Задачі на знаходження четвертого пропорційного.
Задачі цього типу називають ще задачами на просте правило трьох, тому що в тексті задачі дано три числові значення, з яких два числа - це значення однієї величини, а третє - це значення другої величини. Про третю величину в задачах цього типу часто нічого не згадується, або вказується "такий самий", "однакова" тощо. Вимагається знайти друге числове значення другої величини.
Шляхом логічних міркувань встановлюють зв'язок шуканої величини з відповідним значенням даної величини та із сталою величиною. Пошук такого зв'язку полегшується за допомогою скороченого запису тексту задачі в таблиці, а спосіб розв'язання задачі залежить від шляху міркування. Існує три способи розв'язування задач на знаходження четвертого пропорційного:
1)спосіб прямого зведення до одиниці;
2)спосіб оберненого (непрямого) зведення до одиниці;
3)спосіб відношень.
Спосіб розв'язування задачі безпосередньо визначається структурою скороченого запису тексту задачі, хоч серед задач цього типу є задачі, які можна розв'язувати двома або навіть трьома способами.
Розглянемо задачу №1029 (2), (підручник 3,(2), стор. 170).
За 8 годин токар виготовив 40 деталей. Скільки деталей він зробив за 6 годин?
На етапі початкового ознайомлення із задачами цього типу після читання тексту та вивчення умови задачі шляхом бесіди з учнями вчитель за їх участю виконує скорочений запис задачі в таблиці, внаслідок чого створює абстрактно-символічну модель задачі на знаходження четвертого пропорційного. Стосовно даної задачі вчитель нагадує, що її фабула стосується праці токаря, яка характеризується кількістю деталей, які він зробив за одну годину, і що цю величину називають продуктивністю праці. Крім цієї величини, в задачі дано два значення часу роботи, а також кількість деталей, виготовлених за 8 годин, яку називають виконаною роботою. Отже, таблиця-модель має вигляд:
| Продуктивність праці (Р) | Чac(t) | Виконана робота (r) |
| однакова | 8 годин 6 годин | 40 деталей ? |
Навчаючи дітей розмірковувати, вчитель проговорює думки вголос і пропонує бути уважним і слідкувати за шляхом міркування. Так, наприклад, міркування може бути таким: "Якщо токар працював 8 годин, то напевне щогодини він виготовляв однакову кількість деталей. Робота, виконана за кожну годину, однакова, вона називається продуктивністю праці, тому в цій колонці таблиці треба записати слово "однакова", незважаючи на те, що в умові задачі про цю величину нічого не згадується. Але в результаті міркування ми прийшли до цього висновку. Далі з таблиці очевидно, що необхідно знайти виконану роботу за 6 годин, тобто кількість деталей, які зробить токар за 6 годин. Коли було б відомо скільки деталей робить токар щогодини, то дією множення цієї кількості на 6 можна б знайти, скільки деталей він зробить за 6 годин. З другого боку, це пояснюється залежністю між величинами цієї групи: щоб знайти виконану роботу, треба продуктивність праці помножити на час (значення величини в третій колонці дорівнює добутку двох відповідних значень в першій та другій колонках таблиці).
Але продуктивність праці невідома. Продовжуємо міркування. Відомо, що за 8 годин токар виготовив 40 деталей. Якщо він працюватиме тільки одну годину, то зрозуміло, що він виготовить у 8 разів менше деталей. Отже, можна знайти кількість деталей, виготовлених за 1 годину токарем, дією ділення чисел 40 і 8. Ця частка і є значенням продуктивності праці токаря:
40:8=5 (деталей виготовляв щогодини токар). Тепер дією множення значення продуктивності праці та часу знайдемо виконану роботу за 6 годин. 5*6=30 (деталей виготовив за 6 годин). До цієї дії можна прийти, міркуючи так: якщо кожної години токар робить по 5 деталей, то за 6 годин він зробить у 6 разів більшу кількість деталей. Отже, задача розв'язана". В ході проговорювання вчителем шляху міркування доцільно записувати дії, які вибрані в процесі міркування, в таблицю, яка доповнює таблицю-умову, внаслідок чого таблиця матиме тепер такий вигляд:
| Продуктивність праці (Р) | Час (t) | Виконана робота (r) |
| однакова | 8 годин 6 годин | 40 деталей ? |
| 1 година 6 годин | 40:8= □ □ •6 = ? |
Після такого усного розв'язування задачі пропонується учням записати розв'язання задачі в зошитах, коментуючи вголос кожну дію за зразком вчителя, і записати розв'язок (відповідь) задачі.
Розв'язання:
1)40 : 8 = 5 (д.) - виготовляв токар за 1 годину.
2)5 • 6 = 30 (д.) - виготовив токар за 6 годин.
Відповідь: 30 деталей виготовив токар за 6 годин.
Наведений вище шлях міркування привів до способу розв'язування задач цього типу, який називають способом прямого зведення до одиниці. Цей спосіб полягає в тому, що до одиниці зводять ту величину, для якої в умові дано два значення. В даній задачі до одиниці зводимо величину - час, для якої в умові дано два значення 8 годин і 6 годин. З таблиці легко бачити, де в ході міркувань записали число 1. Оскільки цей запис зроблено в колонці "час", в якій є 2 значення його - 8 годин і 6 годин, то слід запам'ятати, що при такому міркуванні задачу будемо розв'язувати способом прямого зведення до одиниці. Отже, при цьому способі розв'язування необхідно виконати двома діями: перша дія - ділення на рівні частини; друга дія - множення. Слід нагадати дітям зміст дії ділення на рівні частини: ділене і частка мають однакове найменування (в даній задачі - деталі).
Формуючи культуру математичного мислення та мовлення, вчитель повинен дбати про гнучкість мислення, про логічність і послідовність висловлення думок, про структуру математичних тверджень, про повноту інформації і т.ін. З цією метою, розв'язуючи будь-яку задачу, слід навчити учнів постійно ставити перед собою завдання: чи певну задачу можна розв'язати лише одним чи кількома способами? Чи інший шлях міркування приведе до вибору інших арифметичних дій, ніж в попередньому способі, чи може приведе до беззмістовних висновків?
Покажемо це на прикладі попередньої задачі і наведемо цілком інший шлях міркування, який демонструє вчитель, як зразок: "Токар виготовив 40 деталей за 8 годин. Цікаво, за який час він виготовив би одну деталь.
Напевне на виготовлення однієї деталі треба кілька хвилин. Скільки ж? Міркуємо далі: 1 годин - це 60 хв., 8 = 480 хвилин. Такий час витрачає токар на виготовлення 40 деталей, а отже, на одну деталь йому потрібно буде в 40 разів часу менше, тобто
480:40 = 12 хвилин.
Токар буде працювати 6 годин, тобто 60* 6 = 360 хвилин. Якщо на виготовлення кожної деталі він витрачатиме по 12 хвилин, то за 360 хвилин він зробить стільки деталей, скільки разів по 12 хвилин вміститься у 360 хвилинах, тобто 360 :12 = 30 деталей".
Хід міркування слід супроводжувати записом арифметичних дій в таблиці, в якій скорочено записана умова. Таблиця матиме вигляд:
| Продуктивність праці (Р) | Час (t) | Виконана робота (r) |
| однакова | 8 годин 6 годин | 40 деталей ? |
| 480:40= □ 6 годин | 1 деталь 360: □= ? |
Після цього записується розв'язання з коментуванням дій:
1) 8 годин = 480 хвилин
480 : 40 = 12 (хв.) - потрібно на виготовлення однієї деталі.
2) 6 годин = 360 хвилин
360 : 12 = ЗО (д.) - виготовить токар за 6 годин.
Цей спосіб розв'язування називають способом оберненого зведення до одиниці. Він полягає в тому, що до одиниці зводять ту величину, для якої в умові дано одне значення. При цьому способі необхідно виконати дві дії ділення, причому перша дія - це ділення на рівні частини, друга - ділення на вміщення.
Нагадуємо, що при діленні на вміщення ділене і дільник мають однакове найменування. Стосовно даної задачі слід зауважити, що при способі оберненого зведення до одиниці в ході міркувань записали число 1 в колонці "виконана робота", коли поставили запитання: скільки часу потрібно на виготовлення однієї деталі? Це означає, що до одиниці зводили величину - виконана робота, для якої в умові дано лише одне значення - 40 деталей.
Безсумнівно, що другий шлях міркування - нестандартний, оригінальний і приводить до виконання інших арифметичних дій, в той час як перший спосіб -традиційний, нескладний і не викликає ніяких труднощів при виконанні відповідних арифметичних дій.
Як показують спостереження, вчителі навіть не зачіпають таких ускладнених шляхів міркувань при розв'язуванні задач і задовольняються лише єдиним способом розв'язування, помилково вважаючи, що оригінальний, нетрадиційний спосіб розв'язування важкий і недоступний учням. Але, як переконує власний досвід, учні спроможні зрозуміти, усвідомити і пізніше застосовувати такий спосіб, якщо вчитель подбав про ґрунтовне його пояснення чи навіть ілюстрування.
Ми розглянули задачу, яка може бути розв'язана двома способами. Але в системі задач початкового курсу математики зустрічаються задачі на знаходження четвертого пропорційного, які можуть бути розв'язані лише одним із вказаних вище трьох способів, а також задачі, які можуть бути розв'язані двома способами або всіма трьома.
Розглянемо задачу №728 (з підручника 3(2), с.121). За 3 рейси автомобіль перевіз 12 контейнерів. За скільки рейсів цим автомобілем можна перевезти 36 контейнерів?
При розв'язуванні попередньої задачі ми описали шляхи міркувань, які демонструє вчитель методом пояснення та проговорювання зв'язків між величинами і обґрунтування вибору арифметичних дій. Але роботу над задачею можна побудувати методом бесіди. Покажемо це стосовно даної задачі.
Бесіда:
- Чим перевозити контейнери? (Автомобілем).
-Скільки рейсів зробив автомобіль? (Три).
-Скільки контейнерів він перевіз за 3 рейси? (12 контейнерів).
-Цікаво, чи за кожен рейс автомобіль перевозив однакову кількість контейнерів, чи неоднакову? (Напевне, однакову).
-Чи відомо, скільки ж контейнерів перевозив автомобіль за 1 рейс? (Невідомо).
-А чи можна знайти цю кількість? (Можна).
-Як треба для цього міркувати? (Якщо за 3 рейси автомобіль перевіз 12 контейнерів, то за 1 рейс він перевезе у 3 рази меншу кількість, тобто 12:3 = 4 контейнери).
- Що потрібно визначити в даній задачі? (Скільки рейсів повинен зробити автомобіль, щоб перевезти 36 контейнерів).
- Чи можемо визначити кількість необхідних рейсів для перевезення 36 контейнерів? (Можемо).
- Як для цього треба міркувати? (Якщо за кожен рейс автомобіль перевозить по 4 контейнери, то для перевезення 36 контейнерів необхідно зробити стільки рейсів, скільки разів по 4 вміщується у числі 36, тобто 36 : 4 = 9 рейсів.
В ході бесіди складається таблиця скороченого запису, яка доповнюється інформацією, що випливає з міркувань над залежностями між величинами і має вигляд арифметичних дій. Внаслідок цього таблиця матиме вигляд:
| Кількість контейнерів за один рейс | Кількість рейсів | Загальна кількість контейнерів |
| однакова | 3 рейси | ? 12 контейнерів 36 контейнерів |
| 1 рейс ?36: □=? | 12:3=□ 36 контейнерів |
За результатами бесіди з усного розв'язування задачі записують розв'язання:
1)12:3 = 4 (к.) - перевозив автомобіль за 1 рейс.
2) 36 : 4 = 9 (р.) - потрібно, щоб перевезти 36 контейнерів.
Аналізуючи таблицю та розв'язання задачі, приходимо до висновку, що дана задача розв'язана способом оберненого зведення до одиниці, оскільки до одиниці зводили ту величину, для якої в умові дано одне значення, тобто кількість рейсів, бо в цій колонці є одне значення - 3. Розв'язання вимагає виконання двох дій ділення, перша з яких ділення на рівні частини, бо її читають так: 12 контейнерів поділити на 3 рейси дістанемо 4 контейнери, які перевозив автомобіль за 1 рейс. Друга дія - ділення на вміщення, бо її читають так: 36 контейнерів поділити по 4 контейнери дістанемо 9 рейсів, за які ці контейнери буде перевезено.
З'ясуємо, чи можна цю задачу розв'язати способом прямого зведення до одиниці, тобто чи можна звести до одиниці ту величину, для якої в умові дано два значення, а саме кількість контейнерів? Спробуємо поміркувати, поставивши запитання: "Скільки рейсів треба зробити, щоб перевезти 1 контейнер?" Легко зрозуміти, що це питання не має змісту, а отже, кількість контейнерів в цій задачі не можна звести до 1. Це означає, що дана задача не може бути розв'язана способом прямого зведення до одиниці, а тільки способом оберненого зведення до одиниці можна знайти її розв'язок.
З'ясуємо, чи не існує іншого шляху міркування, який приведе до розв'язку задачі.
Дивлячись на таблицю, на третю її колонку, встановлюємо, що вимагається перевезти більшу кількість контейнерів, ніж було перевезено за 3 рейси. Далі міркуємо так: якщо потрібно перевезти більшу кількість контейнерів, то, очевидно, треба зробити більшу кількість рейсів тим же автомобілем. У скільки разів більше буде контейнерів, у стільки ж разів більше потрібно зробити рейсів. Число 36 більше від числа 12 у 36 : 12 = 3 рази, тобто потрібно перевезти у 3 рази більшу кількість контейнерів, ніж перевезли за 3 рейси. Це означає, що й рейсів потрібно зробити для цього у 3 рази більше, тобто 3-3 = 9 рейсів.
Отже, розв'язання цієї задачі можна записати так:
1) 36 : 12 = 3 (рази) - більше контейнерів треба перевезти.
2)3-3 = 9 (рейсів) - треба зробити, щоб перевезти 36 контейнерів.
Такий спосіб розв'язування задач на знаходження четвертого пропорційного називають способом відношень. В основі цього способу лежить властивість прямо-пропорційної залежності між величинами, а саме: якщо значення однієї величини збільшити (зменшити) у кілька разів, то відповідне значення другої величини збільшиться (зменшиться) у стільки ж разів.
Повернемось до задачі №1029 (2) і з'ясуємо, чи можливо розв'язати її способом відношень. Міркуємо так: токар працюватиме 6 годин, тобто менше чacy ніж 8 годин. За меншу кількість часу він виготовить меншу кількість деталей. У скільки разів менше часу витратить на роботу, в стільки ж разів менше зробить деталей.
Але на множині цілих невід'ємних чисел не можна визначити у скільки разів 6 годин менше, ніж 8 годин, бо число 8 не ділиться без остачі на 6. А тому цю задачу способом відношень у початковій школі розв'язати не можна. Коли б замість числа 6 годин були числа 4 години або 2 години, то задачу можна б розв'язати способом відношень. На цю особливість числових даних задачі слід звернути увагу учнів, щоб вони швидше добирали необхідний спосіб розв'язування задачі. Отже, задачу на знаходження четвертого пропорційного можна розв'язати способом відношень тільки тоді, коли два значення однієї величини (числа однієї колонки) такі, що одне з них націло ділиться на друге. Зауважимо разом з тим, що при ознайомленні учнів з цим способом важливо навчити їх "бачити" характер зміни другого значення однієї величини відносно першого значення цієї величини і визначити у скільки разів збільшилось чи зменшилось друге значення величини порівняно з першим. Розв'язування задачі способом відношень вимагає виконання двох дій: перша дія - ділення, якою визначається коефіцієнт пропорційності; друга дія - множення або ділення, оскільки вона залежить від постановки питання до першої дії. Якщо першою дією визначали "у скільки разів друге значення величини більше, ніж перше", то друга дія - множення: якщо ж першою дією визначали, "у скільки разів друге значення величини менше ніж перше", то друга дія - ділення. Справді, задача з подібною фабулою, яка обернена розглянутій, буде розв'язуватися двома діями ділення.
Задача: 36 контейнерів автомобіль перевіз за 9 рейсів. Скільки потрібно зробити рейсів, щоб перевезти 12 контейнерів?
Наведемо лише її розв'язання:
1) 36 : 12 = 3 (рази) менше контейнерів потрібно перевезти.
2) 9 : 3 = 3 (рейси) необхідно зробити.
Отже, лише терпелива повсякденна робота вчителя по научуванню дітей розмірковувати вголос під час пошуку шляхів розв'язування однієї задачі певного типу забезпечить свідоме розуміння дітьми математичних закономірностей, зв'язків між величинами, сприятиме кращому засвоєнню способів розв'язування типових задач, а також підвищенню логічної культури мислення.
В даній статті розглянуто тільки один тип складених задач (на знаходження четвертого пропорційного), але в наступних номерах ми розглянемо ще інші типи складених задач, названих вище, а саме:
- задачі на пропорційний поділ;
- задачі на знаходження значень величини за двома різницями;
- задачі на складне правило трьох (на подвійне зведення до одиниці)