Методика введения первых составных арифметических задач

План

1. Время, порядок, задачи изучения темы.

2. Методика формирования умения решать нетиповые составные арифметические задачи.

1.Первые составные арифметические задачи по новой программе 1-4 вводятся в третьей четверти первого класса (задачи в два действия).

Порядок введения первых составных нетиповых задач в первом классе следующий:

1) Составные задачи, включающие простые арифметические задачи на увеличение числа на несколько единиц (прямая форма) и на нахождение суммы. Например: «На первой проволоке 7 шариков, а на второй – на 3 шарика больше. Сколько всего шариков на двух проволоках?» (М.1, ч. 2,с. 56).

2) Составные задачи, включающие простые арифметические задачи на уменьшение числа на несколько единиц (прямая форма) и на нахождение суммы. Например: «На одной проволоке 10 шариков, а на другой – на 3 меньше. Сколько всего шариков на двух проволоках?» (М.1, ч. 2, с. 57).

3) Составные задачи, включающие простые арифметические задачи на нахождение суммы и на нахождение остатка. Например: «Тыкву массой 6 кг нарезали на куски. Одна покупательница взяла 2 кг, другая – 1 кг. Сколько килограммов тыквы ещё не продано?» (М. 1, ч.2, с. 65).

4) Составные задачи, включающие две простые арифметические задачи на нахождение суммы. Например: «У продавца было 4 ящика апельсинов. Со склада привезли ещё 2 ящика лимонов и 5 ящиков яблок. Сколько всего ящиков с фруктами стало?».

5) Составные задачи, включающие две простые арифметические задачи: одна - на нахождение суммы, вторая – на разностное сравнение Например: «У папы в одной сумке арбуз массой 7 кг, а в другой – 4 кг картофеля и 2 кг капусты. Какая сумка тяжелее и на сколько?» (М.1, ч.2, с.73).

5) Составные задачи, включающие две простые задачи, вида: «В саду расцвело 8 красных пионов, 6 розовых, а белых на 3 меньше, чем красных и розовых вместе. Сколько расцвело белых пионов?» [4, с.138].

В процессе работы над задачами ученик должен:

1) Уяснить отличие составной арифметической задачи от простой.

2) Овладеть правильным, осознанным, обобщённым, прочным умением решать составные арифметические задачи, предусмотренные программой.

2.При решении первых составных задач основными видами иллюстрации задачи в традиционной системе обучения являются предметная (или образная) наглядность или краткая запись. Как указывалось ранее (см.п.6), предметная иллюстрация чаще всего не является «средством ученика», не изображает наглядно объект усвоения - связь между данными и искомым, не помогает абстрагироваться от конкретной ситуации задачи и выделить существенно общее для всех задач одной математической структуры. Краткая запись, наиболее часто используемая при решении составных нетиповых задач, в том виде, в каком она используется в традиционной школе, чаще всего не является средством для поиска решения задачи, вызывает трудности в выполнении. Есть определённые находки в альтернативных системах обучения, однако они не используются в практике работы традиционной школы, хотя такая возможность есть.

Рассмотрим, как осуществляется работа над первыми составными задачами в традиционной системе обучения.

Полное рассуждение ученика в процессе решения составной арифметической задачи рассмотрено нами ранее (см.п.6). Анализ этого рассуждения показывает, что в процессе работы с составными арифметическими задачами, в первую очередь, ребёнок должен усвоить отличие составной задачи от простой - её нельзя решить одним действием, для её решения надо выделить простые задачи, установив соответствующую систему связей между данными и искомым.

С этой целью на подготовительной ступени предусматривается выполнение специальных заданий.

1) Решение задач с недостающими данными, например:

а) В вазе лежало 5 яблок и груши. Сколько всего фруктов было в вазе?

б) В детский сад купили мячи и куклы. Сколько всего игрушек купили в детский сад?

После прочтения таких задач, учитель спрашивает, что нужно знать, чтобы узнать, сколько всего фруктов было в вазе (сколько игрушек купили в детский сад). Можем ли сразу узнать, сколько всего фруктов было в вазе? (сколько игрушек купили) Почему? (В задаче не сказано, сколько было груш, или сколько было мячей и сколько было кукол.) Далее дети подбирают числа и решают задачи.

Выполняя такие задания, дети убеждаются, что для выполнения решения задачи нужно два числовых данных, их может не хватать, их надо получить (или подобрать, как в данных примерах).

2) Решение пар простых задач, в которых число, полученное в ответе на вопрос в первой задаче, является одним из данных во второй задаче, например:

а) 1.На складе погрузили в машину 6 ящиков апельсинов и 5 ящиков яблок. Сколько ящиков с фруктами погрузили в машину?

2.На машине было 12 ящиков с фруктами. У магазина выгрузили 7 ящиков. Сколько ящиков с фруктами осталось в машине?

б) 1.Вчера Дима прочитал 4 страницы книги, а сегодня – на 1 страницу меньше, Сколько страниц он прочитал сегодня?

2. Вчера Дима прочитал 4 страницы, а сегодня - …страницы. Сколько всего страниц Дима прочитал за эти дни?

Дополни условие, используя ответ предыдущей задачи (М.1,ч.2, с. 56).

После решения задачи сравниваются, подмечается их связь между собой и под руководством учителя эта пара задач заменяется одной задачей. В дальнейшем дети сами заменяют пары подобных задач одной. В учебнике их достаточное количество.

1) Решение задач с двумя вопросами (очень широко представлено в учебнике математики по новой программе. (М.1, ч.2, с. 15 и т.д.) Занимает этот вид работы очень большое место в новом учебнике. Эти задачи решаются на протяжении всего второго полугодия даже после ознакомления с составными арифметическим задачами.

а) У Васи 6 иностранных марок, а российских на 3 марки меньше. Сколько российских марок у Васи? Сколько всего марок у Васи?

б) На носки у бабушки пошло 2 мотка шерсти, а на кофту – на 6 мотков больше. Сколько мотков шерсти пошло у бабушки на кофту? Сколько всего мотков шерсти пошло на кофту и носки? (М.1, ч.2, с. 18).

3)Постановка вопроса к данному условию.

Было 5 тарелок, но 2 тарелки разбились. Поставь вопрос и реши задачу.

4) Составление задач по математическому выражению.

Младший школьник в процессе решения задач должен научиться осуществлять поиск их решения от вопроса к числовым данным и от числовых данных к вопросу. Сразу два способа поиска решения составных арифметических задач давать, безусловно, сложно. Учитель должен для себя решить, каким способом дети вначале будут осуществлять поиск решения. На нём следует сконцентрировать внимание на подготовительной ступени.

В начальных классах ученик овладевает разными способами записи решения задачи (см.п.6). Самым перспективным является запись решения с помощью составления выражения, т.к. она готовит детей к решению задач с помощью составления уравнения в старших классах. В практике работы школы запись решения задач чаще всего выполняется по действиям. Причём, очень часто после решения по действиям предлагается «решить задачу другим способом - с помощью составления выражения». Во-первых, в этом случае имеет место не второй способ решения задачи, а другая форма записи решения; во-вторых, выражение в этом случае составляется формально: одно из числовых данных во втором действии (если задача решается в два действия) заменяется выражением из первого действия, имеющим это числовое значение. Сам способ получения числового выражения при таком подходе не усваивается детьми и не может быть перенесён в новые условия при решении задач с помощью составления уравнения. Чтобы обеспечить возможность более лёгкого перехода детей к решению составных задач, необходимо выполнение следующих заданий:

а) Поиск решения простой арифметической задачи от вопроса к числовым данным с выполнением «схемы размышления» и записью решения выражением.

Например, задача: «На ёлку повесили 7 красных шаров и 3 синих. Сколько всего шаров повесили?»

После выделения данных, искомого ставятся вопросы:

- Чтобы узнать, сколько всего шаров повесили, что для этого нужно знать? (Нужно знать, сколько повесили красных шаров и сколько синих.)

- Изобразим это так:

? ?

+ +

- Каким действием?

- Можно сразу узнать, сколько всего шаров?

- Почему?

- Запишем решение выражением с пояснением.

Решение: 7+3 (шар.) - столько всего,

7+3=10 (шар.).

Ответ: 10 шаров.

б) Поиск решения простой арифметической задачи от числовых данных к вопросу с записью решения выражением. В качестве примера приведём работу с той же задачей. После выделения данных, искомого ставятся вопросы:

- Если вы знаете, сколько красных и сколько синих шаров повесили на ёлку, то, что вы можете узнать по этим данным? (Сколько всего шаров повесили?)

- Каким действием?

Решение может быть записано так же, как в предыдущем примере.

6) Формирование умения решать простые арифметические задачи, входящие в составную.

Необходимым условием для решения составной задачи является овладение учеником полноценным умением решать простые арифметические задачи, входящие в составную. Следовательно, до введения составных задач определённой структуры надо сформировать умение решать соответствующие виды простых задач.

7) формирование умения строить схематическую модель задачи.

Для ознакомления с составной арифметической задачей отводится специально два-три урока, на которых особое внимание уделяется всей системе операций, составляющих процесс решения составной арифметической задачи.

По мнению М.А. Бантовой [1], первыми лучше включать задачи, при решении которых надо выполнить два различных арифметических действия: сложение и вычитание. При этом содержание задач должно позволить иллюстрировать их. Возникает вопрос: какой математической структуры задачи ввести первыми.

М.А. Бантова считает, что начать надо с решения задач в два действия, включающих простые арифметические задачи на нахождение суммы и остатка. По её мнению, составная арифметическая задача такой математической структуры явно отличается от простой задачи, т.к. в её условии три числа, т.е. здесь обе простые задачи лежат как бы на поверхности. Это позволит детям быстрее осознать существенный признак составной задачи - её нельзя решить, выполнив одно арифметическое действие, содержание задачи помогает правильному установлению связей. В этом случае детям легче по задаче составить выражение.

По мнению М.И. Моро начать надо с задач в два действия, которые включают простые задачи на уменьшение числа на несколько единиц и на нахождение суммы. Она считает, что при решении такой составной арифметической задачи дети быстрее, чем в задачах ранее указанной структуры, увидят, что её нельзя решить одним действием, чтобы ответить на вопрос задачи.

На наш взгляд, выбор варианта существенного значения не имеет. Важно методически грамотно провести подготовительную ступень с учётом того варианта, который выбран.

Первыми вводятся составные арифметические задачи, включающих в себя простые задачи на увеличение числа на несколько единиц и на нахождение суммы..

Выберем вариант, предложенный авторами учебника математики 1 класса.

Например. На первой проволоке 7 шариков, а на второй – на 3 шарика больше, Сколько всего шариков на двух проволоках?

Рассмотрим ознакомление с составной арифметической задачей данной структуры.

Варианты работы учителя на этом этапе могут быть различными.

Один из них - предложить задачу в готовом виде и выполнить под руководством и с помощью учителя все операции деятельности по ее решению.

Учитель читает задачу: «На первой проволоке 7 шариков, а на второй – на 3 шарика больше. Сколько всего шариков на двух проволоках?».

Выясняется, что известно в задаче, что надо узнать. Затем выполняется краткая запись задачи.

I проволока – 7 ш.

? ш.

II проволока – ? ш., на 3 ш. б.

- Повторим вопрос задачи. Начнём выполнять «схему размышления», как это мы делали раньше. (Учитель выполняет на доске.)

- Посмотрите внимательно на краткую запись и подумайте, чтобы узнать, сколько всего шариков на двух проволоках, что для этого надо знать, посмотрите на краткую запись задачи? (Надо знать, сколько шариков на первой проволоке и сколько на второй.) Учитель продолжает выполнение «схемы».

- А если бы мы знали, сколько шариков на первой проволоке и сколько на второй, то каким действием смогли бы узнать, сколько шариков на двух проволоках вместе? (Действием сложения. Отметим это в «схеме».

- Подумайте, можем мы сразу узнать, сколько шариков на двух проволоках? (Нет.)

- Почему? (Не знаем, сколько шариков на второй проволоке.)

- Отмечаем это в «схеме». Ставим около слов «II проволока» вопросительный знак.

- Что теперь нам надо узнавать, посмотрите на «схему». Где появился ещё один вопросительный знак? (Надо узнавать, сколько шариков на второй проволоке?)

- Что нужно знать, чтобы узнать, сколько шариков на второй проволоке? (Надо знать, сколько шариков на первой проволоке и на сколько шариков больше на второй проволоке, чем на первой.) Учитель отмечает в «схеме».

- Это мы можем узнать сразу? (Да.)

- Каким действием? (Действием сложения.) Учитель ставит в «схеме» знак «+».

- Посмотрите на «схему», сколько раз мы выполняли действие, чтобы ответить на вопрос задачи: «Сколько шариков на двух проволоках?» (Два раза.)

- Вспомните, раньше для решения задач сколько действий выполняли? (Одно.)

- Значит, есть задачи, в которых нельзя сразу, выполнив одно действие, ответить на её вопрос.

- Действий в решении этой задачи два. Нужно установить,
в каком порядке будем их выполнять, составим план решения.

- Что узнаем сначала?

- Каким действием? (Учитель отмечает в схеме: ставит «1» над знаком «+» в «схеме»).

- Что узнаем потом?

- Каким действием? (Поступает аналогично.)

Можно по ходу составления «схемы» над прямоугольниками писать числа, которые даны в задаче (когда «схема» будет выполняться самими детьми в тетрадях, числа, данные в задаче, постепенно записывать карандашом над прямоугольниками; это позволит при записи решения работать только со «схемой».).

Схема приобретает вид:

?

+ ?

1

+

- Запишем решение задачи выражением с полным пояснением (выражение составляется по ступенькам).

7+3 (ш.) - столько на второй проволоке,

(7+3) +7 (ш.) - столько всего на двух проволоках,

(7+3) +7=17 (ш.).

Ответ: 17 шариков.

После решения задачи подводится итог: что нового узнали при решении этой задачи? (Задачу не всегда можно решить, выполнив действие один раз.)

Далее на этом и последующих уроках решаются аналогичные задачи с постепенным увеличением самостоятельности детей. Памятка может быть введена позднее. Методика её введения аналогична ознакомлению детей с памяткой по решению простой арифметической задачи (см. п.7).

Постепенно вводятся задачи другой математической структуры (см. выше). Работа над задачами строится в соответствии с общими положениями (см. п.6). Предлагаемые задачи должны быть с разной структурой текста (стандартной и нестандартной.)

В период ознакомления с составными задачами, как отмечает М.А. Бантова, очень важно добиться различения детьми простых и составных задач. С этой целью надо составные задачи перемежать с простыми арифметическими задачами, выясняя каждый раз, почему одна из них решается одним действием, а другая двумя; составные задачи преобразовывать в простые и обратно; включать задания на составление задач, аналогичных решённой; на составление задач по данному решению, по краткой записи; по «схеме размышления»
и др.

В дальнейшем решаются составные арифметические задачи, которые органически связываются с изучаемым материалом. По мере продвижения учащихся задачи усложняются: либо по линии включения новых связей, т.е. новых видов простых задач, либо по линии увеличения числа арифметических действий (1 класс - задачи в два действия, 2,3 класс - преимущественно 2-3 действия, 4 класс - в 2-4 действия).

Наряду с нетиповыми составными арифметическими задачами постепенно вводятся типовые арифметические задачи с пропорциональными величинами. Методика работы над ними будет рассмотрена в следующем параграфе.

Необходимо отметить, что в новом учебнике сделана попытка дать план решения составной арифметической задачи. Однако выделенная система операций отличается от той системы операций, которая должна выполняться решающим задачу. Таким образом, с самого начала формируется деятельность по решению задачи, являющаяся дефектной. Это не может способствовать формированию полноценного умения решать составные арифметические задачи и обеспечить перенос сформированного умения на задачи новой математической структуры.