Пентаграмма, число g золотого сечения и четыре фундаментальных вывода, связанных с ним

Почему здесь приведен пример из евклидовой геометрии? Она требует нахождения души в конечности пространственных условий на земле. Она описывает их измеримость, обозримость и структурированность. Она опирается на связь чувства жизни с тем, что находится здесь и сейчас, в повседневной жизни, с так называемой предметной реальностью. В рамках этих геометрических эвклидовых законов геометрия пентаграммы занимает особое положение, поскольку в этом случае зримые геометрические законы выходят за рамки чисто геометрического понимания пространства в процессуально–временное измерение. Это происходит благодаря тому, что мыслительные формы, которые развиваются при рассмотрении пентаграммы выходят за понимание пентаграммы как сугубо пространственной фигуры. Мыслительные формы, развивающиеся при рассмотрении пентаграммы ведут к четырем фундаментальным выводам.

Введение

Рисунок 2

Исходя из элементарных знаний геометрии, из рисунка следует, что DG = AG = AB и что оба треугольника АВD и ВGА подобны, т.е. например, что их соответствующие углы равны. Из этого следует:

Отрезок BD делится точкой G таким образом, что малый отрезок BG относится к большому отрезку DG так же, как большой отрезок DG ко всему отрезку BD. Это деление называют золотым сечением (sectio aurea). Оно часто встречается в природе и искусстве, а также и в человеческих формах. Поэтому его называют «божественной пропорцией»[54]. Если принять BD = 1 и DG = g, то исходя из вышеупомянутых расчетов:

, а следовательно: из чего следует .

При этом

Числовая мера g таким образом является квадратным иррациональным числом.

Все квадратные иррациональные числа можно познать конструктивно с помощью циркуля и линейки. Для g получается следующая конструкция:

Рисунок 3

(т–ма Пифагора для прямоугольного треугольника DBF)

из этого следует ;

и в конечном итоге ;

при этом .

С числом g золотого сечения наряду с чисто количественными отношениями связан также и ряд качественных свойств, чей характер выходит далеко за рамки чистой математики. Чтобы должным образом описать эти качества, мы должны прояснить для себя одно очень важное понятие, а именно понятие приближенных значений числа g.

Из g² + g = 1 сначала следует

Это дает следующее:

Итак, число g может быть представлено в виде т.н. непрерывной дроби.

Для этой непрерывной дроби существуют приближенные значения дробных чисел (так наз. подходящие дроби). Их значения таковы:

и т.д.

это уже вполне пригодное приближенное значение для g. Оно составляет

На примере вышеприведенного можно выявить тенденцию, по которой формируются представленные подходящие дроби N₁ N₂, N₃ и т.д. В их числителях и знаменателях находятся числа, относящиеся к знаменитой числовой последовательности, найденной Фибоначчи[55], которая называется последовательностью Фибоначчи:

ее общая формула: f_n = f_n-1 +f_n-2 (для n = 3,4, ...)

В последовательности Фибоначчи каждый член равняется сумме двух предыдущих. Из этого следует, что вышеприведенную последовательность приближенных значений для g можно представить в виде последовательности частных двух следующих друг за другом чисел Фибоначчи. Следовательно, числа Фибоначчи в своей основе связаны с числом g.