Сабақ. Параллель көшіру әдісі

Әдебиеттер:[4] І тарау §4, [5], [6] I тарау, [7] 1I-тарау, [9], ІІІ тарау §1-6.

Параллель көшіру әдісінде кез келген бір кесіндіні немесе іздеп отырған фигурамыздың бір бөлігін өзіне-өзін параллель етіп қалаған векторға көшіріп, фигураны салуды анағұрлым қарапайым көмекші фигура салуға келтіреді. Сонан соң кері тасымал жасап, іздеп отырған фигураны шығарып алады.

Параллель көшіру әдісінің идеясы трапеция салу есептері мен оңай түсіндіріледі.

21-есеп.А бұрышы, және d₂ диагональдары мен т орта сызығы бойынша трапеция салу керек.

Шешуі. Талдау.АВСD трапециясы салынған болсын (23а-сурет). Трапецияның ВD диагоналын СE орынға келтіріп векторына көшіреміз. Сонда АСЕ көмекші үшбұрышы шығады, бұл үшбұрыштың барлық АС = d₁, ЕС = ВО=d₂ және АЕ=АD+DЕ=2т қабырғалары белгілі.

үшбұрышын салып, трапецияның А және С төбелерінің орындарын табамыз; В төбесі СL мен AK-ның қиылысуы нүктесі. СL//АЕ, ал АК түзуі АЕ сәулесімен А бұрышын жасайды. D төбесі ығыстырылған СЕ диагоналын векторына кері көшіру арқылы табылады (CB=ED-ні салса жеткілікті).

A

L

B

K

C

D

E

d2

N

A

d2

d1

M

m

23а-сурет

A-D

B

C

23ә-сурет

A

B

C

D

E

23б-сурет

E

Салу. 1) АЕ = 2т, АС=d₁ және EС=d₂ үш қабырғасы бойынша АСЕ үшбұрышын саламыз.

2) АЕ||СL түзуін саламыз.

3) ЕАK= А болатындай етіп, АК түзуін саламыз.

4) В = СІ ∩АК — нүктесін белгілеп аламыз.

5) ЕА кесіндісінің бойына СВ=ЕD кесіндісін саламыз. АВСD — іздеп отырған трапециямыз.

Дәлелдеуі. Салу бойынша АСЕ үшбұрышында АС=d_1, СЕ=d₂, АЕ=АD+DЕ=2т. Сондай-ақ салу бойынша ВС||АЕ, ВАD=А. Параллель көшірудің касиеті бойынша DЕ =ВС, ВD=СЕ=d₂. Сонымен, АВСD төртбұрышы — трапеция. Оның ВАD=А, диагональдары АС=d₁, DВ=d₂ және орта сызығы.

3ерттеу.Іздеп отырған трапециямызды салу мүмкін екендігі мыналарға байланысты:

1) АСЕ үшбұрышын салу мүмкіндігіне;

2) В нүктесінің бар болуына және

3) D нүктесінің бар болуына.

Егер болса ( деп есептейміз) 1) салуды орындауға болады.

2) мен 3) салуларды әрқашан да орындауға болады. Шешімі болу үшін АК сәулесі САЕ бұрышынан тыс болуы керек, ал бұлай болу үшін болуы тиіс (23а-суретті қараңыз).

Бұл шарт В нүктесінің бар болатындығын қамтамасыз ететіндігін байқаймыз, бірақ А бұрышы үлкейген сайын В нүктесі С нүктесінен қашықтай береді. ЕD = СВ<ЕА болғанда ғана D нүктесі ЕА түзуінің бойында жата алады (5-салу). Сонымен, D нүктесінің бар болуы В нүктесінің орнына, олай болса, A бұрышының мәніне де байланысты болатындығын анықтаймыз.

23ә-суреттен СВ=ЕА болған жағдайда болатындығын (АВСВ параллелограмм болғандықтан) анықтаймыз; А бұрышын одан әрі үлкейте берсек, В нүктесі солға қарай ығысады да, ал D нүктесі ЕА-ның шегінен шығып кетеді. Ал шешімі болуы үшін ол нүкте ЕА-ның бойында жатуы тиіс. Егер болса, онда D нүктесінің ЕА кесіндіcінің бойында жататындығы анық.

Сонымен, мына шарттар орындалғанда трапецияны cалу мүмкін болады:

1)

2)

Егер болса, онда АВСD трапециясы тең бүйірлі болады.

Егер де 1) және 2) шарттар орындалғанда ЕD кесіндісі болса, онда салудан параллелограмм шығады (23б-сурет). Бұл жағдайда СD кесіндісі АСЕ үшбұрышының медианасы болады.

Егер 1) шарт орындалғанда А бұрышы болса, онда іздеп отырған трапециямыз АВС үшбұрышына айналады (D төбесі А төбесімен беттеседі).

22-есеп.А және В пункттерінің арасынан өзен ағып өтеді (оның жағаларын параллель түзулер: а||в деп алайық). А және В-нің арасындағы жол ең қысқа болу үшін, өзеннің қай жерінен көпір салу керек? (Көпірдің бағыты өзеннің жағасына перпендикуляр).

Шешуі. Талдау.АКМВ ең қысқа жол делік (24а-сурет). Бұл жол АК+КМ+МВ-ге тең.

МВ кесіндісін векторына көшірейік (МК=d; d — өзеннің ені, ). Сонда М нүктесі К нүктесіне, ал В нүктесі В' нүктесіне ығысады. КМ тұрақты, ал МВ=КВ' болғандықтан есептің шешуі, АК+КВ' қосындысы ең аз болатындай етіп, К нүктесін салумен аяқталады. Бұл жағдай К нүктесі АВ түзуінде жатқан жағдайда ғана болады. Параллель кері көшіруді орындайтын болсақ, іздеп отырған АКМВ жолымызды табамыз.

A

K

K1

M1

M

a

b

B1

B

24а-сурет

Сонымен, берілген есеп А және В' нүктелерінің ең қысқа қашықтығын анықтауға келіп тіреледі.

Салу.Мыналарды ретімен салайық:

а)

б) АВ'

в) К=АВ'Ха;

г) КМ а;

д) МВ; АКМВ — іздеп отырған жолымыз.

A

B1

B

M

a

b

K

24ә-сурет

Дәлелдеуі. (қарсы жору әдісімен). А және В-нің арасындағы ең қысқа жол АК'М'В болатын басқа да К' және М' нүктелері бар деп ұйғарайық (24ә-сурет).

Ұйғару бойынша былай болады:

M'B=K'В', K'M'=KM=BB' және МВ=КВ' болғандықтан, соңғы теңсіздікті былай жазуға болады:

ал бұлай болуы мүмкін емес (Бұл АК'В' үшбұрышынан шығады).

Олай болса, ұйғаруымыз дұрыс болмады.

3ерттеу. Есептің барлық уақытта бір ғана шешімінің болатындығы салудан шығады (АВ' және а түзулері бір К нүктесінде қиылысады).

23-есеп. Темір жолдың бір жағында А және В екі елді мекендері орналасқан. Темір жолда ұзындығы а–ға тең DК платформасын орналастырғанда, АDКВ (25-сурет) жолының ұзындығы ең қысқа болу үшін оны қай жерге орналастыру керек?

А2

А

В

А1

DК

а

25-сурет

Салу. 1)А нүктесін жолға параллель оңға қарай DК=а кесіндісіне көшіреміз. А₁ нүктесін аламыз.

2) Жолға қарағанда А₁ нүктесімен симметриялы А₂ нүктесін саламыз.

3) А₂ және В нүктелерін қосып жолды қиып өтетін К нүктесін белгілейміз.

4) К нүктесін жол бойымен солға қарай кері көшіріп D нүктесін аламыз.

5) АDКВ сынық сызығы А және В елді мекендерінің арасындағы ізделінді ең қысқа жол болады.

Дәлелдеу. А₂ және В нүктелерінің арасындағы ең қысқа жол А₂В кесіндісі болады: А₂В=А₂К+КВ. ∆АВС –теңбүйірлі болады (салу бойынша А₁ және А₂ нүктелерінің симметриялығынан биіктік және медиана беттеседі). Сонда А₂К=А₁К. Төртбұрыш АА₁КD – параллелограмм, өйткені онда қарама-қарсы АА₁ және DК қабырғалары салу бойынша тең және параллель. Сонда А₁К=АD. Енді АА₁+А₁К+ВК=АD+DК+ВК. АDКВ сынық сызығы ізделінді ең қысқа жол болады.