Міри центральної тенденції

Для характеристики і короткого подання результатів дослідження в статистиці широко використовуються міри центральної тенденції результатів дослідження (найбільш типові значення змінної): середнє арифметичне (математичне очікування), мода, медіана.

1. Зважене середнє арифметичне ( ) можна використовувати для характеристики сукупностей (груп учнів, класів), значення яких вимірювались за інтервальною шкалою. Воно показує загальний рівень будь-якої сукупності і залежить не тільки від індивідуальних значень, але і від їхньої частоти (повторюваності). Середнє арифметичне ( )обчислюється за формулою:

{Формула 2.1}

де – значення окремих елементів сукупності;

– частота прояву окремого значення;

N – кількість членів сукупності.

Якщо значення елементів сукупності не повторюються, тобто проявляються лише один раз (f=1), то в такому випадку можна користуватись формулою простого арифметичного середнього:

{Формула2. 2}

Наприклад, обчислимо середнє арифметичне для такого варіаційного ряду значень:

3, 4, 4, 6, 7, 7, 7, 7, 9, 9, 10.

Підрахунок середнього арифметичного досить простий. Але є свої особливості в його практичному застосуванні. Наведемо такий приклад. Учні 2-х класів виконували тестові завдання з математики. У класі "А" – 10 учнів, учні цього класу в середньому виконали по 4 тестових завдання. У класі "Б" - 20 учнів, середнє арифметичне цього класу – 8 завдань. Необхідно обчислити середнє арифметичне для обох класів.

А n₁ = 10, ₁ = 4

Б n₂ = 20, ₂ = 8. _1,2 - ?

Відразу ж виникає бажання додати середні арифметичні й поділити на два, що значна кількість людей і робить. Але це дасть невірний результат, адже не враховується кількість учнів у класах. Для підрахунку використовується формула:

{Формула 2.3}

2. Медіана (Ме) – це центральне значення ряду, тобто значення середнього члена впорядкованого ряду значень. Медіану можна використовувати для значень, що вимірювались за допомогою інтервальних і порядкових шкал.

Для обчислення медіани (Ме) певного ряду, перш за все його слід упорядкувати, тобто розташувати значення в порядку зростання або зменшення значень. Порядковий номер медіани (i) у такому ряду обчислюється за формулою:

{Формула 2.4}

де N – кількість членів ряду.

Якщо N – непарне число, тобто у варіаційному ряду непарна кількість членів, то медіаною буде значення середнього члена ряду. Наприклад, у ряду 1, 2, 5, 8, 10, 31, 35 медіаною (Ме) буде число 8.

Якщо N – парне число, тобто у варіаційному ряду парна кількість членів, то в його середині знаходяться два значення. У такому випадку для інтервальних шкал необхідно обчислити одну величину медіани. Нею буде просте середнє арифметичне двох сусідніх середніх членів. Наприклад, для ряду 1, 2, 5, 8, 9, 10, 31, 35 медіаною (Ме) буде число 8,5.

3. Мода (Мо) – це значення, що зустрічається найчастіше у даному варіаційному ряді значень. Вона використовується для характеристики сукупності на основі найпоширенішого явища, наприклад: найпоширеніша оцінка з предмету в класі, найпоширеніша кількість відповідей на тестуванні, найпоширеніша національність учнів класу. Моду можна знаходити для всіх без винятку шкал.

Модою буде те значення ряду, що має найбільшу частоту (f). Наприклад, для такого ряду шкільних оцінок 3, 4, 5, 6, 7, 7, 8, 9 модою буде число 7. У ряді може бути декілька мод. Наприклад, для такого ряду 3,4,5,6,8,7,5,7,4,4,9,8,7,8,9 модами будуть 4 і 7.