Обозначение отношений между геометрическими образами

НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Рекомендовано

Дальневосточным региональным учебно-методическим центром
в качестве учебного пособия для студентов
специальности 210700 “Автоматика, телемеханика и связь
на железнодорожном транспорте”, 240100 “Организация
перевозок и управление на транспорте” вузов региона

Рецензенты:

Кафедра “Начертательная геометрия и машинная графика” Хабаровского государственного технического университета (Заведующий кафедрой, кандидат технических наук, доцент Л.Г. Вайнер)

Доктор педагогических наук, заведующий кафедрой “Изобразительное искусство и начертательная геометрия” Хабаровского государственного педагогического университета, профессор А.И. Иконников

Х 955

Хрусталева, Т.В.Начертательная геометрия: Учебное пособие / Т.В. Хрусталева. – Хабаровск: Изд-во ДВГУПС, 2003. – 122 с.: ил.

Учебное пособие составлено в соответствии с Государственным образовательным стандартом дисциплины “Инженерная графика”, раздел “Начертательная геометрия” для студентов первого курса.

Изложены основы курса ортогонального проецирования. Рассмотрены алгоритмы решения позиционных задач на вербальном, графическом и аналитическом уровнях.

Выделен основной понятийный аппарат, способы действий, которыми необходимо владеть, вопросы для самоанализа; даны различные виды задач, домашних заданий, итоговые расчетно-графические работы, тесты с целью самоанализа усвоения курса “Начертательная геометрия”.

Предназначено для студентов первого курса ДВГУПС, обучающихся по специальностям 210700 “Автоматика, телемеханика и связь на ж.-д. транспорте”, 240100 “Организация перевозок и управление на транспорте”, направлению 657700 “Системы обеспечения движения поездов”, может быть полезно студентам инженерно-технических специальностей.

a ГОУ ВПО “Дальневосточный государственный университет путей сообщения МПС России” (ДВГУПС), 2003

Оглавление

Предисловие

Введение

Общие требования и методические рекомендации по изучению курса “начертательная геометрия”

Методические указания по выполнению расчетно-графических работ

Глава 1. Метод проекций

§ 1. Геометрические образы

§ 2. Способ проецирования

§ 3. Свойства ортогональных проекций

§ 4. Обратимость чертежа. Метод Монжа

Выводы

Вопросы для самоанализа

Основные понятия, которые необходимо знать

Глава 2. Проекция точки

§ 1. Система двух взаимно перпендикулярных плоскостей

§ 2. Точка в системе двух плоскостей проекций p ₁ и p ₂

§ 3. Образование комплексного чертежа (эпюра)

§ 4. Характеристика положения точки в системе p ₁ и p ₂

§ 5. Система трех взаимно перпендикулярных плоскостей

§ 6. Точка в системе p₁, p₂, p₃

§ 7. Комплексный чертеж и наглядное изображение точки в I–IV октантах

Выводы

Вопросы для самоанализа

Основные понятия, которые необходимо знать

Способы деятельности, которыми надо уметь пользоваться

Контрольные задания

Расчетно-графическая работа № 1.

Построение наглядного изображения и комплексного чертежа точки в системе трех плоскостей проекций

Глава 3. Прямая линия. Проецирование отрезка прямой линии

§ 1. Общие положения

§ 2. Прямая общего положения в системе трех плоскостей проекций p₁, p₂, p₃

§ 3. Прямые частного положения

Прямые уровня

Проецирующие прямые

§ 4. Построение третьей проекции отрезка по двум заданным

§ 5. Способ прямоугольного треугольника.

Определение натуральной величины отрезка прямой линии и углов наклона прямой к плоскости проекции

§ 6. Определение натуральной величины отрезка прямой общего положения

§ 7. Принадлежность точки прямой

Выводы

Вопросы для самоанализа

Основные понятия, которые необходимо знать

Способы деятельности, которыми надо уметь пользоваться

Контрольные задания

Расчетно-графическая работа № 2. Определение натуральной величины отрезка прямой

Глава 4. Взаимное положение прямых в пространстве

§ 1. Общие положения

§ 2. Определение видимости прямых относительно плоскостей проекций

Выводы

Вопросы для самоанализа

Основные понятия, которые необходимо знать

Способы деятельности, которыми необходимо владеть

Расчетно-графическая работа № 3. Взаимное положение прямых в пространстве

Глава 5. Плоскость

§ 1. Общие положения

§ 2. Способы задания плоскости

§ 3. Положение плоскости относительно плоскостей проекций

§ 4. Условия принадлежности прямой линии плоскости

§ 5. Прямые особого положения в плоскости

§ 6. Принадлежность точки плоскости

Выводы

Вопросы для самоанализа

Основные понятия, которые необходимо знать

Способы деятельности, которыми необходимо владеть

Глава 6. Взаимное положение двух плоскостей, прямой линии и плоскости

§ 1. Взаимное положение двух плоскостей

Параллельные плоскости

Плоскости пересекающиеся

§ 2. Линия пересечения двух плоскостей общего положения

Расчетно-графическая работа № 4. Построение линии пересечения двух плоскостей

§ 3. Прямая, параллельная плоскости

§ 4. Пересечение прямой линии с плоскостью общего положения

§ 5. Перпендикулярность прямой и плоскости

§ 6. Перпендикулярность двух плоскостей

Выводы

Вопросы для самоанализа

Основные понятия, которые необходимо знать:

Способы деятельности, которыми необходимо владеть:

Расчетно-графическая работа № 5. Построение точки пересечения прямой и плоскости

ТРЕНИНГ УМЕНИЙ

Задачи для самостоятельной работы

Тесты

Заключение

ПРИЛОЖЕНИЯ

Приложение 1

Приложение 2

Приложение 3

Приложение 4

Приложение 5

Приложение 6

Краткий словарь специальных терминов и определений

Рекомендуемый библиографический список

Предисловие

Любая цивилизация сильна культурой труда, умением работать. “Информационный взрыв” конца ХХ века прошлого тысячелетия привел к противоречию между количеством знаний, необходимых для успешной профессиональной деятельности и возможностью их осмысления. Ускорились темпы развития общественного производства, науки, культуры. Через каждые 6–7 лет знания устаревают. Поэтому наше время можно назвать веком образования. Система образования обеспечивает человека знаниями, позволяющими ему вписываться в создаваемый им мир, прогнозировать дальнейшее развитие этого мира и своего места в нем.

Объективные закономерности общественного развития – научно техническая революция, информационный взрыв, внедрение принципиально-новых технологий, возрастание роли творческих элементов в различных областях человеческой деятельности – диктуют необходимость повышения интеллектуального потенциала каждого человека, развития инновационного стиля мышления, нестандартных способов осуществления любой деятельности каждого человека способного самостоятельно воспринимать и оценивать новую информацию, принимать решения, генерировать новые идеи.

Творческие умения человека развиваются посредством разнообразных приемов и методов обучения при активном использовании имеющихся знаний и умений в конкретной учебной деятельности.

Человеческое общество знает множество способов передачи информации, одним из которых является графическое изображение. Задачи строительства различных сооружений, крепостных укреплений, жилья, храмов, требовали предварительного построения изображений этих сооружений. Поэтому, зародившись в глубокой древности, различные способы построения изображений по мере развития материальной жизни общества претерпевали глубокие изменения. От примитивных изображений, передававших геометрические формы изображаемых объектов лишь весьма приближенно, постепенно совершался переход к составлению проекционных чертежей, отражающих их геометрические свойства.

Первые попытки проекционных изображений уходят своими истоками в отдаленные времена жизни народов – еще до нашей эры. Одним из наиболее древних письменных произведений, дошедших до нас, является трактат римского архитектора Марка Витрувия (I век до н. э.) “Десять книг об архитектуре”. В этом произведении применение горизонтальных и фронтальных проекций дается как нечто уже известное. В этом же произведении Витрувий рассматривает вопросы, относящиеся к построению перспективных изображений.

После упадка и застоя в Средние века в эпоху Возрождения начинается новый расцвет культуры.

К концу 17 века был накоплен большой опыт по теории и практике изображения пространственных предметов на плоскости. Это позволило французскому геометру Гаспару Монжу (1746–1881) систематизировать и обобщить весь материал и издать научный труд под названием “Начертательная геометрия”.

В своем труде Монж успешно решает проблему получения изображения на плоскости, которое позволило, во-первых, передавать информацию о форме и размерах предмета без искажения, а во-вторых, добиться однозначности и взаимозаменяемости получения изображений. Другими словами, на основе созданной им теории можно построить изображение любого предмета и, наоборот, по изображению предмета (эскиз, чертеж, рисунок) выполнить его в натуре.

Предлагаемое учебное пособие по начертательной геометрии включает основополагающие разделы курса, предусмотренные учебной программой, содержит краткие теоретические положения, различные виды заданий и задач и алгоритмы их решения. После каждого раздела даются вопросы для самоанализа, основные понятия и способы деятельности, которые необходимо знать студенту и уметь ими пользоваться, а также расчетно-графические работы.

Для лучшего усвоения учебного материала имеется тренинг умений, который включает задачи для самостоятельного выполнения по каждой главе и заключительное тестирование по всему курсу. Кроме того, для удобства пользования учебное пособие снабжено кратким словарем специальных терминов и определений.

Автор выражает признательность и благодарность редактору Долгавиной Э.Г. за неоценимую помощь в процессе подготовки к изданию настоящего пособия.

Введение

Графическая деятельность требует выполнения ряда мыслительных и познавательных действий, качественное воплощение которых осуществляется при наличии у обучающихся способностей к восприятию различных средств графической информации, ее переработке, переосмыслению, анализу целостности восприятия. Все это позволяет создать образы реально существующего или задуманного объекта или явления с последующим его отображением в виде чертежа, рисунка, схемы, графика и т.д.

Уровень графической подготовки человека сейчас определяется не столько техникой графических изображений, а тем, насколько он готов к мыслительным преобразованиям этих изображений и насколько развита подвижность образного мышления, а также уровень пространственных представлений, которые являются одним из показателей общего умственного развития.

Начертательная геометрия как наука изучает вопросы отображения геометрических образов на плоскость.

Под геометрическими образами понимают точки, линии (прямые и кривые), поверхности, плоскости. Совокупность этих образов дает любую пространственную форму (деталь, конструкцию, сооружение).

Полученное изображение на плоскости называют чертежом. По образному выражению В. Курдюмова, чертеж – язык техники, а начертательная геометрия – грамматика этого языка.

Отсюда цели и задачи курса начертательной геометрии, в результате изучения которого студент должен знать:

– правила составления, чтения и выполнения чертежа;

– правила, приемы и способы графического решения задач, связанных с пространственными формами;

уметь:

– строить изображения пространственных форм на плоскости, то есть составлять чертеж;

– решать графическим способом на чертеже ряд пространственных задач.

Общие требования и методические рекомендации
по изучению курса “начертательная геометрия”

Приступая к изучению курса “Начертательная геометрия”, студенты должны помнить, что в предлагаемом учебном пособии изложены только основные теоретические положения. Поэтому для более детального изучения прорабатываемого материала необходима систематическая работа с рекомендуемой литературой.

Учебное пособие построено таким образом, что в конце каждой главы содержатся выводы по изученным темам, даются вопросы для самоанализа и заключительные расчетно-графические работы, выделены основные ключевые понятия и виды деятельности, которые студент должен знать, уметь владеть и пользоваться ими. Новый материал сопровождается достаточным количеством подробно разработанных примеров решения задач и упражнений. Решение задач и выполнение чертежей предполагает усвоение способов их выполнения. Для этого учебное пособие содержит алгоритмы выполнения заданий, которые даны в трех уровнях: вербальном (словесном), графическом и аналитическом.

В рабочей тетради, представленной студентом на проверку преподавателю, помимо решенных задач, должны быть записи основных теоретических положений и записи последовательности производимых на чертеже операций с помощью символов, то есть должны быть составлены алгоритмы их решения (комбинирование известных способов деятельности, выбор оптимального варианта).

На последнем практическом занятии студент получает допуск к экзамену при условии, что все пять расчетно-графических работ (рекомендации по выполнению которых будут даны ниже), а также решенные задачи, выполненные по надлежащим правилам, будут сданы.

Методические указания по выполнению
расчетно-графических работ

1. В первом семестре выполняется пять расчетно-графических работ (РГР), которые сдаются по мере изучения тем курса “Начертательная геометрия”.

2. Каждый студент выполняет свой вариант, выданный преподавателем.

3. Чертежи выполняются на листах чертежной бумаги формата А4, (210 х 297). Можно использовать масштаб.

4. Каждый лист оформляется рамкой и надписью по форме, приведенной в прил. 1.

Все надписи, как и отдельные обозначения в виде букв и цифр, должны быть выполнены стандартным шрифтом размером 3,5 и 5. Условия задач и все геометрические построения выполняются карандашом при помощи чертежных инструментов. На тщательность построения должно быть обращено особое внимание. Небрежное выполнение построений не только снижает качество чертежа, но и приводит к неправильным результатам.

Глава 1
Метод проекций

Начертательная геометрия является наивысшим средством развития той

таинственной способности человеческого духа, которая зовется воображением и которая является ступенью к другой царственной способности – фантазии, без которой почти не совершаются великие открытия и изобретения

Н.А. Рынин

&	[3, гл. 1, § 1–3]; [5, гл. 1, § 6]; [6, гл. 1, § 1–2]; [7, гл. 1, подразделы 1–3]

В основе правил построения изображений, рассматриваемых в начертательной геометрии и применяемых в черчении, лежит метод проекций. Изучение начинается с построения проекций точки, так как при построении изображений любой пространственной формы рассматривается ряд точек, принадлежащих этой форме.

В настоящем учебном пособии приняты следующие буквенно-цифровые обозначения геометрических фигур.

Геометрические образы

1. Плоскость проекций:

p – произвольная;

p₁ – горизонтальная;

p₂ – фронтальная;

p₃ – профильная;

S – центр проецирования.

2. Оси проекции:

X – ось абсцисс;

Y – ось ординат;

Z – ось аппликат;

Начало координат – прописной буквой О.

1. Точки, расположенные в пространстве, обозначаются прописными буквами латинского алфавита, а также арабскими цифрами:

A, B, C, D,…, L, M, N,

1, 2, 3, 4,…,12, 13, 14,…

2. Линии, расположенные произвольно относительно плоскостей проекций, обозначаются строчными буквами латинского алфавита:

a, b, c,…, l, m, n

Линии уровня обозначаются:

h – горизонталь;

f – фронталь;

p – профильная прямая.

Для прямых линий используются также следующие обозначения:

(A, B) – прямая, проходящая через точки A и B;

[AB] – отрезок прямой, ограниченный точками А и В

3. Плоскости обозначаются прописными буквами латинского и греческого алфавита:

P, Q, R, S, T, S , L , Q …

Для обозначения плоскостей уровня используются прописные буквы только греческого алфавита:

Г – горизонтальная плоскость (гамма);

Ф – фронтальная плоскость (фи);

Р – профильная плоскость (ро).

Чтобы выделить способ задания плоскости, указывают ее геометрические элементы, которыми она определяется:

P (D ABC) – плоскость P задана треугольником ABC;

Q (a b) – плоскость Q задана пересекающимися прямыми a и b;

R (m II n) – плоскость R задана параллельными прямыми m и n;

S (A,В,С) – плоскость S задана тремя точками.

4. Проекции точек, линий и других геометрических образов обозначаются теми же буквами (или цифрами), что и оригинал, но с добавлением индекса А₁, А₂, А₃ или 1₁, 1₂, 1₃, соответствующего плоскости проекций, на которой они получены:

А₁, В₁, С₁, …, М₁, N₁… – горизонтальные проекции точек;

А₂, В₂, С₂, …, М₂, N₂… – фронтальные проекции точек;

А₃, В₃, С₃, …, М₃, N₃… – профильные проекции точек;

a₁, b₁, c₁, …, m₁,n₁… – горизонтальные проекции линий;

a₂, b₂, c₂, …, m₂,n₂… – фронтальные проекции линий;

a₃, b₃, c₃,…, m₃,n₃… – профильные проекции линий и т. д.

Обозначение отношений между геометрическими образами