Решения, что важно запомнить и учесть в дальнейшем при решении задач

Методика обучения решению математических задач

Сообщение учителя математики Антоновой Н.И. на заседании школьного методического объединения

Ноябрь 2009г

Умение решать задачи является одним из основных показателей уровня математического развития, глубины освоения учебного материала. Ребенок с первых дней занятий в школе встречается с задачей.

Если внимательно проанализировать содержание школьного курса математики, то можно увидеть, что он в основном состоит из теоретического обоснования способов решения различных видов задач. Поэтому естественно, что решению задач уделяется огромное внимание и значительное учебное время.

Решение задач используется для разных учебных целей: для формирования мотивации и интереса к учебной деятельности у учащихся, для иллюстрации и конкретизации изученного учебного материала, выработки у учащихся специальных умений и навыков, для развития логического мышления , для контроля и оценки результатов их учебной работы и т. д.

К сожалению, меньше всего уделяется внимание формированию у учащихся общего подхода, общего умения решать любые математические задачи. Само решение задачи протекает на основе либо механических проб и ошибок с последующим закреплением случайно найденного верного решения, либо актуализации определенной системы раннее сформированных операций. Частные способы решения отдельных видов задач, изучаемых в школе, могут быть скоро забыты, , а вот общее умение, общий подход к решению любых задач должен сохраниться у каждого выпускника школы надолго, на всю жизнь. Ибо этот общий подход к решению любых математических задач есть, по сути дела модель разумного подхода к решению любых бытовых, практических, технических и иных задач, которые будут' повседневно встречаться человеку на протяжении всей его жизни. Ведь жить — это значит решать задачи!

Как обучать детей нахождению способа решения задачи? Этот вопрос – центральный в методике обучения решению задач. Для ответа на него в литературе предложено немало практических приемов, облегчающих поиск способа решения задачи. Однако теоретические положения относительного нахождения пути решения задачи остаются мало разработанными.

А между тем подавляющее большинство выпускников школы так и не овладевают в должной степени этим общим умением и, встретившись с задачей незнакомого или мало знакомого вида, не знают, как к ней подступиться, с чего начать решение, и после нескольких неудачных попыток отказываются от этого, как они считают, безнадежного дела, при этом обычно произносят печально известные слова: «А мы такие не решали». У подавляющего большинства учащихся решение задач не вызывает большого интереса, они пассивно относятся к этому процессу, и многие из них предпочитают списывание с доски или у товарища.

Во многом характер мотивации зависит от организации процесса обучения решению задач. Существующая организация не способствует формированию глубокого внутреннего интереса к этой деятельности у большинства учащихся.

Решение задач — это работа несколько необычная, а именно умственная работа. А чтобы научиться какой-либо работе, нужно предварительно хорошо изучить тот материал, над которым придётся работать, те инструменты, с помощью которых выполняется эта работа.

Значит, для того чтобы научиться решать задачи, надо разобраться в том, что собой они представляют, как они устроены, из каких составных частей они состоят, каковы инструменты, с помощью которых производится решение задач.

Мы хотим, чтобы учащиеся овладели этой деятельностью, но не 'даем им необходимых, знаний и умений для этого. Надо дать учащимся указанные выше основы„на базе которых только и можно сформировать у них навыки сознательной и разумной деятельности по решению задач.

В чем же состоят эти основы?

1. Учащиеся должны иметь представление о том; как возникают задачи, откуда они берутся. Первичным источником задач являются проблемные и задачные ситуации. С этой точки зрения — задачи — это знаковые модели таких ситуаций. Если центральным элементом проблемной или задачной ситуации является субъект, то в,

задаче мы от него абстрагируемся. Поэтому задачи 'можно, переделывать, придумывать.

Чтобы учащиеся в этом убедились, полезно широко использовать различные задания на составление задач.

2. С логической точки зрения, в каждой задаче рассматривается один или несколько объектов задачи

(числа, фигуры, предметы и т. д.). Относительно каждого такого объекта в задаче указываются его качественные или

(и) количественные характеристики в форме высказываний, принимаемых нами за истинные. Эти высказывания будем. называть элементарными условиями. Кроме условий в текст задачи входит еще вопрос или требование задачи.

Следует иметь в виду, что, как правило, текст задачи дается в свернутом, сокращенном виде. И очень

важно, чтобы учащиеся научились развертывать его в систему взаимосвязанных высказываний и требований. В большинстве случаев для этого удобно вводить какие-то обозначения, чертежи в геометрических задачах и т. д.

3. Каждое элементарное условие имеет определенную структуру. Если в условии имеется один объект, то

указывается его качественная или количественная характеристика. Если же в условии заданы два или больше объектов, то обычно указывается отношение между ними.( одно больше, меньше другого и т д )

4, В зависимости от характера объектов задачи делятся на чисто математические, в которых все объекты— математические {числа, фигуры, функции, уравнения и т. д.) и на прикладные, или практические, в которых некоторые объекты не математические (предметы, машины и т.' д.).

По характеру требований все математические задачи делятся на следующие виды: 1) на нахождение искомой характеристики (качественной или количественной) заданного объекта или искомого отношения между объектами; 2) на доказательство; 3) на преобразование некоторого объекта; 4) на построение объекта.

По отношению между элементарными условиями и требованиями задачи делятся на такие виды: 1) определенные, в которых задано необходимое и достаточное число условий для удовлетворения требования, т. е. для решения задачи; 2) недоопределенные, в которых недостаточно условий для решения; 3) переопределенные, имеющие излишние условия, которые, в свою очередь, делятся на такие виды: а) лишние условия являются логическими следствиями остальных, а поэтому задача непротиворечивая;

б) лишние условия противоречат другим условиям (противоречивые задачи).

5. Очень важно, чтобы учащиеся уяснили на ряде примеров, в чем состоит сущность решения задач: решить математическую задачу (чисто математическую или прикладную) — это значит найти такую последовательность общих положений математики (определений, аксиом, теорем, правил, формул и т. д.), применяя которые к условиям задачи или к промежуточным результатам процесса решения (т. е. к следствиям условий), можно удовлетворить требование задачи. Эта последовательность общих положений образует теоретическую базу решения задачи.

6. Процесс решения математических задач состоит из следующих основных этапов: 1) анализ задачи (содержательный и логический); 2) схематическая запись условия (построение высказывательной модели задачи с использованием математической символики, чертежей, графиков и т. д.); 3) поиск способа решения; нахождение теоретической базы решения; 4) осуществление способа (плана) решения; 5) проверка найденного решения; 6)

исследование задачи и найденного решения (при каких условиях задача имеет решение, сколько решений, имеется ли другой способ решения и т. д.); 7) формулирование ответа задачи; 8) учебно-познавательный анализ задачи и ее решения.

Из этих восьми этапов обязательными для решения любой задачи являются 1, 3, 4 и 7-й. Остальные этапы необязательны, и при решении более простых задач они опускаются. При этом в реальном процессе решения все эти этапы выполняются обычно не последовательно, а некоторые из них параллельно и, возможно, в другом порядке, не отделяя один этап от другого. Особое значение имеет 8-й этап, который применяется к наиболее важным типовым задачам. Ведь учащиеся решают задачи не для того, чтобы найти их ответы (они заранее известны), а для того, чтобы чему-то научиться, чем-то овладеть. Вот и нужно обсудить после решения задачи, чему учащиеся научились в процессе

решения, что важно запомнить и учесть в дальнейшем при решении задач.

Перечисленные выше в пяти пунктах знания о задачах, сущности и процессе решения образуют тот минимум знаний, который составляет первую часть основ, на базе которой только и можно формировать разумную,

сознательную деятельность учащихся по решению задач.

Для того чтобы учащиеся при решении сложной задачи имели возможность сосредоточить все свои способности и внимание на главном — на поиске способа решения, нахождении теоретической базы решения, они должны иметь прочные умения и навыки в выполнении всех элементарных действий и операций, которые придется применять в процессе решения, с тем чтобы они не отвлекали внимание и силы учащихся от главного.

Поэтому одновременно с овладением учащимися указанными знаниями они должны приобрести прочные, хорошо развитые умения и навыки в выполнении указанных элементарных действий и операций. Эти умения и навыки отрабатываются учащимися с помощью системы соответствующих учебных заданий.

Например: 1. Дан текст какой-то задачи. Расчленить ее на условия и требования. 2. Дан текст задачи. Построить ее символическую модель. 3. Дана задача и запись ее решения. Проделать всеми возможными способами проверку решения. И т. д. Приводимые в этих заданиях математические задачи ни в коем случае не решаются, они используются

лишь как материал для выполнения задания, ибо если учащиеся будут одновременно и решать задачи, то их внимание будет сосредоточено именно на решении, а не на «приобретении соответствующего навыка.

Очень полезным видом учебных заданий является самостоятельное составление учащимися

математических задач. Составление задач способствует лучшему уяснению самих задач, их структуры и механизма решения. Так, например, задания: 1) по данной схематической записи задачи (ее символической модели) составить текст задачи; 2) по данному чертежу составить текст задачи — и им подобные помогут учащимся уяснить сущность схематической (символической) модели задачи и способов ее построения.

Рассмотрим теперь третью, последнюю часть базы обучения решению математических задач — общие методы решения этих задач.

У большинства учеников, да и у некоторых учителей, в результате решения огромного числа задач складывается представление, что существует необозримое число различных методов и способов решения математических задач и разобраться. в этом многообразии очень сложно.

В первую очередь учащиеся должны уяснить следующую общую идею, лежащую в основе всех методов и способов решения задач: чтобы решить какую-либо новую задачу, надо свести ее к одной или нескольким ранее решенным задачам.

'Будем в дальнейшем понимать под способом совокупность действий для решения конкретной задачи, а под методом — общую схему (алгоритмическую или эвристическую), на основе которой строятся способы решения отдельных задач.

С этой точки зрения все математические задачи следует разделить на алгоритмические, или стандартные, и на эвристические, или нестандартные. Алгоритмические, или стандартные, задачи — это те, для решения которых. В курсе математики имеется определенный алгоритм, и способ решения задач состоит в применении алгоритма к условиям решаемой задачи.

Методика обучения решению этих задач хорошо разработана, и нет нужды в ее обсуждении.

Для того чтобы ученик мог применить алгоритм к решению конкретной задачи, он должен, во-первых, уметь вычленить этот алгоритм из определения, теоремы, увидеть его в правиле, формуле, а во-вторых, он должен уметь развертывать этот алгоритм в пошаговую программу. Этому надо систематически учить учащихся.

Для решения же нестандартных задач учащиеся должны сами изобрести (составить) способ их решения.

Чтобы поиск и изобретение способа решения таких задач производились учащимися разумно, по определенному плану, они должны знать и владеть общими эвристическими методами решения математических задач. Эти общие методы следует сообщать учащимся постепенно, иллюстрируя их достаточным числом примеров. К разбору этих методов необходимо возвращаться неоднократно при встрече с новыми задачами, где эти методы используются.

Рассмотрим очень кратко основные методы.