Энергия, энтропия, эволюция

Со школьных времен мы помним, что энергия — это способность выполнять работу. Энергия позволяет и понуждает что-то делать. Энергия в замкнутой физической системе сохраняется. В этом смысле энергия предана своей замкнутой системе. Но, сохраняясь, энергия не утрачивает возможности к трансформации. Подобно оборотню, способному превращаться из человека в животное, энергия может превращаться из кинетической в потенциальную и принимать разные формы: теплота, работа, механическая энергия, электрическая энергия и многие другие.

Начиная с работ Галилея и Ньютона было известно, что все движущееся обладает кинетической энергией, а все тела, которые находятся в поле тяготения, обладают потенциальной энергией — способностью к движению. Кинетическая энергия может превра­титься в потенциальную. Однако обобщенное понятие энергии оформилось только в XIX веке благодаря появлению теории теплоты. В 1842 году Юлиус Роберт Майер служил судовым врачом. Во время путешествия на остров Ява он сформулировал закон сохранения энергии, или первый закон термодинамики:

►Теплота является одной из форм энергии, а полная энергия замкнутой системы всегда сохраняется.

Эта идея сегодня кажется простой и даже тривиальной. Но это не так. Напомним, что со времен греческих мыслителей физики считали первоэлемент материи (атом) фундаментальной основой природы. Оказалось, что атом можно делить, и делить настолько, что от материи ничего не остается. Однако «нечто» все-таки сохраняется. И это «нечто» есть абстрактная численная величина — энергия. Энергия сохраняется, но принимает разные формы. Даже такие, о которых мы, быть может, еще и не подозреваем. Ричард Фейнман в «Лекции о сохранении энергии» пишет:

«Установлен факт, или, если хотите, закон, а по существу математический принцип, согласно которому существует некая числовая величина, называемая энергией, которая не меняется, что бы ни происходило. Это не описание какого-либо объекта или процесса; это просто то странное обстоятельство, что мы можем вычислить некоторое число, и когда мы закончим наблюдать за проделками природы и вычислим это число ещераз.оно останется прежним».

Мы знаем, что если объект или явление существуют, то они обладают энергией. Если позитрон и электрон «ничего не делают», и потом соединяются и исчезают, то высвобождается определенное количество энергии излучения и его можно подсчитать. Все, что требуется, — это знать массу объектов и подставить ее в формулу I Эйнштейна Е = mc².

Между тем мы не понимаем, что такое энергия как таковая. Дин нас энергия — это только лишь математическая величина, очень абстрактная и даже, пожалуй, символическая. Последнее вернее всего. В трактовке Амалии Эмми Нётер законы сохранения энергии есть следствия символической симметрии. Теорема Нётер утверждает, что управляющие энергией законы неизменны (инвари- антны) относительно непрерывных изменений или преобразований вовремени.

► ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ - ЭТО ПРОЯВЛЕНИЯ СИММЕТРИИ.

Однако что такое симметрия? Прежде всего это нечто привлекательное для человека. Природа буквально «кишит» разными видами симметрии. Их разнообразие восхищает. Герман Вейл смог точно и элегантно определить симметрию: «Вещь считается симметричной, если мы можем с ней что-то сделать таким образом, что после этого она выглядит также, как раньше».

Нетер доказала, что если некое физическое количество сохраняется, то законы сохранения — каковы бы они ни были — должны бытьинвариантны некоему непрерывному преобразованию симметрии Что же такое «непрерывное преобразование симметрии»? Поясним на примере. Круг симметричен относительно непрерывного вращения, поскольку на какой бы угол мы ни повернули круг, он будетвыглядеть неизменившимся. С квадратом такая манипуляция не пройдет. Квадрат симметричен только при повороте на 90°. Применительно к симметрии законов сохранения это означает следующее. Математические уравнения, описывающие динамику энергии в физической системе в какой-то момент времени, будут точно такими же и через бесконечно малый промежуток времени. Это хорошая новость. Вы только представьте себе мир, в котором законы изменяются на каждом шагу!

Таким образом, закон сохранения энергии указывает на то, что физические законы неизменны во времени.

Глубинная симметрия природы проявляет себя в символических структурах — в уравнениях. Природа говорит уравнениями. И среди них есть такие, которые симметричны относительно того или иного преобразования переменной. Симметрия сама по себе есть знак присутствия некоей структуры.

Сам факт существования такой величины, как энергия, — знак того, что в реальности существуют организованные структуры реальности.

Интуитивно это предчувствовали еще древнегреческие мыслители, пытавшиеся выявить первоэлементы мироздания. Они были почти правы. Но вода, земля, воздух, пламя и даже эфир не сохраняются. Все они появляются, преобразуются и исчезают. Сохраняется только энергия. Эйнштейн показал, что любое вещество можно преобразовать в энергию, а из энергии может родиться все что угодно. Мы не можем ни создать, ни уничтожить энергию. Мы можем только преобразовать энергию из одного вида в другой.

Весь смысл понятия энергии в том, что материальное может быть конвертировано в динамическое, и наоборот. Материальное и динамическое в своем единстве образуют физическую реальность.

Энергия заставляет физические системы что-то делать — а что именно нужно делать, говорит энтропия.

Если понятие «энергия» связывает вещественное и динамическое, то понятие «энтропия» связывает символическое (информационное, математическое) и физическое (вещественное, динамическое]. Энергия и энтропия дополняют друг друга.

Слово «энтропия» Клаузиус ввел в 1824 году. Он обнаружил «нечто», связанное с энергией, но не энергию. Он мог это «нечто» количественно определить, но не мог ясно описать. Клаузиус занимался термодинамикой. Термодинамика развивалась одно временно с паровыми двигателями. Она сосредоточилась на преобразованиях тепла или энергии в работу. Клаузиус заметил, что когда происходит это преобразование и тепло приводит в движение движитель, само тепло не исчезает, а переходит от более горячего тела к более холодному. Сади Карно представлял себе процесс передачи теплоты как течение некой субстанции — «флюгистона», или теплорода. Он сравнивал процесс теплопередачис водяным колесом. Вода спускается сверху вниз. Воды не становится ни больше, ни меньше. Во время движения вниз вода производит работу. Способность термодинамических систем производить работу зависит не столько от самого тепла, сколько от разности температур горячего и холодного тела. Горячий камень, опущенный в холодную воду, способен производить работу. Например, создавая пар, который вращает турбину. В конечном и юге камень и вода достигнут одинаковых температур. Когда температура всех элементов замкнутой системы одинакова, работа произведена не будет. Именно эту недоступность энергии, ее бесполезность для работы Клаузиус назвал энтропией, что в переводе сгреческого означает «содержание преобразования», или «способность к превращениям».

► ЭНТРОПИЯ, СОГЛАСНО КЛАУЗИУСУ, ЕСТЬ МЕРА НЕДОСТУПНОСТИЭНЕРГИИ.

Втом же 1824 году НиколаСади Карно сформулировал принцип, названный вторым началом термодинамики: «Само собой тепло передается от горячего тела к холодному, но не может переходить от холодного тела к горячему».

Геймгольц придал этому началу космологический характер: «Вселенная обречена на вечный покой».

Тепловая смерть не холодна, она еле теплая и скучная. Рассеянная энергия существует, но она бесполезна. Второй закон термодинамики есть тенденция вселенной двигаться от менее вероятных (более упорядоченных) состояний к более вероятным (беспорядочным) состояниям. Вероятность того, что тепло перейдет от более холодного тела к более теплому (без вмешательства извне), крайне мала. Крайне мала вероятность того, что порядок появится из беспорядка (без вмешательства извне). Упорядоченные состояния имеют низкую вероятность и низкую энтропию. Холодный и теплый газ всосуде легко размешивается, но обратно никак не разделяется. Физика не запрещает разделение газа в сосуде на горячий и холодный, просто вероятность этого события крайне мала. Мы можем хоть целую вечность наблюдать за газом в сосуде и не дождемся, когда он разделится на горячие атомы в одной части сосуда и холодные — в другой.

Наряду с термодинамическим толкованием Клаузиуса, у второго начала термодинамики есть и статистическое толкование. Его предложил Людвиг Больцман. Согласно Больцману, энтропия есть мера вероятности пребывания системы в том или другом состоянии. Больцман открыл эквивалентность усреднения по времени усреднению по ансамблю (эргодичность). Это открытие не могло не тревожить Больцмана. Дело в том, что законы природы есть уравнения, параметры которых представляют собой статистически осредненные величины. Но это полбеды. Беда в том, что при выборе этих величин допустимы субъективность и произвол. Например, температура газа — мера средней энергии молекул — выбрана Цельсием, Фаренгейтом, Кельвином и другими на основе их собственных предпочтений. В таком случае законы термодинамики, построенные на основе столь субъективных параметров, не могут быть сведены к абсолютным законам механики Ньютона. И, если так, нет оснований считать, что статистические законы выражают объективную реальность. Это не давало покоя Больцману. Трагизм положения только усиливал тот факт, что его идеи не находили понимания у современников. Больцман болезненно переживал напряженные полемики вокруг молекулярно-кинетической теории и впадал в депрессию. Во время одного из приступов депрессии он покончил с собой. На его могильном камне выбита самая известная из его формул: S = к ^хIn Р, где к — постоянная Больцмана, а Р — число способов, которыми может быть осуществлено это состояние.

Ральф Хартли обнаружил, что формула Больцмана применима к процессам передачи информации. Для практического применения Клод Шенон предложил измерять информацию как функцию вероятности событий и переписал формулу так:Н = -∑ р_ilog₂р_i, где р_i есть вероятность каждого сообщения. В этой трактовке мерой информации стала мера неопределенности, мера неожиданности того или иного сообщения. Теперь эту неопределенность можно выразить числом. Шенон предложил:

«Получившиеся единицы можно назвать двоичными цифрами (binary digit) или, более кратко, битами».

Так появились биты. Бит, как наименьшее возможное количество информации, представляет собой количество неопределенностивозникающее при подбрасывании монеты. В этом случае логарифм по основанию 2 от ¹/₂ есть -1. Таким образом, Н = 1 бит.Знак выбранный из алфавита в 32 знака, несет больше информации, а именно 5 бит, поскольку логарифм от 32 по основанию 2 есть 5. Строка из 1 000 таких знаков содержит5000 бит информации. С 1 000 знаков в 32-значном алфавите есть 321 000 возможных сообщений. И логарифм этого числа равен 5 ООО.

Теперь энтропия стала мерой информации. Энтропия приобрела физический смысл. Она пропорциональна числу битов, равных числу возможных микросостояний системы. В процессе обработки информации биты организуются. Описание структуры организации битов может быть сведено к некоторой строке или матрице битов, Этастрока — полезная информация о системе. Неосмысленная и необработанная информация бесполезна. Бесполезная информация равна энтропии системы. Она относительна. Разные наблюдатели могут обладать разной долей полезной информации. То, что известно одному наблюдателю, может быть неизвестно другому. Но сумма недостающей полезной информации и энтропии одинакова для любого наблюдателя. В этом суть известного принципа Шенона:

►сумма недостающей полезной информации и энтропии есть величина постоянная.

Отсюда следует также, что прирост полезной информации равен приросту энтропии. По мере получения полезной информации о системе величина недостающей полезной информации в системе уменьшается, а энтропия системы растет в полном соответствии со вторым началом термодинамики. Энтропия — бесполезная информация. Она связана с бесполезной теплотой.

Наши серверы, обрабатывая информацию, поглощают все больше энергии и выбрасывают все больше теплоты в окружающую среду.

Научная мысль еще в XIX веке подошла к пониманию того, что материальное отличается от динамического в рамках единого физического целого. Это понимание складывалось вместе с представлением об энергии. Затем произошло осознание того, что физическая реальность отличается от информационной реальности, при том что они неотделимы одна от другой. Это понимание сформировалось вместе с представлениями об энтропии как мере информации.

►Энергия представляет вещественное и динамическое как единую категорию — физическую реальность, а энтропия связывает физическое и символическое в одно образование, которое, по существу, и есть настоящая реальность.

Энергия — это оборотень, в зависимости от положения наблюдателя изменяется потенциальная и кинетическая энергия, но их сумма сохраняется. Энтропия — это оборотень, в зависимости от осведомленности наблюдателя изменяются недостающая полезная информация о системе и энтропия.

Реальность эволюционирует. Ламарк первым постулировал изменчивость видов, причину которой он видел в непрерывной приспособляемости организмов к окружающей среде: жираф, вы­нужденный тянуться за высоко растущими листьями, постепенно приобретает длинную шею. По Ламарку, виды появляются, чтобы выжить. По Дарвину, виды возникают по случаю, а окружающая среда определяет, выживут они или нет. Различие может показаться незначительным, но оно существенно.

►Новый вид образуется не потому, что исчерпаны возможности выживания, а в силу случайного изменения одного из признаков.

Дарвин сместил акцент с непрерывной изменчивости видов на факт вариации признаков и последующий «естественный отбор». Дарвин, по существу, представил эволюцию как алгоритм из трех повторяющихся блоков: комбинация и рекомбинация производителей (1), вариация наследственных качеств (2) и естественного отбора потомства (3). Механизм вариации наследственных качеств (появление случайных мутаций) Дарвин не объяснял. Все внимание Дарвина обращено на жесточайшую борьбу за выживание: ееДарвин возводит в ранг основополагающих принципов. Саму жизнь Дарвин выводит из смерти.

►ЖИЗНЬ ЖИВЕТ ЗА СЧЕТ ДРУГОЙ ЖИЗНИ.

Дарвин пишет:

«Любое органическое существо численно возрастает естественным путем с такой большой скоростью, что, не подвергайся оно истреблению, потомство одной пары вскоре заполнило бы всю Землю. Борьба за существование неизбежно вытекает из высокой скорости, с которой органические существа стремятся увеличить свою численность... Принцип сохранения и выживания наиболее приспособленного я назвал естественным отбором».

Кто лучше приспособлен — естественным образом скорее выживает в потомстве, а кто хуже — естественным образом «сходит со сцены». По умолчанию дело представляется так, словно существуют критерии оптимальной приспособленности вида к среде обитания. Критерии приспособленности, подобно «невидимой руке» Адама Смита, прилаживают виды к окружающей среде, но сами критерии никому не известны, и даже нет оснований считать их неизменными. Чем плохо был приспособлен саблезубый тигр, почему вымер — ученым неясно. И чем хорошо приспособлен павлин с его огромным хвостом? Никто не знает. Критерии приспособляемости никому неизвестны.

В процессе приспособления не только нет предела совершенству, но нет и самого совершенства. Нет никакой уверенности в том, что выживают самые приспособленные, разве что в том смысле, что выживание уже доказывает приспособленность. Но самое главное, что отдельные биологические виды не только приспосабливаются к своему окружению, но стараются повернуть — и порой поворачивают — ход событий в свою пользу.

►Биологический вид приспосабливается к изменчивой окружающей среде, которую и сам отчасти приспосабливает к себе.

Дарвину было известно, что разнообразие видов не истощает ре­сурсы, но способствует их эффективному использованию и даже ре­генерации. Чем больше видов обитает на одном участке земли, тем эффективнее используется эта земля. Ряд недавних экспериментом подтвердил его гипотезу. Например, проведенное в 1984 году об следование 147 участков прерий в штате Миннесота показало: чем больше численность организмов на участке, тем больше биомассы производит этот участок и тем больше азота производит почва. При малом количестве организмов азот улетучивается из почвы и пропадает напрасно.

Дарвин вплотную приблизился к эффекту обратного влияния, но не сделал решающий вывод: приспособлению вида к окружающей среде сопутствует приспособление окружающей среды к виду. Этот вывод отменяет линейную логику естественного отбора в борьбе за выживание. Эволюция есть следствие особого рода петли обратного влияния между видом и средой его обитания. Механизм этого влияния Дарвин не мог понять. В «Происхождении видов» он признался: «Законы, управляющие наследственностью, нам точно неизвестны».

В период с 1856 по 1863 год, когда публиковалось «Происхождение видов», монах из Австро-Венгерской империи Грегор Иоганн Мендель проводил эксперименты по скрещиванию сортов гороха и других растений с характерными чертами. Мендель обнаружил,что качества гороха не смешиваются. При скрещивании высоких растений скарликовыми рождаются растения не среднего, но высокого роста; в результате скрещивания желтого гороха с зелёным появляются не желто-зеленые, а скорее желтые горошины. Когда же он перешел к перекрестному скрещиванию гибридов, полученных от скрещивания высоких растений скарликовыми, то, хотя всегибриды были высокими, четвертая часть потомства оказалась •карликовой. Мендель предположил, что сами альтернативные признаки — рост, форма или цвет — наследуются напрямую и явно наугад. Мендель сформулировал закон сегрегации. Наследственные признаки передаются от каждого из родителей напрямую и в равной степени. Они не смешиваются и существуют по отдельности. Каждый признак генерируется двумя командами, причем доминантный признак определяет внешний вид, а рецессивный признак как бы спит, но способен проявляться в последующих поколениях. Кроме того Мендель сформулировал закон независимого расщепления. При скрещивании передаются только индивидуальные признаки, ане полный комплекс характеристик. Наследование «факторов» происходит по воле случая, причем доминантные «факторы» имеют небольше шансов на победу в последующем поколении, чем рецессивные.

►В процессе эволюции часто аутсайдеры вдруг становятся лидерами и начинают захватывать место в биосфере.

При жизни Менделя никто не воспринял его работы всерьез. Незадолго до смерти, когда он сменил скрещивание гороха на менее приятные обязанности аббата своего монастыря, наука открыла хромосомы, хотя поначалу никто не знал, зачем они нужны. Значение открытий Менделя стало окончательно очевидным лишь в XX веке.«Факторы» Менделя переименовали в гены, и ученые осознали, что каждая пара хромосом в клетке несет в себе большое количество генетических данных.

Между 1907 и 1915 годами американский биолог Томас Хант Морган, занимавшийся разведением плодовых мушек дрозофил, судивлением заметил, что у одной глаза были белыми в отличие от обычных красных. Еще более удивительным оказалось то, что белыеглаза передались по наследству. Не в следующем поколении, а через поколение у одной трети дрозофил, причем только у самцов, глаза оказались белыми, в точности как предсказывали законы Менделя. В 1915 году Морган написал работу «Механизмы наследственности Менделя», в которой доказал, что гены — это реальные физические единицы, располагающиеся вдоль хромосом, и что наследуются именно индивидуальные гены. Кроме того, Морган в совершенно новом свете представил механизм мутаций: мелкие вариации внедряются в популяцию, как аллели — альтернативные характеристики, — а внешняя среда оказывает избирательное давление на их адаптивность.

Суммируя сказанное, сформулируем основные положения теории эволюции на основе естественного отбора:

●Модификация возникает из единообразия. От одного первоначального вида происходят все остальные. Новые виды формируются на основе существующих. Этот принцип универсален: в сфере познания каждая новая ветвь порождает одну или несколько новых ветвей; в экономике то же самое происходит, когда одна фирма образует дочерние компании.

►Вариация — двигатель развития.

●Модификации становятся единообразиями, из которых возникают дальнейшие модификации. Каждая модификация становится новым единообразием, способным впоследствии порождать новые модификации. Этот процесс ведет к увеличению сложности и появлению многообразия. Простой, базовый процесс, если его повторять бесконечное множество раз, приводит к поразительному многообразию.

►Многообразие есть результат повторения простои операции в разных условиях.

●Развитие зависит от соразвития. Дарвин ясно представлял себе природную паутину взаимозависимых видов. Сегодняшняя глобальная экономика демонстрирует ту же модель совместного развития и сложнейшие взаимосвязи.

►Чем больше разнообразия, тем эффективнее используются ресурсы.

Из этих положений вытекают практические правила:

●В природе, идеях и экономике производится так много всего, что выжить может лишь малая часть. Неудача — это нормальное явление. Она подразумевает, что надеяться на успех могут только организмы, производящие большое потомство и множество новых вариаций.

●Выживание или гибель отдельных видов ииндивидов определяется условиями жизни. Любой набор персональных качеств хорошно не при любых обстоятельствах.

●Процесс естественного отбора во многом зависит от удачи, случайности и капризов судьбы.

●Изменения окружающей среды оказываются благоприятны для никоторых новых мутаций.

►Новые формы жизни возникают вне всякой оптимальности.

Стоит обратить внимание, что индустриальное общество возникло не путем эволюционной трансформации земельных хозяйств в мануфактуры, но напротив, совершенно от них независимо, альтернативно, только благодаря способности к выживанию. Подобным образом сегодня формы нового социального устройства возникают рядом с предприятиями индустриального общества, ноне путем оптимизации последних. Новые структуры обладают достаточной пластичностью, чтобы противостоять высокой степени риска. Мягкость и гибкость таких структур позволяют обеспечить скорость обратной связи на порядок выше, чем у предприятий индустриального типа. Новый вид начинает осваивать ресурсы новой ниши при малой конкуренции. Эти ресурсы обеспечивают максимальныйприрост энтропии и, как следствие, рост беспорядка. По мере исчерпания ресурсов скорость производства энтропии затухаети создается впечатление упорядочивания.

Механизм эволюции на основе естественного отбора есть процесс,идущий на основе алгоритма приспособления к окружающим условиям. Будучи алгоритмическим, этот механизм не детерминирован.

ЭЛЕГАНТНЫЙ ХАОС:

КОНЕЦ ОПРЕДЕЛЕННОСТИ

В XVIII веке Пьер-Симон Лаплас писал:

Физическая астрономия, область знания, которая делает величайшую честь человеческому уму, дает нам представление, хотя и неполное, чем был бы такой разум. Простота законов, по которым движутся небесные тела, и соотношения между их массами и расстояниями позволяют проанализировать их движение до определенной точки, и, чтобы определить состояние системы этих крупных тел в прошлых или будущих веках, математику достаточно того, чтобы их положение и скорость были получены из наблюдений в любой момент времени. Человек обязан этим мощности приборов, которыми он пользуется, и небольшому числу соотношений, которые он применяет в своих расчетах. Однако незнание различных причин, вызывающих те или иные события, а также их сложность в сочетании с несовершенством анализа мешают нам достичь той же уверенности по отношению к огромному большинству явлений. Таким образом, существуют вещи, которые для нас неопределенны, вещи, более или менее вероятные, и мы стараемся компенсировать невозможность их узнать, определяя различные степени их достоверности. Получается, что слабости человеческого разума мы обязаны появлением одной из самых тонких и искусных математических теорий — науки о случае, или о вероятности».

Успехи классической механики в ХVII-ХIХ веках были столь впе­чатляющими, что стало казаться возможным представлять себе всю Вселенную как одну гигантскую динамическую систему, которая определена и теоретически предсказуема. В 1776 году Лаплас сформулировал принцип детерминизма:

►«Состояние природы в настоящем есть, очевидно, следствие того, каким оно было в предыдущий момент, и если мы представим себе разум, который в данное мгновение постиг все связи между объектами Вселенной, то он сможет установить соответствующие положения, движения и общие воздействия этих объектов в любое время в прошлом или в будущем».

Согласно принципу Лапласа, непредсказуемость есть следствие неполноты знания. Поведение динамической системы должно быть полностью предопределенным и предсказуемым, коль скоро точно известны начальные условия и законы эволюции динамической системы. Древняя китайская мудрость гласит:

►«Ошибка на толщину волоса может сбить с пути на тысячу миль».

Гипотетическое существо, которому все точно известно, интерпретаторы Лапласа стали называть демоном Лапласа. Кстати, Лаплас не называл это существо демоном. Скорее, он считал его некой божественной сущностью. Божественный демон Лапласа знает начальное состояние любой системы и может рассчитать все последующие ее состояния. Вот только на каждом шаге эволюции он будет вынужден беспрерывно уточнять параметры начального состояния, поскольку по мере развития системы ее чувствительность к точности начальных параметров возрастает, и возрастает сверхбыстро. Выдержать этот дьявольский марафон без финишной черты даже демону Лапласа не под силу.

Детерминизм Лапласа доминировал в научной среде вплоть до начала XX века. Представление о том, что малые усилия могут совершить титаническую работу, было вполне в духе индустриального общества. Даже людям, далеким от техники, такие идеи представлялись естественными. Так, например, Федор Михайлович Достоевский писал:

►«ГОМЕОПАТИЧЕСКИЕ ДОЛИ САМЫЕ, БЫТЬ МОЖЕТ. СИЛЬНЫЕ».

Вполне естественно, что Анри Пуанкаре в начале своей научной карьеры следовал традиции детерминизма в духе Лапласа и Декарта:

«Если бы законы природы и состояние Вселенной были точно известны к моменту начала, мы могли бы точно определить состояние материи в более поздний период. Но даже если бы законы природы открыли нам все свои тайны, мы и тогда могли бы знать начальное положение лишь приближенно. Если бы это позволило нам предсказать последующее положение с тем же приближением, это было бы все, что нам требуется, и мы могли бы сказать, что явление было предсказано, что оно управляется законами. Но это не всегда так; может случиться, что малые различия в начальных условиях вызовут очень большие различия в конечном явлении. Малая ошибка в первых породит огромную ошибку в последнем.Предсказание становится невозможным, и мы имеем дело с явлением, которое развивается по воле случая».

Однако начиная с 1892 года Пуанкаре постепенно изменяет свое отношение к детерминизму Лапласа. Рассчитывая орбиты планет с учетом их взаимодействия, Пуанкаре обнаружил, что некоторые детерминированные механические системы, подчиняясь уравнениям Гамильтона, могут вести себя непредсказуемо. Эти системы следовало отличать от привычных линейных систем. В линейной системе близко расположенные точки фазового пространства остаются близкими в процессе эволюции системы. Такие системы предсказуемы: начальное измерение содержит информацию, которой можно воспользоваться для прогноза будущего поведения системы. Но большинство систем нелинейно: сколь угодно близко расположенные точки в фазовом пространстве расходятся в процессе эволюции. В 1903 году Пуанкаре написал:

Совершенно ничтожная причина, ускользающая от нас по своей малости, вызывает значительное действие, которое мы не можем предусмотреть. Может случиться, что малые различия в начальных условиях вызовут очень большие различия в конечном явлении. Предсказание становится невозможным, и мы имеем дело с явлением, которое развивается по воле случая».