Теорема о биссектрисе угла

№ 42.Прямые АВ и АС взаимно перпендикулярны, а прямая АD составляет с каждой из них угол 60°. Найти угол между прямой АD и плоскостью AВC.

План решения.

1.Построения: DO ^ ADC, ÐDAO –

искомый.

2. АО – биссектриса ÐСАВ.

3. cosÐDAO по теореме о трёх косинусах.

Ответ: 45°

№ 43. Длины рёбер параллелепипеда равны а, в и с. Рёбра, длины которых а и в взаимно перпендикулярны, а ребро длиной с образует с каждым из них угол 60°. Определить объём параллелепипеда.

План решения.

1. Построения: А₁О ^ АВС.

2. АО – биссектриса ÐВАС.

3. cosÐA₁AO (по теореме о трёх

косинусах), sinÐA₁AO.

4. A₁O.

5. S_DABC.

6. V_призмы.

Ответ:

№ 44. Основанием призмы ABCA₁B₁C₁ служит правильный треугольник АВС со стороной а. Вершина А₁ проектируется в центр нижнего основания, а ребро АА₁ наклонено к плоскости основания под углом в 60°. Определить боковую поверхность призмы.

План решения.

1. Построения: ВР^АА₁, РС.

2. ÐА₁АВ=ÐА₁АС.

3. РВ. 4. АО. 5. АА₁. 6.

7. .

8. ВВ₁С₁С – прямоугольник.

9. 10. S_{боковой поверхности призмы}.

Ответ: .

№ 45. Основанием наклонного параллелепипеда служит ромб ABCD со стороной, равной а, и с острым углом 60°. Ребро АА₁ также равно а и образует с рёбрами АВ и AD углы 45°. Определить объём параллелепипеда.

План решения.

1. Построения: А₁О ^ АВСD.

2. О Î АС.

3. cos ÐА₁АО ( по теореме о трёх

косинусах), sin ÐА₁АО.

4. А₁О.

5. S_ABCD.

6. V_призмы.

Ответ:

№ 46. Все грани призмы – равные ромбы со стороной а и острым углом α. Найти объём призмы.

Решение задачи аналогично решению задачи №45.

Ответ: , который можно привести к виду .

№ 47. Основанием параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ служит квадрат со стороной а, боковые ребра параллелепипеда равны в. Боковое ребро АА₁ образует с пересекающими его сторонами острые углы, равные j. Найти площади диагональных сечений АА₁С₁С и ВВ₁D₁D параллелепипеда.

План решения.

1. Построения.

1.1. А₁Р ^ АВСD.

1.2. Диагональные сечения.

2. А₁Р ^ АС. Доказать.

3. cos ÐА₁АР ( по теореме о трёх

косинусах), sin ÐА₁АО.

4. А₁Р. 5. АС. 6. Площадь АА₁С₁С.

7. ВВ₁D₁D – прямоугольник. Доказать.

8. Площадь ВВ₁ D₁D.

Ответ:

№ 48. Основанием наклонного параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ служит прямоугольник ABCD, стороны которого равны а и в. Боковое ребро АА₁ равно с и составляет с плоскостью основания угол 45°, а с прилегающими сторонами основания AB и AD равные острые углы. Найти площадь боковой поверхности параллелепипеда.

План решения.

1. cosÐA₁AD (по теореме о трёх

косинусах), sin ÐА₁АD.

2. Площадь грани AA₁D₁D.

3. Площадь грани AA₁В₁В.

4. Боковая поверхность призмы.

Ответ:

№ 49.В треугольной пирамиде все боковые рёбра и два ребра основания равны а. Угол между равными рёбрами основания равен α. Определить объём пирамиды.

План решения.

1. ÐSAC=ÐSAB, АО – биссектриса ÐА.

2. cosÐSAO (по теореме о трёх

косинусах), sin ÐSAO.

3. SO.

4. S_DABC.

5. V_SABC.

Ответ:

№ 50. Боковые рёбра треугольной пирамиды имеют одинаковую длину и равны а.Из трёх плоских углов, образованных этими рёбрами при вершине пирамиды, два содержат по 45°, а третий – 60°. Определить объём пирамиды.

План решения.

1. Расположить данную пирамиду так, чтобы её основанием была грань РАВ, а вершиной точка С (рис. 266).

2. Построения: ОС ^ РАВ.

3. О Î РК, где РК – биссектриса ÐР.

4. cos ÐСРО ( по теореме о трёх косинусах), sin ÐCPО.

5. СО. 6. Площадь DАРВ. 7. Объём пирамиды. Ответ: .

№ 51. В треугольной пирамиде SABC грань SВС перпендикулярна грани АВС, все плоские углы при вершине S равны 60°. SB=SC= 1 см. Найти объём этой пирамиды.

План решения

1. Рассмотреть пирамиду ABSC.

2. Построения: Точка О: ВО=ОС, АО.

3. AO ^ SBC, АО – высота пирамиды.

4. SO – биссектриса ÐBSC.

5. cos ÐASО (по теореме о трёх косинусах),

tg ÐASО.

6. SO. 7. АО. 8. Площадь DBSC

9. Объём пирамиды. Ответ:

3.3.3.Теорема о трёх синусах

№ 52. Прямая АВ параллельна плоскости τ. Прямая CD пересекает прямую АВ под острым углом β и образует с плоскостью τ угол γ. Найти угол α между плоскостью τ и плоскостью, в которой лежат прямые AB и CD.

План решения.

1. АВ || р, р – линия пересечения плоскостей.

2. β – угол между CD и р.

3. sin α (по теореме о трёх синусах).

Ответ:

№ 53. Из точки, принадлежащей грани острого двугранного угла, проведены к ребру перпендикуляр и наклонная. Доказать, что угол, который образует перпендикуляр с плоскостью второй грани, больше, чем угол, образованный наклонной с этой плоскостью.

План решения.

1. Построения: АО^ τ, ОС, ОВ.

2. ÐАСО – угол, образованный,

перпендикуляром к ребру АС и

плоскостью τ.

3. ÐАВО – угол, образованный

наклонной к ребру АС и

плоскостью τ.

4.В обозначениях теоремы о трёх синусах (АВ – прямая) ÐАСО = α, ÐАВО=γ, ÐАВС=β

5. Записать теорему синусов и сделать вывод.

№ 54.Сторона АВ ромба ABCD с тупым углом 120° лежит в некоторой плоскости τ, составляющей с плоскостью ромба угол 45°. Определить угол, который составляет большая диагональ ромба с этой же плоскостью.

План решения.

1.Рассмотреть двугранный угол

с ребром АВ. Диагональ АС –

прямая в одной из его граней.

В обозначениях теоремы о трёх

синусах α=45°, ÐСАВ= β,

γ – искомый угол.

2. Ð САВ.

3. sinγ. 4. γ.

Ответ:

№ 55. Через катет равнобедренного прямоугольного треугольника проведена плоскость под углом 45° ко второму катету. Найти угол между гипотенузой и плоскостью.

План решения.

1. Построения: ВО ^ τ, ОС.

1. Пусть α – двугранный угол, образованный данной плоскостью и плоскостью треугольника.

ÐВСО = α = 45°.

3. В обозначениях теоремы о трёх синусах ÐВАС = β, ÐВАО=γ

(искомый).

4. ÐВАС. 5. sinÐВАО. 6. ÐВАО

Ответ: 30°.

№ 56. Катет равнобедренного прямоугольного треугольника наклонён к плоскости τ, проходящей через гипотенузу, под углом 30°. Найти угол α между плоскостью τ и плоскостью треугольника.

План решения.

1. Построения: СО ^ τ, АО.

2. Рассмотреть двугранный угол с ребром АВ. АС – прямая в одной из его граней.

В обозначениях теоремы о трёх синусах α – искомый угол, ÐСАО =γ=30°,ÐСАВ = β.

3. ÐСАВ.

4. sin α.

5. α.

Ответ: 45°.

№ 57. В прямоугольном треугольнике через его гипотенузу проведена плоскость, составляющая с плоскостью треугольника угол 60°, а с одним из катетов угол 45°. Найти угол между этой плоскостью и другим катетом.

План решения.

1. Построения:

СО ^ τ, ОР ^ АВ, СР.

2. ÐСРО = 60°, ÐСВО = 45°.

3. Пусть СО = h. Выразить

СР через h (DСОР) .

4. Выразить СВ через h

(DСОВ).

5. DСРВ – прямоугольный.

6. Выразить sinÐСВР (DСРВ). 7. sinÐCAB=cosÐСВР.

8. Рассмотреть двугранный угол, образованный плоскостью треугольника и плоскостью τ. В обозначениях теоремы синусов АС – прямая, ÐСРО =α = 60°, ÐCAB=β (пункт 7), ÐCAО=γ. 9. sin γ. 10. γ.

Ответ: 30°.

№ 58. В прямоугольном треугольнике с острым углом β через наименьшую медиану проведена плоскость, составляющая с плоскостью треугольника угол α. Найти углы между этой плоскостью и катетами треугольника.

План решения.

1. Наименьшая медиана СМ, где М – середина гипотенузы.

2. Рассмотреть двугранный угол с ребром СМ. Катет ВС – прямая в одной из его граней.

В обозначениях теоремы о трёх синусах α – данный угол, ÐВСМ= β,

γ – искомый угол.

3. ÐВСМ (рис. 275).

4. sin γ. 5. γ.

6. Рассмотреть двугранный угол с ребром СМ. Катет АС – прямая в одной из его граней. В обозначениях теоремы о трёх синусах α – данный угол, ÐАСМ= β, γ – искомый угол.

7. ÐАСМ (рис. 275). 8. sin γ. 9. γ.

Ответ:

№ 59. В прямоугольном треугольнике через биссектрису прямого угла проведена плоскость, составляющая с плоскостью треугольника угол α. Найти углы между этой плоскостью и катетами треугольника.

Решение задачи аналогично задачи решению № 58. Ответ:

№ 60. Угол между плоскостью квадрата ABCD и некоторой плоскостью τ равен α, а угол между стороной АВ и той же плоскостью равен γ. Найти угол между стороной AD и плоскостью τ.

План решения.

Без ограничения общности можно считать, что вершина квадрата А находится на ребре MN двугранного угла, образованного плоскостью квадрата и данной плоскости τ.

1. Построения:

1.1. ВО ^ τ, АО. 1.2. DQ ^ τ, AQ.

2. Рассмотреть двугранный угол с ребром MN. АВ – прямая в одной из его граней. В обозначениях теоремы о трёх синусах α – угол между данными плоскостями, ÐВАМ=β – искомый угол, ÐВАО= γ,

3. sinÐBAM. 4. Выразить ÐDAN через ÐBAM. 5. sinÐDAN.

6. Рассмотреть двугранный угол с ребром MN. АD – прямая в одной из его граней. В обозначениях теоремы о трёх синусах α – угол между данными плоскостями, ÐDАN=β, ÐDAQ= γ - искомый угол.

7. sinÐDAQ. 8. ÐDAQ.

Ответ:

№ 61. Найти объём правильной треугольной пирамиды, сторона основания которой равна а и образует с боковой гранью угол γ.

План решения.

1. Построения: SO ^ABC, ВК, SK.

2. Рассмотреть двугранный угол SACB,

ÐSKO – его линейный угол.

3. ВС – прямая в одной из граней двугранного

угла SACB. В обозначениях теоремы о трёх

синусах ÐSKO = α – линейный угол,

ÐВСА=β, γ – угол между ВС и гранью ASC

(данный по условию).

4. ÐВСА. 5. sinα. 6. tgα. 7. ОК. 8. SO. 9. S_DABC. 10. V_SABC.

Ответ:

Замечание. Можно доказать, что и привести ответ к виду

3.3.4. Теорема косинусов для трёхгранного угла

№ 62.В трёхгранном угле два плоских угла по 45°,а двугранный угол между ними равен 60°. Найти третий плоский угол.

Ответ:

№ 63. Определить угол между двумя смежными диагональными сечениями в кубе. (Диагональные сечения в кубе называются смежными, если они проходят через смежные стороны основания).

План решения.

1. Двугранный угол АВ₁DС - искомый, пусть его величина j.

2. Рассмотреть трёхгранный угол DAB₁C.

В обозначениях теоремы о трёх косинусах

Ð B₁DA=α, ÐB₁DC= β, ÐADC=γ,

3. α = β, γ=90°.

4. cos j. Ответ: 120°.

№ 64. Линейный угол двугранного угла, составленного двумя смежными боковыми гранями правильной четырёхугольной пирамиды, в два раза больше плоского угла при вершине пирамиды. Найти плоский угол при вершине пирамиды.

План решения.

1. Построения: DK ^PC, BK.

2. ÐBKD – линейный.

3. Рассмотреть трёхгранный угол CDPB.

В обозначениях теоремы о трёх косинусах

Ð РСD = α, ÐРCB = β, ÐDCВ = γ, ÐBKD = j.

4. α = β, γ=90°.

5. Выразить α и β через j.

6. Составить уравнение по теореме о трёх

косинусах.

7. Решить полученное уравнение относительно cos

Ответ:

№ 65. В треугольной пирамиде две боковые грани – равнобедренные прямоугольные треугольники, гипотенузы которых равны с и угол между ними равен γ. Одно из боковых рёбер пирамиды перпендикулярно к плоскости основания. Найти объём пирамиды.

План решения.

1. Рассмотреть трёхгранный угол PАBC.

В обозначениях теоремы о трёх косинусах

Ð АРВ=α, ÐCРB=β, ÐАРС=γ, ÐАВС = j.

2. α = β = 45°.

3. cosj (по теореме о трёх косинусах).

4. sinj.

5. АВ, АВ=ВС=ВР.

6. S _DАВС. 7. V_SABC.

Ответ:

№ 66. Отрезок прямой, соединяющий центр основания правильной треугольной пирамиды с серединой бокового ребра, равен стороне основания. Найти косинус угла между смежными боковыми гранями.

План решения.

1. АО.

2. AS (DASO).

3. cos ÐSAO (DASO).

4.cosÐSAC (по теореме о трёх косинусах).

5. Рассмотреть трёхгранный угол ASBC.

В обозначениях теоремы о трёх косинусах

двугранный угол с ребром AS равен j,

ÐSAC=α, ÐSAB=β, α = β, ÐВАС =γ.

6. ÐВАС. 7. sinÐSAC. 8. cosj (по теореме косинусов).

Ответ:

№ 67.Основанием пирамиды служит правильный треугольник, одна из боковых граней пирамиды перпендикулярна к плоскости основания. Найти косинус угла между двумя другими боковыми гранями, если обе они составляют с плоскостью основания один и тот же угол d.

План решения.

1. Построения:

1.1. SO ^ ABC.

1.2. OM ^ BC, SM

1.3. OK ^ AC, SK.

2. ÐSKO =ÐSMO = d.

3. Пусть АВ = АС = ВС = а.

АО = ОВ=0,5а.

4. Выразить ОК через а (DАКО).

5. Выразить SК через а (DSКО).

6. Выразить АК через а (DАКО), выразить КС через а (DАКО).

7. tgÐSCK (DSCК), cosÐSCK, sinÐSCK.

8. Рассмотреть трёхгранный угол СASB с вершиной С. В обозначениях теоремы косинусов искомый двугранный угол с ребром SC равен j, ÐSCА=α, Ð SCB=β, α=β, ÐACB=γ.

9. ÐACB=γ. 10. cosj (по теореме косинусов).

Ответ:

№ 68. Стороны основания параллелепипеда равны а и в, а угол между ними равен α. Найти объём параллелепипеда, если боковое ребро, проходящее через вершину данного угла, составляет с его сторонами углы β и γ, а длина его равна с.

План решения.

1. Построения: А₁О ^ ABCD,

OK ^ AD, A₁K.

2. ÐА₁КО – линейный угол

двугранного угла с ребром AD.

3. S_ABCD.

4. А₁К.

5. Рассмотреть трёхгранный угол ASBC. В обозначениях теоремы о трёх косинусах двугранный угол с ребром AD равен ÐА₁КО = j, ÐBAD= α, ÐА₁AD= β, ÐA₁АB =γ.

6. cos j ( по теореме косинусов). Значение cosj обозначить р.

7. sin j (выразить через р) . 8. А₁О. 9. V_{призмы.}

Ответ:

№ 68. Основанием призмы служит правильный треугольник со стороной, равной а. Боковое ребро равно в и составляет с пересекающими его сторонами основания острые углы, соответственно равные α и β. Найти объём призмы.

Решение задачи аналогично решению задачи № 6.

Ответ:

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Александров А.Д. Геометрия: Учебное пособие для 10-11 кл. общеобразовательных учреждений/ А.Д. Александров, А.Л. Вернер, В.И. Рыжик.- 2-е изд.-М.: Просвещение, 2001.-271с.

2. Александров А.Д. Геометрия для 10-11 кл.: Учебное пособие для учащихся школ и классов с углублённым изучением математики /

А.Д. Александров, А.Л. Вернер, В.И. Рыжик. - 3-е изд.-М.: Просвещение, 1992.-464 с.

3. Барыбин К.С. Сборник задач по математике: пособие для учителей 8-10классов/ К.С. Барыбин, А.К. Исаков. – М.: Гос. учеб.- педаг. изд-во Мин. Просвещения РСФСР, 1955. – 207 с.-

4. Габович И.Г. Алгоритмический подход к решению геометрических задач : книга для учителя / И.Г. Габович. – Киев: Радянська школа, 1989. – 160 с.

5. Геометрия : учебник для 10–11 кл. общеобразовательных учреждений / Л.С. Атанасян [и др.]. – М.: Просвещение, 2000. – 206 с.

6. Гусев В.А. Практикум по решению математических задач: Геометрия : учебное пособие для студентов физ.-мат. спец. пед. ин-тов / В.А. Гусев, В.Н. Литвиненко, А.Г. Мордкович. – М.: Просвещение, 1985. – 223 с.

7. Зив Б.Г. Задачи по геометрии: Пособие для учащихся 7 – 11 класса общеобразоват. учреждений/ Б.Г. Зив, В.М. Мейлер, А.Г. Баханский.- 3-е изд.-М.: Просвещение, 2000.-271с.

8. Киселёв А.П. Геометрия : Стереометрия: 10-11 кл. : учебник и задачник / А.П. Киселев, Н.А. Рыбкин. – М.: Дрофа, 1995. – 352 с.

9. Математика. Подготовка к ЕГЭ-2011: учебно-методическое пособие/ Под редакцией Ф.Ф.Лысенко, С.Ю. Кулабухова. - Ростов-на- Дону: Легион -М, 2010 – 416с.

10. Погорелов А.В. Геометрия : учебник для 10 – 11 кл. общеобразоват. учреждений: базовый и профильный уровни / А.В. Погорелов. – 10-е изд. – М.: Просвещение, 2010. – 175 с.

11. Сборник конкурсных задач по математике для поступающих во втузы: учебное пособие/Под редакцией М.И. Сканави. - 3-е изд.-М.: Высшая школа, 1977.

12. Смирнова И.М. Геометрия: Учебное пособие для 10-11 кл. естественно- научного профиля обучения / И.М. Смирнова, В.А. Смирнов. – М.: Просвещение, 2001.- 239 с.

13. Смирнова И.М. Устные упражнения по геометрии для 7 – 11 классов:Кн. для учителя / И.М. Смирнова, В.А. Смирнов. – М.: Просвещение, 2003.- 174 с.

14. Худобин А.И. Сборник задач по тригонометрии: пособие для учителей/ А.И. Худобин, Н.И. Худобин. -М.: Гос. учеб.- педаг. изд-во Мин. Просвещения РСФСР, 1954. – 186 с.

СОДЕРЖАНИЕ

Предисловие ...........................................................................................................3