Тема. Вибірковий метод. Порівняння двох середніх арифметичних за допомогою критерію Стьюдента

Мета заняття: навчитися визначати критерій вірогідності, порівнювати його з табличним значенням (t гр.), робити висновок і визначати причини вірогідних і не вірогідних різниць між двома вибірковими середніми арифметичними.

Порядок виконання практичного завдання:

Розглянемо дану тему і послідовність операцій на прикладі:

Приклад: У двох групах плавців Xi і Уi визначили різницю ЧСС, уд/хв., після максимально швидкого проходження дистанції та у стані спокою.Встановити, чи вірогідна різниця за показником ЧСС у плавців двох груп.

Хі	92 94 95 97 99 100	Nx = 19
ni	3 4 7 2 1 2
Уi	98 102 103 104 105	Ny = 17
ni	3 5 6 1 2

Порядок виконання:

1. Визначаємо середнє арифметичне значення 2-х вибірок

2. Визначаємо дисперсії 2-х вибірок

Для подальшої роботи креслимо таблиці

а) Для показників першої вибірки

Хі	ni
		- 4
		- 2
		- 1
∑

б) Для показників другої вибірки

Уi	ni
∑

3. Визначаємо середнє квадратичне відхилення 2-х вибірок

4. Визначаємо t за формулою:

, тому що : Nх ¹ Nу і σ²х¹ σ²у

5. Визначаємо число ступенів свободи (К)

К = Nx + Ny - 2, тому що Nх ¹ Nу і σ²х¹ σ²у

К = 19 + 17 - 2 = 34

При К = 34, tгр = 2,03 (дивись додаток А).

6. Порівнюємо t розрахункове і t граничне.

t > tгр (7,69 > 2,03) ‑ різниця між двома досліджуваними групами плавців вірогідна (не випадкова).

Висновок:Тому, що t > tгр (7,69 > 2,03) ‑ розбіжність між двома групами плавців за показником різниці ЧСС, уд/хв., після максимально швидкого проходження дистанції та у стані спокою, статистично вірогідна (не випадкова) і пояснюється кращим рівнем підготовленості спортсменів першої групи, тому що < (96 < 102).

Виконаємо практичне завдання за допомогою редактора електронних таблиць Excel:

Приклад: У двох групах плавців Xi і Уi визначили різницю ЧСС, уд/хв., після максимально швидкого проходження дистанції та у стані спокою.Встановити, чи вірогідна різниця за показником ЧСС у плавців двох груп.

Хі	92 94 95 97 99 100	Nx = 19
ni	3 4 7 2 1 2
Уi	98 102 103 104 105	Ny = 17
ni	3 5 6 1 2

Порядок виконання:

Крок 1. Вводимо в стовпчик Bелектронної таблицірезультати різниці ЧСС, уд/хв після максимально швидкого подолання дистанції та в стані спокою першої групи плавців (значення X); у стовпчик С - результати різниці ЧСС другої групи плавців (значення Y). При введенні даних обов’язково враховуємо кількість повторювань кожної варіанти.

Крок 2. У стовпчику А запишемо порядкові номера варіант та назви показників, які необхідно розрахувати. У комірці А21запишемо середнє арифметичне; у комірці А22 – середнє квадратичне відхилення (або стандартне відхилення); у комірці А23– помилку середнього арифметичного (або помилку репрезентативності); у комірці А24– розрахункове значення критерію Стьюдента (t розр.); у комірці А25– критичне (табличне) значення критерію Стьюдента (t крит.).

На рис. 37 представлена отримана таблиця.

Рис. 37. Таблиця даних різниці ЧСС двох груп плавців

Крок 3.Обраховуємо середнє арифметичне значення. Для цього виділяємо коміркуВ21 та скористаємося піктограмою вбудованих функцій . При залученні цієї піктограми з’являється вікно «Мастера функций», у якому вибираємо категорію «Статистические» функції та функцію СРЗНАЧ.

Натискаємо клавішу ОК. При цьому з’являється діалогове вікно для вводу аргументів функції. Інтервал даних для обчислення середнього арифметичного з’являється автоматично, тому що курсор стоїть внизу стовпчика з числовими значеннями. Однак інтервал у вікно діапазону даних можна ввести як із клавіатури, так і натиснувши на піктограму праворуч цього вікна та вибравши мишею діапазон.

Натискаємо клавішу ОК. У підсумку проведених дій у комірці В21відобразиться середнє значення різниці ЧСС, уд/хв після максимально швидкого подолання дистанції та в стані спокою першої групи плавців (значення X).

Крок 4. Для розрахунку середнього арифметичне значення різниці ЧСС, уд/хв другої групи плавців (значення Y) проводимо копіювання комірки В21у комірку С21.Обов’язково в «Строке формул» здійснюємо виправлення діапазону даних стовпчика С. Масив даних другої вибірки відповідає С2:С18.

У підсумку проведених дій у комірці С21відобразиться середнє значення різниці ЧСС, уд/хв після максимально швидкого подолання дистанції та в стані спокою другої групи плавців (значення Y).

Крок 5.Обраховуємо стандартне відхилення ( або середнє квадратичне відхилення) першої вибірки у комірці В22. Для цього у комірку В22за допомогою«Мастера функций»,вводимо функцію СТАНДОТКЛОНта зазначаємо масив В2:В20.

Крок 6.Обраховуємо стандартне відхилення ( або середнє квадратичне відхилення) другої вибірки. Для цього копіюємо комірку В22у комірку С22, та обов’язково коректуємо масив. Для даного прикладу він повинен бути С2:С18.

Крок 7.Розраховуємо помилку середнього арифметичного (помилку репрезентативності) першої вибірки. Для цього значення комірки В22необхідно розділити на корінь квадратний з кількості значень вибірки. У цій формулі будуть використовуватися дві вбудовані функції СЧЕТ та КОРЕНЬ. Маркер знаходиться у комірці В23, в яку вводимо формулу =В22/КОРЕНЬ(СЧЕТ(В2:В20)-1).

Крок 8.Розраховуємо помилку середнього арифметичного (помилку репрезентативності) другої вибірки. Для цього комірку В23необхідно скопіювати у комірку С23 та виправити масив даних функції СЧЕТ у строчці формул. Формула повинна мати такий вигляд =С22/КОРЕНЬ(СЧЕТ(С2:С18)-1). Після зазначених дій у комірці С23відобразиться значення помилки середнього арифметичного другої вибірки

У підсумку кроків3 – 8 отримуємо таблицю з обрахованими середнім арифметичним значенням, стандартним відхиленням (або середнім квадратичним відхиленням) та помилкою репрезентативності (помилкою середнього арифметичного) для двох груп плавців, у яких фіксувалася різниця ЧСС, уд/хв після максимально швидкого подолання дистанції та в стані спокою (рис 38).

Рис. 38 Таблиця результатів виконання кроків 3 - 8

Крок 9. Обчислюємо t-критерій Стьюдента (t розр.) відповідно формулі наданій у лабораторній роботі. Для цього виділяємо комірку В24, як показано на рис.38 та у строчці формул записуємо формулу:

=(В21-С21)/КОРЕНЬ(В23^2+С23^2). Натискаємо Enter і у комірці В24 з’явиться значення розрахункового критерію Стьюдента для двох вибірок. Слід пам’ятати, що критерій Стьюдента має лише позитивні значення, тому у робочих зошитах знак «-» ніколи не записується. Так, у даному випадку t розрахункове дорівнює 8,98709, абоt=8,99.

Крок 10. Обраховуємо критичне (табличне) значення критерію Стьюдента (t крит.) за допомогою засобів Excel. Для цього необхідно застосувати функцію СТЬЮДРАСПОБР. Ставимо маркер у комірку В25, викликаємо «Мастер функций» за допомогою піктограми та вибираємо функцію СТЬЮДРАСПОБР (рис.39).

У вікні вводу даних аргументів функції вводимо у першій строчці імовірність 0,05, а у другій строчці – число ступенів волі 34, та натискаємо ОК. В результаті цих дій у комірці В25 з’являється значення критичного (табличного) критерію Стьюдента.

Результати обчислення лабораторної роботи №3 представлені на рис. 41.

Рис. 39. Виклик функції для розрахунку табличного значення критерію Стьюдента

Рис. 40. Діалогове вікно вводу даних для функції СТЬЮДРАСПОБР

Рис. 41. Підсумкова таблиця розрахунків для проведення порівняння двох вибіркових середніх арифметичних

Крок 11.Порівнюємо t розрахункове і t граничне (критичне).

t > tгр (8,73 > 2,03) ‑ різниця між двома досліджуваними групами плавців вірогідна (не випадкова).

Висновок:Тому, що t > tгр (8,73 > 2,03) ‑ розбіжність між двома групами плавців за показником різниці ЧСС, уд/хв., після максимально швидкого проходження дистанції та у стані спокою, вірогідна (не випадкова) і пояснюється кращим рівнем підготовленості спортсменів першої групи, тому що < (96 < 102).

Завдання

1. Ознайомитися і оволодіти теоретичними відомостями з теми «Вибірковий метод.Порівняння двох середніх арифметичних за допомогою критерію Стьюдента».

2.Відповідно до прикладу, виконати самостійно завдання зі свого виду спорту.

Питання для самоконтролю

1. До чого зводиться основний зміст вибіркового методу?

2. Яка величина є критерієм визначення вірогідності різниць?

3. Що є основним завданням вибіркового методу?

4. За якою формулою визначається критерій Стьюдента?

5. За якою формулою визначається помилка середнього арифметичного значення?

6. Що можна оцінити за допомогою вибіркового методу математичної статистики?

7. Що дозволяє порівнювати вибірковий метод математичної статистики?

8. Яке припущення перевіряється при порівнянні двох вибіркових середніх арифметичних значень?

9. Назвіть причини вірогідних різниць між двома вибірковими середніми арифметичними.

10. Назвіть причини не вірогідних різниць між двома вибірковими середніми арифметичними.

11. При якому співвідношенні розрахованого за формулою t і постійного tгр критеріїв Стьюдента різниця між порівнюваними вибірковими середніми арифметичними вірогідна (не випадкова), або не вірогідна (випадкова)?

Література

Основна: 1 – 10. Додаткова: 1 – 11.

ПРАКТИЧНЕ ЗАНЯТТЯ № 4