Развитие вероятностной интуиции
Одной из важных целей изучения вероятностно-статистического материала в школе является развитие вероятностной интуиции, формирование адекватных представлений о свойствах случайных явлений. Ведь в жизни очень часто приходится осуществлять оценку шансов, выдвигать гипотезы и предложения, прогнозировать развитие ситуации, рассуждать о возможностях подтверждения той или иной гипотезы и т. п. Представление о вероятности, которое усвоено в процессе организованного, систематического изучения, отличается от обыденного, житейского именно тем, что оно является носителем представлений об устойчивости, закономерности в мире случайного, позволяет наиболее полно и правильно делать выводы из имеющейся информации.
В последние годы большое распространение получили различные лотереи, азартные игры, участвуя в которых важно правильно оценивать шансы получить выигрыш, придерживаться оптимальной стратегии или, наоборот, оценив свои шансы, отказаться от игры. Все вопросы, связанные с выигрышными стратегиями, справедливыми и несправедливыми условиями случайных игр, вызывают большой интерес даже у самых слабых учащихся. Кроме того, игровая фабула задачи дает возможность организовать захватывающий эксперимент перед решением ее в классе, в беседе с учащимися обсудить их оценки шансов, углубить и развить вероятностную интуицию в нужном направлении. Так, например, вероятностный анализ игры в «наперстки» показывает учащимся, что независимо от наблюдательности и внимательности играющего тот, кто двигает наперстки, оказывается в выигрыше.
В том случае, когда при обучении математике вероятностная интуиция не развивается, вместо верных представлений и концепций учащимися усваиваются ложные взгляды, они высказывают ошибочные суждения. Беседуя с учащимся, не изучающим основ теории вероятностей, я столкнулась с таким мнением: «Лотерея — это случайная игра, в которой иногда выигрываешь, а иногда проигрываешь. Я уже несколько раз покупал лотерейные билеты и все время проигрывал. Мой друг тоже купил билет, и ему сразу повезло — выиграл. Но зато в следующем туре у меня больше шансов выиграть, чем у него, ведь он уже один раз выигрывал, а я еще нет». Для развития вероятностной интуиции используются вероятностные игры.
Сначала рассматриваются простые игровые ситуации. Например. 1). Играют два человека, каждый из них бросает по одной монете одновременно. Если на обеих монетах выпадает «орел», то одну конфету получает 1 игрок. Если на одной монете выпадает «орел», а на другой «решка», то одну конфету получает 2 игрок. Определить справедливая эта игра или нет. 2). Игра «камень - ножницы – бумага. Играют два человека. Одновременно выбрасывают на пальцах одну из трех возможных фигур (К, Н, Б). В комбинации К-Н выигрывает К, в комбинации К-Б выигрывает Б, в комбинации Б-Н выигрывает Н. Если игроки выбрасывают одинаковые фигуры, происходит переигрывание. Какова вероятность выигрыша для каждой из фигур?
Постепенно дети учатся моделировать игры. Интерпретация с помощью вероятностных графов самая доступная. Например. Играют двое, они «выбрасывают» одновременно пальцы одной руки, находят сумму этих пальцев, начинают считать до числа равного этой сумме. Тот на котором закончился счет отдыхает, а оставшийся бежит за мороженым. Является ли выбор с помощью «считалки» справедливым? Играет ли роль с кого начинать счет? Первый, с кого начинается счет, не бежит в магазин, если сумма «выброшенных» пальцев окажется нечетной, а второй – если четной. Составим вероятностное дерево исходов:
P2 > P1 и, следовательно, выгодней при игре «считалки» стоять вторым.
Незаменимую помощь учителю по моделированию вероятностных игр с помощью графов могут оказать работы доктора педагогических наук, профессора В.В. Афанасьева.
Рассмотрим еще одну игру. Мишень разделена на 8 равных секторов и установлена так, что может вращаться вокруг оси, проходящей через точку О. При достаточно большой угловой скорости вращения стрелок не в состоянии различать цифры, выписанные по одной на секторах. Он вынужден стрелять наугад.
При попадании в сектор 1 стрелок выигрывает 10 р., в сектор 2 — 20 р., в сектор 3 — 30 р. и т. д., в сектор 8 — 80р. Стоит ли ему участвовать в такой игре, если за право стрелять один раз надо платить 50р.?
Поскольку мишень вращается, то способности стрелка здесь не имеют никакого значения: попадание — чистая случайность. Случайная величина выражает возможные выигрыши. Она может принимать значения 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80.
Так как все секторы одинаковые, то каждое из этих значений случайная величина принимает с одинаковой вероятностью 1/8.
Значит, М=10·1/8+20·1/8+30·1/8+40·1/8+50·1/8+60·1/8+70·1/8+80·1/8=45
Итак, математическое ожидание выигрыша 45 р., а стоимость выстрела 50р. Стрелять много раз явно невыгодно. На основании подобных расчетов организуются разнообразные азартные игры, приводящие игроков к разорению.
В ходе изучения вероятностных игр особенно хорошо заметны развитие мыслительных способностей учащихся и возрастание их интереса к исследовательской деятельности.