Абсолютна похибка формули трапеції
Оцінимо абсолютну похибку в формулі трапеції при умові, що похідна другого порядку неперервна на відрізку і
Для цього розглянемо функцію:
на відрізку Не важко помітити, що
Оскільки
Звідси
і
Таким чином, абсолютна похибка в формулі трапецій (6) оцінюється за допомогою нерівності
при умові, що неперервна на відрізку і
2.3. Абсолютна похибка параболічної формули (формули Сімпсона)
Оцінимо абсолютну похибку в цій формулі при умові, що похідна четвертого порядку неперервна на відрізку і для .
Спочатку оцінимо абсолютну помилку в наближеній рівності (8) (формулі Сімпсона). Для цього розглянемо допоміжні функції:
де
Зрозуміло, що дорівнює різниці лівої і правої частин наближеної рівності (10), так що і є абсолютна помилка цієї наближеної рівності.
Продиференціювавши функцію три рази і застосувавши теорему Лагранжа про скінченний приріст, дістанемо:
де
Оскільки , , то за теоремою Ролля знайдеться точка t1 , в якій . Зазначивши, що , за теоремою Ролля маємо , де .
Оскільки , то застосувавши ще раз теорему Ролля, дістанемо , де .
Звідси тобто
Отже,
Використовуючи цю оцінку для абсолютної похибки до кожної наближеної рівності
дістанемо
Таким чином, абсолютна похибка в наближеній рівності (9) оцінюється за допомогою нерівності
при умові, що неперервна на відрізку і . Зазначимо, що коли є алгебраїчний многочлен степеня не вище третього, то , і, отже, , тобто формула Сімпсона в цьому випадку є не наближеною, а точною.
Приклади
1) Обчислимо інтеграл
з точністю до 0,001, використовуючи формулу прямокутників.
Так як для , то за формулою про оцінку похибки наближеного обчислення для формули прямокутників
при умові, що неперервна на відрізку і якщо взяти n=10, похибка буде . обчислювати значення функції до чотирьох знаків після коми, з точністю до 0,00005. Маємо:
Звідси
Враховуючи, оцінку похибки і точність , бачимо, що міститься між числами і , а відповідно між . Таким чином,
2)Проведемо обчислення того ж інтеграла
за формулою трапеції.
В цьому випадку використаємо формулу оцінки похибки формули трапеції
Спробуємо і тут взяти n=10, але тоді гарантувати можна лиш те, що
Обчислення проведемо з тією ж точністю, що й раніше. Маємо:
Звідси,
Враховуючи всі похибки, маємо, що знаходиться між числами і тобто, і . Отже,
3)З допомогою формули Сімпсона, обчислюючи той же інтеграл, який дорівнює можна отримати більш точний результат. Так як четверта похідна підінтегральної функції — , то за формулою абсолютної похибки
При n=5 (тоді число значень функції буде теж саме, що і в попередньому випадку) маємо
Обчислення проведемо з точністю 0,00005 та до п’яти знаків після коми:
Звідси міститься між числами
так що будемо мати
В дійсності і істинна похибка виявляється меншою ніж 0,00005.
4)Обчислимо інтеграл
з точністю до 0,0001 за формулою Сімпсона.
Обчисливши четверту похідну від підінтегральної функції, переконуємося, що її абсолютна величина не перевищує 12, тому
Досить взяти n=5, або . Оскільки , то маємо:
Звідси
Отже,
5)Обчислимо інтеграл
за формулою Сімпсона, при n=5, обчислюючи до 5 знаків після коми.
Оскільки , то маємо:
Звідси
6) Застосовуючи формулу прямокутників, обчислимо інтеграл:
Обчислення проведемо для n=10 з точністю до 5 знаків після коми. Знайдемо значення підінтегральної функції у точках відрізка [0; 1]
Далі обчислимо наближене значення інтеграла, воно дорівнює:
Висновок
У даній роботі було розглянуто методи наближених обчислень визначених інтегралів. Були виведені формули прямокутників, трапеції та парабол (Сімпсона) та формули оцінки абсолютних похибок цих методів. Застосування цих формул показано на прикладах.
Звичайно, що при обчисленні інтегралів за допомогою формул наближеного обчислення визначених інтегралів, ми не отримуємо точного значення, а тільки наближене. Щоб максимально наблизитися до достовірного значення інтеграла потрібно правильно вибрати метод і формулу, по якій будуть вестися обчислення.
Наближене значення інтеграла можна обчислити з будь-якою наперед заданою точністю. Для цього за формулою оцінки похибки визначають на скільки частин потрібно розбити відрізок інтегрування , що дає змогу отримати більш точний результат при обчислені.
Наведені приклади наочно показують, що найбільш точне значення обчислення певних інтегралів дає використання при обчисленні формули Сімпсона. Тобто, порівнюючи формули прямокутників, трапеції та Сімпсона, ми можемо сказати, що формула Сімпсона є найбільш вигідною.
З допомогою виведених формул обчислення абсолютних похибок методів наближеного обчислення визначених інтегралів ми оцінили похибку кожного методу на прикладах.
Хоча чисельні методи й не дають точного значення інтеграла, але вони дуже важливі, тому що не завжди можна вирішити завдання інтегрування аналітичним способом.