Методика построения системы задач на интегративной основе. Использование различных методов школьной геометрии

В курсе школьной геометрии основными методами решения задач являются такие методы как метод равных треугольников, метод опорных задач, метод площадей, метод подобных треугольников, метод геометрических преобразований. Большинство этих методов предусматривают знание и использование многих результатов, полученных ранее. Таким образом, при решении определенных типов геометрических задач ученикам необходимы прочные знания из других разделов геометрии. При использовании метода площадей рассматриваются площади одной или нескольких фигур (или равновеликих фигур), величины площадей выражают разными способами для того, чтобы получить те зависимости, из которых легко выразить неизвестные величины.

При решении задачи в классе учителю не следует навязывать решение. Учащиеся сами способны находить метод решения задачи. Вопросы, задаваемые учителем в классе, не должны быть в категоричной форме, они должны начинаться словами: «можно ли…», «может быть…». Полезно предлагать задачи, которые можно решать несколькими способами, и обязательно рассмотреть каждый из них. Чаще всего это задачи на доказательство, хотя некоторые учителя их все чаще исключаю из рассмотрения, так как таких задач ученики не встретят на тестировании (а ведь задачи на доказательство хорошо развивают, и без них не обучишь поиску решения других задач).

В качестве примера рассмотрим одну из таких задач. «Дан равнобедренный треугольник АВС и точка D, принадлежащая основанию АС, из которой проведены перпендикуляры на боковые стороны или их продолжения. Докажите, что сумма длин перпендикуляров DD1 и DD2 равна длине высоты АА1, проведенной к боковой стороне BC (рис. 1)» .

Рисунок 1

Данную задачу можно приводить в школьном курсе математики как в конце IX класса, так и на протяжении всего курса планиметрии по ходу ознакомления учащихся с тем или иным математическим методом. В формулировке задачи присутствуют признаки различных математических методов, а значит, её можно пробовать решать с ориентацией на любой математический метод.

Поиск решения задачи

Первый способ. Рассмотрим поиск решения задачи с ориентацией на метод равных треугольников (VII класс). Наводящие вопросы следующие.

Нам надо доказать, что AA₁ =DD₁ +DD₂ (см. рис. 1). Как можно сравнить отрезок AA₁ с суммой DD₁ +DD₂? Если бы мы на отрезке AA₁ отложили отрезок А₁D’= D₂D, то что осталось бы доказать? (Осталось бы доказать, что А₁D’= DD_1.).

Как это доказать? Подумайте…Нам нужно доказать равенство двух отрезков. Признаком какого метода является наличие в формулировке задачи равенства отрезков? Нельзя ли воспользоваться методом равных треугольников? Имеются ли равные треугольники на нашем рисунке? (Пока таких треугольников нет.)

Нельзя ли выполнить некоторое дополнительное построение так, чтобы они получились? Ваши предложения…Соединим отрезком, например, точки D и D’… Что вы заметили (рис.2)? (Получили треугольники ADD₁ и DAD’.)

Какие они? (Равные.)

Почему? Объясните.

В результате можно считать, что поиск решения завершен: решение задачи найдено. После чего можно предложить учащимся завершить решение задачи самостоятельно.

Второй способ. Воспользуемся дополнительным построением. Оно подсказывается рисунком 2. Проведем отрезок DC₁||CB (рис. 3). В результате можно прийти еще к одному методу решения – традиционному геометрическому методу с использованием свойств равнобедренного треугольника (VII класс). Наводящие вопросы следующие.

Ранее мы доказывали, что A₁D=D₂D. Как можно доказать, что AD’=DD₁,не используя при этом метод равных треугольников? Можно ли для решения задачи применить наши знания о равнобедренном треугольнике? Какие?

Давайте внимательнее посмортим на отрезки AD’ и DD_1. Высотами какого треугольника они являются? Как его получить? (Если продолжить DD’ до пересечения со стороной АВ в точке С₁, то получим треугольник АС₁D(см.рис.3)).

Какой этот треугольник? (Равнобедренный.)

Почему? Объясните.

Что теперь можно сказать об отрезках AD’ и DD₁?

Поиск решения задачи завершен.

Третий способ. Пользуясь методом равных треугольников (VIII), учащиеся могут решить задачу иным способом. Наводящие вопросы следующие.

А как еще можно решить задачу? Что можно сделать, чтобы доказать, что AA₁ =DD₁ +DD₂? Попробуйте иначе сравнить отрезок АА₁с суммой DD₁+DD₂. Давайте попробуем продолжить отрезок D₂D до точки Е, так, чтобы отрезок D₂Eстал равен А₁А (рис 4). Получили новые равные отрезки. Можно воспользоваться методом равных треугольников? (Равных треугольников пока нет.)

Какое дополнительное построение необходимо выполнить, чтобы получить равные треугольники?

А если соединить отрезком точки А и Е, мы получим равные треугольники? (Да, это треугольники DEA и DD₁A.)

Почему они равны? Объясните…

Поиск решения задачи окончен.

Четвертый способ. Учащиеся могут решить задачу с ориентацией на метод площадей (VIII класс). Додуматься нужно до того, что перпендикуляры в треугольнике часто являются высотами (признак метода площадей), а затем применить формулу площади треугольника: S= ah_a. Наводящие вопросы следующие.

Какое равенство нужно доказать? (Равенство AA₁ =DD₁ +DD_2.)

А чем часто могут являться перпендикуляры в треугольниках? (Высотами.)

Нельзя ли применить метод площадей? Высотой какого треугольника является отрезок AA₁? (Данного треугольника АВС.)

Если отрезок DD₁ и DD₂ посчитать высотами треугольников, то каких? (Пока не известно.)

Если соединить отрезком точки D и B (рис. 5), то можно ответить на предыдущий вопрос? (Да, отрезки DD₁ и DD₂ являются высотами соответственно треугольников АВD и CBD.)

Чему равна сумма площадей этих треугольников? (Она равна площади треугольника АВС.)

Какое равенство для площадей можно записать?

( АВ· DD₁ + ВС· DD₂ = ВС·АА_1. )

Задачу теперь можно решить, упрощая записанное равенство. Поиск решения задачи окончен, решение найдено.

Пятый способ. Проведем поиск решения задачи с использованием метода подобия (VIII класс). Наводящие вопросы:

Данные перпендикуляры входят в три треугольника (см. рис. 1). Какие эти треугольники? Назовите их. (Это прямоугольные треугольники AD₁D, CD₂D, CA₁A .)

А что у них общего? (У них равны соответствующие углы.)

А признаком какого метода является наличие равных углов? Может быть, можно применить метод подобия? Будут подобны эти треугольники? (Треугольники подобны.)

Равенство каких отношений мы можем записать? (Мы можем рассмотреть следующие равенства: из подобия треугольников AD₁D и CA₁A следует, что , из подобия треугольников CD₂D и CA₁A следует, что .)

Осталось сравнить сумму DD₁ +DD₂ с АА₁