Тема 7. Текстовая задача и процесс ее решения
Теоретический материал
Структура текстовой задачи
Текстовая задача – описание на естественном языке некоторого явления (ситуации, процесса) с требованием дать количественную характеристику какого-либо компонента этого явления, установить наличие или отсутствие некоторого отношения между компонентами или определить вид этого отношения.
Структура задачи:
- объекты задачи;
- утверждения (условия);
- требования.
Систему взаимосвязанных условий и требований называют высказывательной моделью задачи.
По отношению между условиями и требованиями различают:
1) определенные задачи;
2) задачи с альтернативным условием;
3) недоопределенные задачи;
4) переопределенные задачи.
Моделирование в процессе решения текстовых задач
Математической моделью текстовой задачи является выражение (или запись по действиям), если задача решается арифметическим методом, и уравнение (или система уравнений), если задача решается алгебраическим методом.
Этапы математического моделирования текстовой задачи:
I этап – перевод задачи на математический язык.
II этап – внутримодельное решение.
III этап – интерпретация.
Классификация моделей:
1. Схематизированные:
а) вещественные;
б) графические:
- рисунок;
- условный рисунок;
- чертеж;
- схематический чертеж (или просто схема).
2. Знаковые:
а) выполненные на естественном языке:
- краткая запись условия;
- таблица;
б) выполненные на математическом языке (решающие модели):
- выражение;
- уравнение;
- система уравнений;
- запись решения задачи по действиям.
Методы и способы решения текстовых задач
Методы решения текстовых задач:
- арифметический;
- алгебраический;
- геометрический;
- логический;
- практический;
- комбинированный (смешанный).
Схема работы над задачей
| Знакомство с текстом |
| Осмысление текста |
| Моделирование задачи |
| Преобразование текста в задачу |
| Поиск плана решения |
| Выполнение плана решения |
| Проверка |
| Ответ |
| Исследование задачи |
Задания
1. Используя определение текстовой задачи, объясните, почему следующие задачи можно считать текстовыми.
а. Грач приносил своим птенцам по 2 червя 5 раз. Сколько всего червей грач принес птенцам?
б. Расстояние между городами 112 км. Два путешественника одновременно вышли из этих городов навстречу друг другу. Один проходил в час 2 км 925 м, а другой 4 км 75 м. Через сколько часов они встретились?
2. В следующих задачах выделите объекты, условия и требования.
а. На лугу расцвели 20 васильков, колокольчиков – на 12 меньше, а лютиков – столько, сколько колокольчиков и васильков вместе. Сколько лютиков расцвело на лугу?
Объекты:
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
Условия:
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
Требования
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
б. В одной школе 19 классов, в другой – 11. В школы завезли 1200 учебников. Сколько учебников было выдано каждому классу, если их выдавали поровну всем классам?
Объекты:
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
Условия:
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
Требования
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
в. В нашем классе знает каждый,
В Балашове я живу.
На каникулы однажды
Ехать я решил в Москву.
Я пришёл на наш перрон,
В самый первый сел вагон,
До Москвы наш поезд шёл
Мимо станций, мимо сёл,
Мимо речек и лесов,
Шёл семнадцать он часов,
В час он делал между тем
Километров сорок семь.
И явилось вдруг желанье
Подсчитать всё расстоянье,
Что я ехал до Москвы.
Помогите мне и вы.
Кто поможет мне найти
До Москвы длину пути?
Объекты:
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
Условия:
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
Требования
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
3. Решите задачи различными арифметическими способами:
а. В ателье было три куска ткани: в одном куске 270 м, в другом на 40 м больше, в третьем на 100 м меньше, чем в первом. Из всей ткани сшили платья, на каждое из которых было израсходовано по 5 м. Сколько было сшито платьев?
б. В типографии было 5000 кг бумаги. В первый месяц израсходовали 1600 кг бумаги, во второй – на 350 кг меньше. Сколько килограммов бумаги осталось в типографии?
в. На рынок привезли яблоки, груши и сливы общим весом 4 тонны. Сколько было слив, если яблок было 2000 кг, а груш – в 2 раза меньше, чем яблок?
г. В магазин привезли 2 т капусты, до обеда продали 200 кг капусты, а после обеда – 1 ц 50 кг. Сколько капусты осталось в магазине?
4. Решите следующие задачи различными алгебраическими способами:
а. Трое мальчиков нашли 60 орехов. Саша взял себе на 10 орехов больше, чем Вова, а Вова на 5 меньше, чем Сережа. Сколько орехов у каждого мальчика?
б. На трех полках всего стоит 96 книг. На первой полке на 4 книги меньше, чем на второй, а на третьей – в два раза меньше, чем на первой и второй вместе. Сколько книг стоит на каждой полке?
5. Решите каждую задачу арифметическим и алгебраическим методами.
а. В зоопарке живут 68 обезьян. В 6 маленьких клетках сидят по 4 обезьяны, а остальные – в 4 больших клетках. Сколько обезьян сидит в одной большой клетке?
б. На почте до обеда рассортировали 32 пакета с письмами, а после обеда – 26. После обеда рассортировали на 84 письма меньше, чем до обеда. Сколько писем рассортировали за весь день, если в каждом пакете было одинаковое количество писем?
в. Первый самосвал перевез 57 т песка, а второй – 72 т. Второй самосвал сделал на 5 рейсов больше, чем первый. Грузоподъемность самосвалов одинаковая. Сколько рейсов сделал первый самосвал?
г. В двух вагонах пригородного поезда ехало 65 пассажиров. На станции из первого вагона вышли 3 человека, из второго – на 9 больше. После этого в вагонах пассажиров стало поровну. Сколько пассажиров ехало в каждом вагоне до остановки?
6. Для каждой из следующих задач назовите ее объекты, условия и требования. Решение запишите в виде числового выражения и найдите его значение.
а. Для детского сада школьники сделали 24 красных кубика, синих – в два раза меньше. Среди кубиков было 15 больших, а остальные – маленькие. Сколько маленьких кубиков сделали школьники?
б. На участке росли 10 лип и несколько сосен. Когда в одну сосну ударило молнией, то сосен стало в 2 раза меньше, чем лип. Сколько сосен было на участке сначала?
в. У Коли в два раза больше марок, чем у Саши. Когда Коле подарили еще 8 марок, то у него их стало в 3 раза больше, чем у Саши. Сколько марок было у Саши?
7. Для каждой из следующих задач постройте вспомогательную модель, решение запишите по действиям с пояснением или числовым выражением, выполните проверку:
а. В трех ящиках было 110 килограмм яблок. В первом ящике на 35 яблок больше, чем во втором, а во втором на 15 кг больше, чем в третьем. Сколько килограммов яблок в каждом ящике?
б. В канистре было 20 л бензина. Когда отлили несколько литров, то в ней осталось в 4 раза больше бензина, чем отлили. Сколько литров бензина осталось в канистре?
в. На хлебозаводе испекли 19 т хлеба. До обеда с завода вывезли хлеба в 3 раза больше, чем после обеда. На заводе осталось 3 т хлеба. Сколько тонн хлеба вывезли с завода до обеда?
г. Дима, Вова и Толя собрали 51 стакан малины. Дима собрал в 2 раза больше малины, чем Вова, а Толя – на 3 стакана больше, чем Вова. Сколько стаканов малины собрал каждый из мальчиков?
д. Дочь в 8 раз младше матери, а мать на 28 лет старше дочери. Сколько лет матери?
е. Расстояние между двумя городами 900 км. Два поезда вышли из этих городов навстречу друг другу со скоростями 60 км/ч и 80 км/ч. На каком расстоянии друг от друга были поезда через 2 часа?
ж. Расстояние от села до города 45 км. Из села в город вышел пешеход со скоростью 5 км/ч. Через час навстречу ему из города в село выехал велосипедист со скоростью 15 км/ч. На каком расстоянии от села произойдет встреча пешехода и велосипедиста?
з. Велосипедист и мотоциклист выехали одновременно из одного пункта в одном направлении. Скорость мотоциклиста 40 км/ч, а велосипедиста 12 км/ч. Через сколько часов расстояние между ними будет 56 км?
и. Из двух пунктов, удаленных друг от друга на 30 км, выехали одновременно 2 мотоциклиста. Скорость первого 40 км/ч, второго 50 км/ч. Через сколько часов второй догонит первого?
к. В 9 ч утра два катера отошли от пристани в противоположных направлениях. В 14 ч расстояние между ними было 320 км. С какой скоростью шел первый катер, если скорость второго была 45 км/ч.
л. Байдарка плыла по течению 6 ч и против течения 2 ч, пройдя всего 50 км. С какой скоростью байдарка шла против течения, если ее скорость по течению 7 км/ч? Какова собственная скорость лодки?
м. В рукописи 42 страницы. Одна машинистка перепечатает рукопись за 3 ч, а вторая за 6 ч. За сколько часов машинистки перепечатают рукопись при совместной работе.
н. Бассейн вмещает 1200 л воды. Через первый кран его можно заполнить за 20 мин, а через второй – за 15 мин. За сколько минут можно заполнить бассейн через оба крана?