четных и нечетных чисел. Напри­мер, в пятеричной системе 5 = 10, 10 = 20, 15 = 30. Точно так же в этой системе теряет свою силу правило о сумме цифр, делящейся на 3, для чисел кратных трем, resp. девяти (6=11,9 = 14). Таким образом, основание числовой системы определяет качество не только себя са­мого, но и всех прочих чисел.

Если мы возьмем степенное отношение, то здесь дело идет еще дальше: всякое число можно рассматривать как степень всякого другого числа — существует столько систем лога­рифмов, сколько имеется целых и дробных чисел.

* * *

Единица. Ничто не выглядит проще, чем количественная единица, и ничто не оказывается многообразнее, чем эта единица, коль скоро мы начнем изучать ее в связи с соответствую­щей множественностью, с точки зрения различных способов происхождения ее из этой мно­жественности. Единица — это,

— т. е. в математике бесконечного. Ред. * — respective — соответственно. Ред.

МАТЕМАТИКА 575

прежде всего, основное число всей системы положительных и отрицательных чисел, благо­даря последовательному прибавлению которого к самому себе возникают все другие числа. — Единица есть выражение всех положительных, отрицательных и дробных степеней еди-ницы: 12 , л/1, Г все равны единице. — Единица есть значение всех дробей, у которых числи­тель и знаменатель оказываются равными. — Она есть выражение всякого числа, возведен­ного в нулевую степень, и поэтому она единственное число, логарифм которого во всех сис­темах один и тот же, а именно = 0. Тем самым единица есть граница, делящая на две части все возможные системы логарифмов: если основание больше единицы, то логарифмы всех чисел, больших единицы, положительны, а логарифмы всех чисел, меньших единицы, отри­цательны; если основание меньше единицы, то имеет место обратное.

Таким образом, если всякое число содержит в себе единицу, поскольку оно составляется из одних лишь сложенных друг с другом единиц, то единица, в свою очередь, содержит в се­бе все другие числа. Не только в возможности, поскольку мы любое число можем построить из одних только единиц, но и в действительности, поскольку единица является определенной степенью любого другого числа. Однако те самые математики, которые непринужденней-шим образом вводят, где им это удобно, в свои выкладки x° = 1 или же дробь, числитель и знаменатель которой равны и которая тоже, значит, представляет единицу, — математики, которые, следовательно, применяют математическим образом содержащуюся в единице множественность, морщат нос и строят гримасы, когда им говорят в общей форме, что еди­ница и множественность являются нераздельными, проникающими друг друга понятиями и что множественность так же содержится в единице, как и единица в множественности. А в какой мере дело обстоит именно так, это мы видим, лишь только мы покидаем область чис­тых чисел. Уже при измерении линий, площадей и объемов обнаруживается, что мы можем принять за единицу любую величину соответствующего порядка, и то же самое относится к измерению времени, веса, движения и т. д. Для измерения клеток миллиметры и миллиграм­мы еще слишком велики, для измерения звездных расстояний или скорости света километр уже неудобен из-за малой величины, как мал килограмм для измерения масс планет, а тем более Солнца. Здесь с очевидностью обнаруживается, какое многообразие и какая множест­венность содержатся в столь простом на первый взгляд понятии единицы.

«ДИАЛЕКТИКА ПРИРОДЫ». ЗАМЕТКИ И ФРАГМЕНТЫ_________________ 576

* * *

Оттого что нуль есть отрицание всякого определенного количества, он не лишен содержа­ния. Наоборот, пуль имеет весьма определенное содержание. Как граница между всеми по­ложительными и отрицательными величинами, как единственное действительно нейтральное число, не могущее быть ни положительным, ни отрицательным, он не только представляет собой весьма определенное число, но и по своей природе важнее всех других, ограничивае­мых им чисел. Действительно, нуль богаче содержанием, чем всякое иное число. Прибавлен­ный к любому числу справа, он в нашей системе счисления удесятеряет данное число. Вме­сто нуля для этой цели можно было бы применить любой другой знак, но лишь при том ус­ловии, чтобы этот знак, взятый сам по себе, означал нуль, был бы равен нулю. Таким обра­зом, в самой природе нуля заключено то, что он находит такое применение и что только он один может получить такое применение. Нуль уничтожает всякое другое число, на которое его умножают; если его сделать делителем или делимым по отношению к любому другому числу, то это число превращается в первом случае в бесконечно большое, а во втором случае — в бесконечно малое; нуль есть единственное число, находящееся в бесконечном отноше­нии к любому другому числу. Дробь % может выражать любое число между —оо и +оо и представляет в каждом случае некоторую действительную величину. — Действительное со­держание какого-нибудь уравнения обнаруживается со всей ясностью лишь тогда, когда все члены его перенесены на одну сторону и уравнение тем самым приравнено к нулю, как это имеет место уже в квадратных уравнениях и как это является почти общим правилом в выс­шей алгебре. Функцию F(x,y) = 0 можно затем приравнять также к некоторому z, чтобы дифференцировать этот z, хотя он = 0, как обыкновенную зависимую переменную и полу­чить его частную производную.

Но ничто от каждого отдельного определенного количества само имеет еще количествен­ное определение, и лишь поэтому можно оперировать нулем. Те самые математики, которые без всякого стеснения оперируют с нулем вышеуказанным образом, т. е. оперируют с ним как с определенным количественным представлением, приводя его в количественные отно­шения к другим количественным представлениям, — поднимают страшный вопль, когда на­ходят это у Гегеля в такой обобщенной

МАТЕМАТИКА 577

форме: ничто от некоторого нечто есть некое определенное ничто* .

Перейдем теперь к (аналитической) геометрии. Здесь нуль — определенная точка, начи­ная от которой на данной прямой в одном направлении отсчитываются положительные ве­личины, а в противоположном — отрицательные. Таким образом, здесь нулевая точка не только так же важна, как любая точка, обозначаемая при помощи некоторой положительной или отрицательной величины, но и гораздо важнее всех их; это — та точка, от которой все они зависят, к которой все они относятся, которой они все определяются. Во многих случаях она может браться даже совершенно произвольным образом. Но раз она взята, она остается средоточием всей операции, часто даже определяет направление той линии, на которую на­носятся другие точки, конечные точки абсцисс. Если, например, чтобы получить уравнение круга, мы примем любую точку периферии за нулевую точку, то линия абсцисс должна про­ходить через центр круга. Все это находит свое применение также и в механике, где точно так же при вычислении движений принятая в том или другом случае нулевая точка образует главный пункт и стержень всей операции. Нулевая точка термометра — это вполне опреде­ленная нижняя граница температурного отрезка, разделяемого на произвольное число граду­сов и служащего благодаря этому мерой температур как внутри самого себя, так и более вы­соких или более низких температур. Таким образом, и здесь нулевая точка является весьма существенной точкой. И даже абсолютный нуль термометра представляет отнюдь не чистое абстрактное отрицание, а очень определенное состояние материи — именно ту границу, у которой исчезает последний след самостоятельного движения молекул и материя действует только как масса.

Итак, где бы мы ни встречались с нулем, он повсюду представляет нечто весьма опреде­ленное, и его практическое применение в геометрии, механике и т. д. доказывает, что в каче­стве границы он важнее, чем все действительные, ограничиваемые им величины.

* * *

Нулевые степени. Их значение в логарифмическом ряду:

О 1 2 3 log

10°, 10¹, 10², 10³. Все переменные проходят где-нибудь через

См. настоящий том, стр. 536. Ред.

_____________________ «ДИАЛЕКТИКА ПРИРОДЫ». ЗАМЕТКИ И ФРАГМЕНТЫ_________________ 578

значение единицы; таким образом, также и постоянная в переменной степени (ax) равняется единице, когда x = 0. Выражение а = 1 не означает ничего другого, кроме того, что единица берется в ее связи с другими членами ряда степеней a. Только в этом случае оно имеет смысл и может дать полезные результаты (Ex = ^х/(о) , в противном же случае — нет. Отсюда сле­дует, что и единица, как бы она ни казалась тождественной самой себе, заключает в себе бес­конечное многообразие, ибо она может быть нулевой степенью любого другого числа; а что это многообразие отнюдь не воображаемое, обнаруживается всякий раз, когда единица рас­сматривается как определенная единица, как один из переменных результатов какого-нибудь процесса (как мгновенная величина или форма некоторой переменной) в связи с этим про­цессом.

4—1. — Отрицательные величины алгебры реальны лишь постольку, поскольку они соот­носятся с положительными величинами, реальны лишь в рамках своего отношения к послед­ним; взятые вне этого отношения, сами по себе, они носят чисто воображаемый характер. В тригонометрии и в аналитической геометрии, а также в построенных на них отраслях выс­шей математики, они выражают определенное направление движения, противоположное по­ложительному направлению. Но синусы и тангенсы круга можно с одинаковым успехом от­считывать как с первого, так и с четвертого квадранта и, таким образом, можно прямо заме­нить плюс на минус, и наоборот. Точно так же в аналитической геометрии можно отсчиты­вать абсциссы в круге, начиная либо с периферии, либо с центра, и вообще у всех кривых абсциссы можно отсчитывать от кривой в направлении, обозначаемом обыкновенно знаком минус, [или] в любом другом направлении, и тем не менее мы получаем правильное рацио­нальное уравнение кривой. Здесь плюс существует только как необходимое дополнение ми­нуса, и наоборот. Но алгебраическая абстракция рассматривает отрицательные величины как действительные, самостоятельные величины, имеющие значение также и вне отношения к некоторой большей, положительной величине.

* * *

Математика. Обыкновенному человеческому рассудку кажется нелепостью разлагать некоторую определенную величину,

МАТЕМАТИКА 579

например бином, в бесконечный ряд, т. е. в нечто неопределенное. Но далеко ли ушли бы мы без бесконечных рядов или без теоремы о биноме?

Асимптоты. Геометрия начинает с открытия, что прямое и кривое суть абсолютные про­тивоположности, что прямое полностью не выразимо в кривом, а кривое — в прямом, что они несоизмеримы между собой. И тем не менее уже вычисление круга возможно лишь в том случае, если выразить его периферию в виде прямых линий. В случае же кривых с асим­птотами прямое совершенно расплывается в кривое и кривое в прямое, — точно так же как расплывается представление о параллелизме: линии не параллельны, они непрерывно при­ближаются друг к другу и все-таки никогда не сходятся. Ветвь кривой становится все пря­мее, не делаясь никогда вполне прямой, подобно тому как в аналитической геометрии пря­мая линия рассматривается как кривая первого порядка с бесконечно малой кривизной. Сколь бы большим ни сделалось — х логарифмической кривой, у никогда не станет = 0.

* * *

Прямое и кривое. В дифференциальном исчислении они в конечном счете приравнивают­ся друг к другу. В дифференциальном треугольнике, гипотенузу которого образует диффе­ренциал дуги (если пользоваться методом касательных), эту гипотенузу можно рассматри­вать

«как маленькую прямую линию, являющуюся одновременно элементом дуги и элементом касательной», — все равно, будем ли мы рассматривать кривую как состоящую из бесконечно многих прямых линий или же «как строгую кривую; ибо, поскольку искривление в каждой точке М бесконечно мало, — последнее отношение элемента кривой к элементу касательной есть, очевидно, отношение равенства»^*.

Отношение здесь непрерывно приближается к отношению равенства, но приближается, сообразно природе кривой, асимптотическим образом, так как соприкасание ограничивает­ся точкой, не имеющей длины. Тем не менее в конце концов принимается, что равенство кривой и прямой достигнуто (Боссю, «Дифференциальное и интегральное исчисление»,

Подчеркнуто Энгельсом. Ред.

_____________________ «ДИАЛЕКТИКА ПРИРОДЫ». ЗАМЕТКИ И ФРАГМЕНТЫ_________________ 580

Париж, год VI, т. I, стр. 149)⁴⁵⁸. В случае полярных кривых⁴⁵⁹ дифференциальная воображае­мая абсцисса принимается даже за параллельную действительной абсциссе, и на основе этого допущения производят дальнейшие действия, хотя обе пересекаются в полюсе; отсюда даже умозаключают о подобии двух треугольников, из которых один имеет один из своих углов как раз в точке пересечения тех двух линий, на параллелизме которых основывается все по­добие! (фиг. 17)⁴⁶⁰.

Когда математика прямого и кривого оказывается, можно сказать, исчерпанной, — новое, почти безграничное поприще открывается такой математикой, которая рассматривает кри­вое как прямое (дифференциальный треугольник) и прямое как кривое (кривая первого по­рядка с бесконечно малой кривизной). О метафизика!

Тригонометрия. После того как синтетическая геометрия до конца исчерпала свойства треугольника, поскольку последний рассматривается сам по себе, и не в состоянии более сказать ничего нового, перед нами благодаря одному очень простому, вполне диалектиче­скому приему открывается некоторый более широкий горизонт. Треугольник более не рас­сматривается в себе и сам по себе, а берется в связи с некоторой другой фигурой — кругом. Каждый прямоугольный треугольник можно рассматривать как принадлежность некоторого круга: если гипотенуза = r, то катеты образуют синус и косинус; если один катет = r, то дру­гой катет = tg, а гипотенуза = sec. Благодаря этому стороны и углы получают совершенно иные определенные взаимоотношения, которых нельзя было открыть и использовать без это­го отнесения треугольника к кругу, и развивается совершенно новая, далеко превосходящая старую теория треугольника, которая применима повсюду, ибо всякий треугольник можно разбить на два прямоугольных треугольника. Это развитие тригонометрии из синтетической геометрии является хорошим примером диалектики, рассматривающей вещи не в их изоли­рованности, а в их взаимной связи.

Тождество и различие — диалектическое отношение уже в дифференциальном исчисле­нии, где dx бесконечно мало, но тем не менее действенно и производит все.

МАТЕМАТИКА 581

* * *

Молекула и дифференциал. Видеман (кн. III, стр. 636)461 прямо противопоставляет друг другу конечное расстояние и молекулярное.

* * *

О ПРООБРАЗАХ МАТЕМАТИЧЕСКОГО БЕСКОНЕЧНОГО

" 462

В ДЕЙСТВИТЕЛЬНОМ МИРЕ