Задачі на знаходження значень величини за двома різницями
Задачі цього типу зустрічаються в четвертому класі чотирирічної початкове школи і їх сюжети характеризуються зв'язками між пропорційними величинами. Ці задачі називають задачами на знаходження значень величиниза двома різницями тому, що в умові задачі дано значення однієї різниці,а саме різним шуканих двох значень величини, а другу різницю знаходятьпершою дією під час розв'язування - це є різниця двох даних в умові значень іншоївеличини Щоб охарактеризувати методику роботи по формуванню мислення та мовлення молодших школярів в процесі розв'язування задач цього типу, розглянемо задачу №1083 з підручника М.В.Богдановича "Математика" 4(3).
Задача. Один вертоліт пролетів 480 км, а другий 800 км. Перший вертоліт був у польоті на 2 години менше. Скільки годин був у польоті кожний вертоліт, якщо їх швидкість однакова?
Скорочений запис цієї задачі найзручніше виконати в таблиці (як і всіх задач на зв'язки між пропорційними величинами).
| Швидкість | Час | Відстань | |
| І вертоліт ІI вертоліт | однакова | ?, на 2 год менше ? | 480 км 800 км |
Здійснюючи розбір змісту задачі після її читання і виконання скороченого запису, вчитель повинен ґрунтовно роз'яснити учням співвідношення між значеннями величин, повторити і відтворити здобуті ними раніше знання залежностей між величинами цієї групи, виконати ілюстрацію задачі:
І вертоліт
II вертоліт
Після цього слід продемонструвати зразок міркування в процесі пошуку шляху розв'язування задачі: "З таблиці і графічної ілюстрації видно, що перший вертоліт пролетів меншу відстань, ніж другий, хоч вони обидва рухалися з однаковою швидкістю. Цікаво, чому перший вертоліт пролетів меншу відстань, ніж другий? Напевне тому, що він був у польоті аж на 2 год. менше часу, ніж другий. Бо якби обидва вертольоти були в польоті однаковий час, то, рухаючись з однаковою швидкістю, вони пролетіли б і однакову відстань. Але другий вертоліт був у польоті стільки часу, скільки перший, та ще 2 год, тому він і пролетів більшу відстань. Цікаво, скільки кілометрів пролетів другий вертоліт за 2 години? З ілюстрації видно, що перший і другий вертольоти за однаковий час перебування у польоті пролетіли однакову відстань, тобто по 480 км. Але другий вертоліт, крім цього, пролетів ще деяку відстань за 2 год, яка в сумі із відстанню 480 км становить 800 км. Отже, відстань, яку пролетів другий вертоліт за 2 год, дорівнює різниці 800-480=320 км. (Слід жестом показати на ілюстрації відстань, яку пролетів другий вертоліт за 2 год.)Далі продовжуємо міркувати так: якщо за 2 год другий вертоліт пролетів 320 км, то за 1 год він пролітав у 2 рази меншу відстань, тобто 320:2=160 км. Відстань, яку пролетів другий вертоліт за 1 год, називається його швидкістю. Отже, швидкість другого вертольота 160 км/год. З умови задачі відомо, що швидкість обох вертольотів однакова, а тому швидкість першого вертольота також 160 км/год. Знаючи відстань, яку пролетів кожний вертоліт, і швидкість вертольотів, можна знайти час руху вертольотів за правилом: щоб знайти час руху, треба пройдену відстань поділити на швидкість (t=S:u). Отже, час руху першого вертольота дорівнює 480:160=3 години, а час руху другого вертольота дорівнює 800:160=5 годин. Замість останньої дії можна виконати дію додавання, до якої приходимо шляхом такого міркування: з умови відомо, що перший вертоліт був на 2 год. менше в польоті, ніж другий, а отже, другий був у польоті на 2 год. більше, ніж перший. Тому час руху другого вертольота дорівнює 3+2=5". Остаточно дістали розв'язання:
1.800-480=320 (км) - пролетів більше другий вертоліт.
2.320:2=160 (км/год) - швидкість кожного вертольота.
3.480:160=3 (год) - був у польоті перший вертоліт.
4.800:160=5 (год) - був у польоті другий вертоліт.
4а. 3+2=5 (год).
Проаналізуємо розв'язання задачі. Його структура однакова для всіх задач цього типу.
Першою дією завжди знаходять значення різниці двох даних в умові значень однієї величини. (В наведеній задачі знаходили різницю значень відстаней, які пролетіли другий та перший вертольоти).
Потім співставляють отримане в результаті першої дії значення "другої" різниці із значенням "першої" різниці, тобто різниці шуканих значень величини, даним в умові задачі: (В даній задачі співставляли різницю значень відстаней з даною в умові різницею шуканих значень часу).
Внаслідок співставлення цих різниць дією ділення їх знаходимо значення сталої величини. (В даній задачі - значення швидкості). Друга дія - ділення - виражає спосіб прямого або оберненого зведення до одиниці. (В даній задачі дія ділення "другої" різниці на "першу" виражає спосіб оберненого зведення до одиниці, бо до одиниці зводили ту величину, для якої в умові задачі дано тільки одне значення, тобто час).
Вибір третьої і четвертої дій залежить від того, який спосіб зведення до одиниці виражала друга дія (пряме зведення чи обернене). Якщо друга дія виражала спосіб прямого зведення до одиниці, то третя і четверта дії - множення значення сталої величини на кожне з двох даних значень іншої величини. Якщо ж друга дія виражала спосіб оберненого зведення до одиниці, то третя і четверта дії - ділення кожного з двох даних значень однієї величини на значення сталої величини. (Оскільки в даній задачі друга дія виражала спосіб оберненого зведення до одиниці, то третя і четверта дії - ділення кожного з даних значень відстані на значення швидкості, яка є сталою величиною). Отримані частки і є шуканими значеннями величини. Але четверту дію можна виконати не діленням, а додаванням чи відніманням залежно від того, в якому відношенні ("більше" чи "менше") перебуває друге значення шуканої величини з першим. (В даній задачі час руху другого вертольота більший, ніж час руху першого вертольота, тому дія 4а) була додавання).
Для того, щоб учні засвоїли хід думок при розв'язуванні задач цього типу, правильно обґрунтовували вибір кожної дії, оволоділи способом розв'язування цих задач, необхідно після "проговореного" вчителем міркування практикувати відтворення і проговорювання учнями цього міркування. Хоч часто вчителі надають перевагу методові бесіди при розв'язуванні задач, але, як переконує наш досвід, на початкових етапах ознайомлення із задачами цього типу (та й інших типів!) слід обов'язково застосовувати метод пояснення, метод власного розмірковування 
вчителя вголос, що служить зразком для наслідування його учнями. А потім застосувати репродуктивний метод, тобто метод відтворення учнями прослуханих пояснень вчителя. Таке поєднання методів забезпечує успішне оволодіння учнями раціональним мисленням, мовленням та свідоме засвоювання способів розв'язування задач.
Після оволодіння учнями новим способом розв'язування задач вчитель повинен на уроках узагальнення і систематизації знань учнів включити засвоєні нові способи в систему раніше засвоєних способів, виділити спільні та відмінні ознаки як в структурах текстів різнотипних задач так, і в способах їх розв'язування. Наприклад, після засвоєних учнями способів розв'язування задач на пропорційний поділ та на знаходження значень величини за двома різницями вчитель на узагальнюючих уроках проводить порівняльний аналіз та співставлений задач цих типів і встановлює такі схожості і відмінності: " У задачах на пропорційний поділ дано в умові суму двох шуканих значень величини, а в задачах на знаходження значень величини за двома різницями дано в умові різницю двох шуканих значень величини. Крім цього, в умові задач кожного типу дано завжди два значення іншої величини. Третя величина стала. Першою дією в задачах на пропорційний поділ знаходять суму даних двох значень величини, а в задачах на знаходження значень величини за двома різницями першою дією знаходять різницю двох даних значень величини.
Другою дією в задачах обох типів знаходять значення сталої величини, причому це є завжди дія ділення. Але в задачах на пропорційний поділ ділять значення однієї загальної суми на значення іншої суми, а в задачах на знаходження значень величини за двома різницями ділять одну різницю на іншу. Друга дія (ділення) виражає спосіб прямого чи оберненого зведення до одиниці в кожному з цих типів задач.
Для обох типів задач третя і четверта дії однакові - множення або ділення. При прямому зведенні до одиниці - це дії множення, при оберненому зведенні до одиниці - це дії ділення. Четвертою дією при розв'язуванні задач на пропорційний поділ може бути дія віднімання (і тільки!), а при розв'язуванні задач на знаходження значень величини за двома різницями четвертою дією може бути дія додавання або віднімання, залежно від вказаного в умові відношення між шуканими значеннями величини".
Ми розглянули науково-методичні основи формування мислення і мовлення молодших школярів при розв'язуванні задачі на знаходження значень величини за двома різницями із застосуванням способу оберненого зведення до одиниці. Покажемо методичні основи організації відповідної роботи при розв'язуванні задач цього типу із застосуванням способу прямого зведення до одиниці. Для цього розглянемо задачу, обернену поданій вище.
Задача: Один вертоліт був у польоті 3 год, а другий 5 год. Перший вертоліт пролетів на 320 км менше, ніж другий. Скільки кілометрів пролетів кожний вертоліт, якщо їх. швидкість однакова?
Скорочений запис тексту задачі в таблиці:
| Швидкість | Час | Відстань | |
| I вертоліт II вертоліт | однакова | 3 год 5 год | ?, на 320 км менше ? |
Після виконання скороченого запису тексту задачі вчитель повинен проілюструвати її, нагадавши учням суть схематичних зображень задач на рух, а саме:
- напрям рівномірного прямолінійного руху об'єкта зображають стрілкою, яку розташовують вздовж відрізка прямої;
- окремі рівні, послідовно виділені, відрізки на прямій зображають швидкість руху;
- кількість однакових відрізків на прямій, якими зображена швидкість, означає кількість одиниць часу руху об'єкта;
- загальна довжина всіх виділених відрізків прямої означає пройдену відстань.
Отже, ілюстрація даної задачі має вигляд:
I вертоліт
II вертоліт
Важливо, щоб вчитель навчив учнів "читати" ілюстрацію, продемонстрував зразок такого "читання" і розмірковування над сюжетом задачі, над величинами, даними в ній, та зв 'язками між ними. Це дозволить учням краще зрозуміти зміст задачі, величини, що характеризують явище руху, зв'язки і залежності між ними, полегшить вибір арифметичних дій під час розв'язання, сприятиме свідомому засвоєнню способу розв'язування задач цього типу. Наведемо приклад розмірковування над даною задачею:
"Оскільки перший вертоліт був у польоті 3 години і рухався з однаковою швидкістю, то відстань, яку він пролетів за цей час, зобразимо відрізком, який складається з трьох однакових відрізків, кожний з яких зображає швидкість; оскільки другий вертоліт був у польоті 5 годин і рухався з тією самою швидкістю, що й перший, то відстань, яку він пролетів за 5 годин, зобразимо відрізком, який складається з п'яти таких самих відрізків. Зрозуміло, що другий відрізок довший, ніж перший, бо в умові сказано, що "перший вертоліт пролетів на 320 км менше, ніж другий", а отже, другий пролетів на 320 км більше, ніж перший. З ілюстрації видно, що другий відрізок довший від першого на два відрізки, які зображають швидкість. З другого боку, кількість відрізків означає час руху. Отже, другий вертоліт був у польоті на 2 год довше, ніж перший (5-3=2 год), а тому пролетів на 320 км більше, тобто за 2 години він пролетів відстань 320 км. Співставивши ці значення величин відстані і часу, можемо визначити швидкість другого вертольота. Щоб знайти швидкість, треба відстань поділити на час. 320:2=16 0 км/год - швидкість другого вертольота. Але з умови задачі відомо, що перший вертоліт рухався з тією самою швидкістю, що й другий, тобто 160 км/год. Знаючи швидкість і час руху кожного вертольота і спираючись на ілюстрацію, легко знайти відстань, яку пролетів кожен з них: щоб знайти відстань, треба швидкість помножити на час. Отже, 160-3=480 км - відстань, яку пролетів перший вертоліт, 160-5=800 км - відстань, яку пролетів другий вертоліт. Останню відстань можна знайти дією додавання, бо з у мов и задачі відомо, що "перший вертоліт пролетів на 320 км менше, ніж другий", а тому другий пролетів на 320 км більше, ніж перший, тобто 480+320=800 км - відстань, яку пролетів другий вертоліт. Тепер запишемо розв'язання з поясненням:
1.5-3=2 (год) - більше був у польоті II вертоліт;
2.320:2=160 (км/год) - швидкість кожного вертольота;
3.160-3=480 (км) - пролетів І вертоліт;
4.160-5=800 (км) - пролетів II вертоліт;
4.а 480+320=800 (км).
Після запису розв'язання обов'язково слід проаналізувати його структуру. Очевидно, що структура розв'язання цієї задачі аналогічна до попередньої: першою дією знаходять значення різниці двох даних в умові значень однієї величини (часу). Після співставлення отриманої різниці значень часу (2 години) з різницею відстаней (320 км), даною в умові задачі, знаходять значення сталої величини - швидкості. Оскільки швидкість - це відстань, пройдена за одиницю часу (за 1 годину), то при її знаходженні до одиниці зводили ту величину, для якої в умові задано 2 значення, тобто час. А це означає, що друга дія - ділення - виражає спосіб прямого зведення до одиниці.
Третя і четверта дії - множення, бо застосовували спосіб прямого зведення до одиниці і знаходили два значення величини, розташованої в третій колонці таблиці скороченого запису. Четвертою дією може бути дія додавання або віднімання залежно від того, яке відношення - "більше" чи "менше" - між шуканими значеннями величини, і яке значення шукають останнім. (В даній задачі відношення "менше" стосується першого значення шуканої величини, але оскільки останньою дією знаходять друге значення шуканої величини і вона перебуває у відношенні "більше" до першого значення, то четвертою дією може бути дія додавання).
Ми розглянули науково-методичні основи роботи над задачами на пропорційний поділ та на знаходження значень величини за двома різницями.
Задачі на складне правило трьох, які розв'язуються способом подвійного зведення до одиниці, розглянемо в наступному номері.