Представить результаты исследования

Составить модели для исследования.

Для четности возможны варианты:

1). Ч*Ч; 2).Ч*Н 3). Н*Н 4).Ч * Ни-ни 5). Н * Ни-ни 6). Ни-ни * ни-ни

Собрать дополнительный фонд для того, чтобы можно было исследовать все виды моделей.

Ч*Ч	Ч*Н
y=x2*x4 y=x2*|x| y=x4*|x| y=(x4-3)*(-x2)	y=x2*2x y=x4*x3 y=|x|*3/x …

Исследовать полученные модели на четность (по заданному вопросу).

Дано: у=x² - четная;
y=x⁴ - четная.
Проверить на четность функцию g=x² * x⁴

Исследование.

1). Область определения функции g(x)
D(g): (- ; + ) - симметричная относительно начала отсчета.

2). g(-x) = (-x)²*(-x)⁴=(-x)⁶=x⁶=g(x)

Из 1) и 2) следует, что функция g(x) - четная.
Аналогично проверяются остальные функции вида Ч*Ч.

Сформулировать гипотезу.

В данном случае: Ч*Ч=Ч (произведение двух четных функций есть четная функция).

Проверить гипотезу на дополнительном фонде (привести примеры и, если есть - контрпримеры).

g=(x⁴-3)*(-x²)

1). Область определения функции g(x)
D(g): (- ; + ) - симметричная относительно начала отсчета.

2). g(-x) = ((-x)⁴-3)*(-(-x)²) =(x⁴-3)*(-x²)=g(x)

Из 1) и 2) следует, что функция g(x) - четная.
Контрпримеров мы здесь не нашли.

8. Сформулировать гипотезу в виде теоремы (если… то…).

Если перемножить 2 четные функции, то в результате получится четная функция.

Доказать теорему в общем виде.

Дано.
y=f(x) - четная;
y=p(x) - четная.

Доказать:
g(x) = f(x)*p(x) - четная.

Доказательство.
(a)y=f(x) - четная, следовательно,
D(f) - симметрична относительно начала координат;
f(-x)=f(x)
(b)y=p(x) - четная, следовательно,
D(p) - симметрична относительно начала координат;
p(-x)=p(x)
Для функции g(x) = f(x)* p(x)
D(g)=D(f) D(p) - симметрична относительно начала координат (видно на рисунке области определения). Обычно ученики делают здесь обобщение: пересечение отрезков, симметричных относительно начала отсчета, дает отрезок, симметричный относительно начала отсчета.
g(-x)= f(-x)* p(-x)= f(x)* p(x)=g(x) (по (a) и (b)).

Из 1) и 2) следует, что g(x) - функция четная, что и требовалось доказать.

Выбрать дальнейший путь исследований.

Возможны следующие направления работы:

• увеличивать фонд за счет добавления более сложных функций. Здесь можно доказать теорему о том, что произведение любого количества четных функций есть функция четная (Ч*Ч*Ч*…*Ч=Ч);
• рассмотреть частные случаи (отыскание возможных следствий из доказанной теоремы);
• составить и проверить обратные утверждения.

Применить новую модель.

Учащиеся составляют задачи, для решения которых можно использовать доказанные теоремы.

Например:
Определить четность функции y=x²*|x|*(x⁴-3)*(x¹²⁴+715)*33333

Представить результаты исследования.

Представление результатов обычно проводится в виде мини-конференции, где поочередно выступают представители каждой группы. Предварительно оформляются отчеты по исследовательской работе, которые вывешиваются в классе. В дальнейшем они используются в учебном процессе.

Результаты исследовательских работ, проведенных учащимися на уроках по данной теме, приведены в приложении.

Таким образом, можно утверждать, что детская исследовательская работа строится по законам настоящей исследовательской научной работы.

"О пользе дела" Учителя нередко задают вопрос: "Зачем все это нужно? Для чего вместо одного 10-минутного упражнения тратить 2 урока, когда часы на изучение предмета и так урезаются, и программа уплотнена до предела? На этот вопрос автор обычно дает два ответа. 1 ответ - общий: у каждого учителя в данный момент в данном классе своя цель и свои задачи: образовательные, воспитательные, развивающие, и, значит, свои приоритеты. И каждый учитель имеет право решать, что, как и зачем ему делать на своих уроках. 2 ответ - конкретный: зачем это нужно мне, учителю математики, Г.В. Беловой. Здесь несколько аргументов. 1) Цель моей работы как учителя - не оценка и не экзамен и даже не набор математических знаний, умений и навыков. Цель - развитие личности ученика. Учебные исследовательские работы учат грамотно решать проблемы, неважно, научные они или житейские. В решении проблем растет и развивается личность. 2). 9 класс - подростковый возраст. Доминирующий вид деятельности - общение. Главная проблема - мотивационная. А групповая работа в исследовательском режиме удовлетворяет потребность подростка в общении. Ученик испытывает эмоциональный подъем, происходит "обмен желаниями". Все это обеспечивает мотивацию учебной деятельности. 3). Эта форма работы - возможный путь вхождения подростка в пространство культуры, при котором он: присваивает нормы и ценности мира взрослых; формирует свою внутреннюю позицию по отношению к миру в процессе развития самосознания, ведь в работе нельзя обойтись без самооценки и взаимооценки. 4). Старшая школа - профильная. У каждого направления свои цели и задачи в изучении математики. Для детей из физико-математических классов навыки УИР находят конкретное применение, например, в задачах с параметрами. При этом формируется научный стиль математического мышления, необходимый для учащихся данного профиля. Ученики гуманитарного профиля развивают умения, которые также востребованы на профильных предметах: собирать информацию; сравнивать по отдельным параметрам, сопоставлять и анализировать, обобщать и т.п. У учащихся естественно-научного профиля формируется умение проводить эксперименты, которые устроены аналогично и в математике, и в естественных науках и требуют тех же умений. 5). Классические ЗУН на таких уроках отрабатывается нисколько не хуже, чем на обычных. В работе оказываются востребованными все те знания, умения и навыки, что были получены учащимися в процессе изучения темы, а также важнейшие общеучебные умения. В нашем случае актуализируются основные понятия из темы "Функция", некоторые свойства функции, алгоритмы и способы действий, необходимые при работе с ними, схема доказательства. Но помимо обычных ЗУН и развития важных общеучебных умений ученик получает и нечто большее. Проследим, что же делал конкретный ребенок в течение этих 2-х уроков: выбирал группу; планировал работу (договаривался, кто, что, когда будет делать), выбирал тему; читал инструкцию, пытался понять ее и объяснить другим; совместно с группой вспоминал все функции, которые он знает; разбивал функции на группы (классифицировал); спорил, доказывая, что одна функция - четная, а другая - нечетная; составлял модели и их классифицировал; собирал (придумывал) дополнительный фонд, объяснял, спрашивал, пытался понять, писал, чертил,… Сравним это с обычным уроком хотя бы по параметру активности в деятельности. А по речевой активности? По мотивации? По инициативе, которую обязательно проявят здесь наиболее заинтересованные учащиеся? А по уровню коммуникации? Можно с уверенностью утверждать, что на уроках УИР формируются те самые предметные и общие компетенции, развитием которых так озабочена современная система образования (см., например, Дж. Равен, 2001). Если в среднем звене сформированы навыки учебной исследовательской работы, в старшей школе можно использовать более сложные формы организации деятельности учащихся, в частности - метод проектов и индивидуальные исследования.

Литература Белова Г.В. Система работы с математическим объектом. [www-документ] http://www.trizminsk.org/e/2350002_5.htm, 2003. Белова Г.В. Творческие копилки на уроках математики. [www-документ] http://www.trizminsk.org/e/prs/232046.htm, 2004. Матюшкин А.М. Проблемные ситуации в мышлении и обучении. -М.: Педагогика, 1972. 168 с. Равен Дж. Педагогическое тестирование: проблемы, заблуждения, перспективы / пер. с англ. Изд. 2-е, испр. - М.: "Когито-центр", 2001 - 142 с.   Приложение. Отчеты по результатам учебной исследовательской работы. Тема "Четность функции". 9-А класс гимназии №30, 2002-2003 учебный год Влияние знака модуля на четную функцию (подробнее см. PDF документ) Влияние знака модуля на нечетную функцию (подробнее см. PDF документ) Влияние знака модуля на функцию, которая не является ни четной, ни нечетной (подробнее см. PDF документ) Примечание: здесь приведен реальный вариант работы девятиклассников. Последнее доказательство не является полным (не рассмотрен случай, когда не выполняется только требование симметричности области определения). Вопрос был обсужден при защите проектных работ. Анализ такого рода ошибок, сделанных в процессе учебной исследовательской работы, позволяет мотивировать изучение логики доказательства, в частности - построение утверждений, обратных данным.