Тема 3. Сечение тела плоскостью и построение развертки.

По теме 3 решается комплексная задача, состоящая из ряда задач.

Заданы:

а) геометрическое тело в системе двух плоскостей проекций;

б) секущая плоскость общего положения, представление своими следами.

Требуется:

1. Построить сечение геометрического тела плоскостью (горизонтальную и фронтальную проекции).

2. Определить истинный вид фигуры сечения способом совмещения с одной из плоскостей проекций.

3. Построить полную развертку поверхности усеченной части тела.

Первая из трех названных задач относится к числу позиционных, вторая и третья – метрические.

Выполнение построений по теме 3 возможно после проработки соответствующих теме вопросов рабочей программы.

Построение сечения тела плоскостью в общем случае следует начинать с построения особых, так называемых опорных точек (наивысшей и наинизшей, наиближайшей и наиболее удаленной), точек – границ видимости, принадлежащих очеркам проекций геометрического тела), а затем уже строить промежуточные.

В случае сечения многогранника строятся точки пересечения ребер многогранника и сторон его оснований с секущей плоскостью («способ ребер») или линии пересечения граней многогранника и его оснований с заданной секущей плоскостью(« способ граней»).

В случае сечения тела с криволинейной поверхностью (цилиндрической или конической) строятся точки пересечения секущей плоскости с линейчатыми образующими поверхности или с круговыми направляющими (т.е. линиями каркасов поверхности).

Истинный вид фигуры сечения определяется способом совмещения. За ось вращения принимается один из следов (любой) секущей плоскости. Вращение ведется до совмещения фигуры с соответствующей плоскостью проекций. Полная развертка поверхности усеченной части тела, т.е. части, находящейся под секущей плоскостью, складывается из развертки боковой поверхности усеченной части, истинной формы построенного сечения и основания усеченной части геометрического тела.

Необходимо для построения развертки истинные величины отрезков образующих или ребер (от основания до сечения) целесообразно определить или вращением вокруг проецирующей прямой или способом замены плоскостей проекций. (Вспомогательные построения рекомендуется сохранять).

Для построения самой развертки можно воспользоваться любым из соответствующих рассматриваемому случаю способов:

а) Для призм и цилиндров – способами раскатки, нормального сечения, диагоналей;

б) Для пирамид и конусов – способом треугольников.

В соответствии с вариантом задания по табл. 5 определяется номер фигуры, задающей случай пересечения, и исходные данные. Элементы геометрического тела и размеры, характеризующие его положение относительно плоскостей проекций, определяется рисунком (к табл.5).

Задания по теме №3 Таблица 5.

Вариант задания

Фигура

Исходные данные

ℓмм β0 α0

Вариант задания

Фигура

Исходные данные

ℓмм β0 α0

Вариант задания

Фигура

Исходные данные

ℓмм β0 α0

Вариант задания

Фигура

Исходные данные

ℓмм β0 α0

Вариант задания
Фигура
Исходные данные	ℓмм β0 α0
Вариант задания
Фигура
Исходные данные	ℓмм β0 α0
Вариант задания
Фигура
Исходные данные	ℓмм β0 α0
Вариант задания
Фигура
Исходные данные	ℓмм β0 α0

В качестве примера в «Методических указаниях» рассматривается трехгранная пирамида SАВС, основание которой

принадлежит горизонтальной плоскости проекций, рассеченная плоскостью общего положения Σ (Σ₁, Σ₂). Образец оформления и размещения решения задач по теме 3 приводится на рис.5.

Плоскостью пересекается лишь боковая поверхность пирамиды и сечение будет иметь треугольную форму. Одна из вершин этого треугольника – точка 1, уже известно при заданном положении секущей плоскости и совпадает с вершиной основания пирамиды – точкой В.

Для определения второй вершины треугольного сечения точки 2, ребро SA было заключено во фронтально – проецирующую вспомогательную плоскость θ (θ₁,θ₂) и строилась точка встречи ребра с секущей плоскостью Σ, т.е. был применен способ ребер.

Для определения третьей вершины сечения, точки 3, использован способ граней, т.е. строилась линия пересечения грани SAC с плоскостью Σ – линия Н¹2 (Н¹₁2₁, Н¹₂2₂).

Точка Н¹ (Н¹₁₂Н¹₂) определилось пересечением следа Σ₁ секущей плоскости с горизонтальным следом Ω’₁ – грани SAC и является горизонтальным следом искомой линии пересечения.

Линия Н¹2, пересекаясь с ребром SC, дает третью вершину определяемого сечения.

Плоскость Σ считалась прозрачной, геометрическое тело – непрозрачным. Все стороны сечения пирамиды в горизонтальной проекции оказались видимыми, во фронтальной проекции видимы две стороны из трех.

Истинная форма сечения получена совмещением его с горизонтальной плоскостью проекций П₁. Осью вращения служит след Σ₁ секущей плоскости. Плоскость вращения вершин сечения Ω²(Ω²₁), Ω³(Ω³₁) перпендикулярны к оси вращения и занимают горизонтально – проецирующее положение. Для вершины 2 центр вращения О(О₁,О₂) и установлена истинная величина радиуса вращения 2₀О₁ способом прямоугольного треугольника. При построении истинной формы сечения 1-2-3 использована горизонтальная проекция Н¹₁ горизонтального следа стороны АС.

Построение развертки потребовало определений истинных величин только боковых ребер пирамиды, т.к. стороны основания пирамиды, принадлежащего горизонтальной плоскости проекций, имеют истинное изображение в горизонтальной проекции.

Все три боковых ребра SA,SB,SC наклоненные к плоскости проекций П₁ и П₂, были переведены во фронтальное положение вращением вокруг горизонтально – проецирующей прямой, проходимой через вершину пирамиды S. Вместе с ребрами были повернуты и принадлежащие им вершины сечения . Плоскостью вращения для нижних концов ребер служила горизонтальная плоскость проекций. Новые фронтальные отображения ребер S₂A¹₂, S₂B¹₂, S₂C¹₂ определили их истинные размеры.

Сама развертка строилась способом треугольников, использовался прием засечек (см. рис.6). Основными сплошными линиями выделены площади, составляемые полную развертку усеченной части пирамиды.