Перспектива прямой и плоскости 3 страница

Рис. 73

Прямые, параллельные картине и наклоненные под произвольным уг­лом к предметной плоскости, называются фронтальными.

Впредметном пространстве проецирующего аппарата задан фрон­тальный отрезок А'В'(рис. 73). Проекция фронтальной прямой на пред­метную плоскость — а'Ь' — расположена параллельно основанию карти­ны. Следовательно, характерным признаком на картине (рис. 74) фрон­тальной прямой является параллельность перспективы проекции прямой основанию картины.

Из построений видно, что перспективное изображение отрезка АВ па­раллельно самому отрезку А В . Следовательно, при построении перспек­тивы сохраняется натуральная величина угла наклона фронтальной пря­мой к предметной плоскости.

Прямая может находиться под произвольным углом к предметной и картинной плоскостям и, в то же время, быть параллельна плоскости глав­ного луча зрения. Тогда ее проекция на предметную плоскость будет глу­бинной прямой с предельной точкой Р.

На проецирующем аппарате (рис. 75) видно, что предельная точкаВ_х вос­ходящей прямой находится на линии главного вертикала и над горизонтом (Р_в = ВД а нисходящей — на той же линии под горизонтом (P_H=AJ) Предель­ной точкой проекций этих прямых будет главная точка картины — Р. Такое положение восходящих и нисходящих прямых особое.

Прямая, расположенная под произвольным углом к предметной и кар­тинной плоскостям и параллельная плоскости главного луча зрения, назы­вается прямой особого положения. Она по расположению относительно

предметной и картинной плоскостей является прямой общего положения, так как находится к ним под произвольным углом. По признакам изобра­жения на картине она является прямой частного положения, так как пре­дельная точка этой прямой, а также её проекция находится на линии глав­ного вертикала (рис. 76).

В перспективных изображениях часто используют прямые частного и особого Ирг положения, которые на картине определяются по характерным признакам.

V

4. Перспектива параллельных прямых

Относительно друг друга прямые могут быть параллельными, пересека­ющимися, скрещивающимися. Из практики перспективы известно, что па­раллельные прямые кажутся нам сходящимися в одной точке. Например, если встать на железной дороге, то увидим, что по мере удаления от нас рас­стояние между рельсами будет сокращаться, и они будут сходиться в одной точке (рис. 77). То же самое можно наблюдать на станции «Кропоткинская» Московского метрополитена (рис. 78). Линии пола и колонн сходятся в одной точке, расположенной на линии горизонта — это глубинные прямые.

Построим на проецирующем аппарате перспективу пучка параллель­ных прямых А^А^, BqB'^ и прямой Е'₀Ё_Х , лежащих в предметной плоско­сти и произвольно расположенных к картине (рис. 79). Построим перспек­тиву каждой прямой. Для этого воспользуемся имеющимися точками

Рис. 77 Рис. 78

(А^ = A_k ) (Bq =B_k) (E₀ = E_k), т. е. картинными следами этих прямых. Опре­делим предельную точку каждой прямой. Для всех заданных прямых она будет общая — А*,, так как определяется одним и тем же лучом зрения SA^, проведенным параллельно им до пересечения с линией горизонта.

Произвольно направленные горизонтальные параллельные прямые на кар­тине изображаются пучком прямых, сходящихся в одной предельной точке. Общая предельная точка произвольно расположенных горизонтальных па­раллельных прямых находится на линии горизонта и называется точкой схо­да (рис. 80). Заметим, что данная точка схода может лежать в любом месте на линии горизонта в зависимости от направления прямых (рис. 81).

Рассмотрим построение перспективы восходящих параллельных пря­мых общего положения A_k A^, и В_кВ'„ (рис. 82). Если восходящие прямые параллельны, то их проекции на предметную плоскость а₀ а'^ и Ь₀ Ь£, также параллельны. Проекции параллельных прямых лежат в предметной плос­кости, поэтому имеют общую предельную точку а^ — точку схода на ли­нии горизонта. Точка схода А^ восходящих параллельных прямых лежит на перпендикуляре, проведенном к линии горизонта через точку схода их проекции — а^ (рис. 83).

Восходящие параллельные прямые общего положения имеют точку схода, расположенную над линией горизонта в произвольном месте и лежащую на одном перпендикуляре с точкой схода проекций этих прямых (рис. 84).

Аналогично строят изображения нисходящих параллельных прямых. Разница лишь в том, что их точка схода Б_те располагается в произвольном месте под линией горизонта (рис. 85).

Рис. 82

h _P / /	'А»
_Ро,

Рис. 83

Рис. 84

Рис. 86

к Признаком параллельности прямых общего положения, изображенных на картине, является расположение на одном перпендикуляре точек схода прямых и их проекций. При этом точка схода проекций параллельных пря­мых должна лежать на линии горизонта (рис. 86).

Прямые, параллельные картине, изображаются на ней параллельными.

Если параллельные прямые фронтальные, то в перспективе они оста­ются параллельными, а их проекции параллельны основанию картины, поскольку и прямые, и их проекции не имеют предельных точек, напри­мер прямые АВ и СЕ на рисунке художника А. Шибанова (рис. 87).

Если параллельные прямые вертикальные, то в перспективе они оста­ются вертикальными и параллельными между собой, так как не имеют пре­дельной точки — прямые KN и LM.

Если параллельные прямые горизонтальные (параллельные картинной и предметной плоскостям), то в перспективе они и их проекции остаются парал­лельны друг другу и основанию картины, например линии крыши TQ и OR.

Знание закономерностей изображения параллельных прямых помогает ■г передать трехмерное пространство на плоскости листа.

Рис. 87

5. Перспектива плоскости

Форма предметов узнается благодаря правильному изображению перс­пективы плоскостей. Плоскость может быть задана различными способа­ми — тремя точками, не лежащими на одной прямой, прямой и точкой не лежащей на этой прямой, двумя пересекающимися прямыми, геометричес­кой фигурой. На практике для большей наглядности и удобства плоскость задается следами.

В перспективе следом плоскости называют линию пересечения ее с предметной или картинной плоскостью. Линию пересечения с предметной плоскостью называют предметным следом плоскости, а линию пересе­чения с картиной — картинным следом плоскости.

Плоскость, расположенную в предметном пространстве не параллель­но картине и предметной плоскости, называют плоскостью общего поло­жения. Если плоскость расположена в предметном пространстве перпен­дикулярно к картине или предметной плоскости, или параллельно карти­не или предметной плоскости, то такая плоскость называется плоскостью частного положения.

На проецирующем аппарате задана плоскость Q общего положения дву­мя следами: Q_k — картинным следом и Q_n — предметным следом (рис. 88).

Определим для плоскости Q предельную прямую. Предельная прямая плоскости есть перспектива бесконечно удаленной плоскости. Поскольку плоскость общего положения имеет два следа, построим предельную пря­мую для каждого следа плоскости. На картине изображение картинного следа совпадает с самим следом.

Для изображения предметного следа построим две точки. Первая — пересечение следов — Q₀, принадлежит одновременно предметному и кар­тинному следу. Вторая — предельная точка Q_TO , которую получим в точке пересечении линии горизонта с лучом S QL , проведенном параллельно пред­метному следу Q_n.

Перспектива предметного следа Q_n ограничена точками Q₀ и Q^ , тогда как картинный след может быть продолжен вверх и вниз за картину. Перс­пектива бесконечно удаленной плоскости на картине представлена предель­ной прямой этой плоскости.

Если на проецирующем аппарате через точку зрения S провести пучок лучей в бесконечно удаленные точки плоскости Q, направив каждый луч па­раллельно плоскости, то они образуют лучевую плоскость, параллельную плоскости Q. Линия пересечения лучевой плоскости с картинной является предельной прямой плоскости Q. Следовательно, предельная прямая плоско­сти Q параллельна картинному следу Q_k плоскости Q, так как прямые полу­чены в результате пересечения двух параллельных плоскостей (лучевой и плоскости Q) с плоскостью картины. Предельная прямая проходит через пре­дельную точку предметного следа плоскости Q — QL , так как эта точка есть перспектива одной из предельных точек заданной плоскости.

►

Для построения перспективы предельной линии плоскости достаточно про­вести через предельную точку предметного следа — точку QU — прямую, параллельную картинному следу С2_к. Любая прямая, принадлежащая плос­кости Q, имеет свою предельную точку на предельной прямой этой плос­кости (рис. 89).

В случае, когда плоскость Q будет перпендикулярна предметной плос­кости (рис. 90), предметный след плоскости на картине изобразится пря­мой Q₀ Q_M , а предельная прямая будет параллельна картинному следу Q_k и перпендикулярна основанию картины (рис. 91).

Изображение плоскости геометрической фигурой — наиболее распрос­траненный случай. В перспективе особенно важно уметь изображать плос­кость, заданную прямоугольным четырехугольником.

Задана плоскость Т, аналогичная плоскости Q из предыдущего приме­ра (рис. 92). Края ее ограничены и плоскость имеет прямоугольное очерта­ние. В этом случае картинный след остается перпендикулярным основанию картины, предметный след стремится к предельной точке Т_х. Проведем из точки зрения S луч в дальний угол плоскости. На предельной прямой полу­чим величину дальней стороны. На картине получился четырехугольник, у которого две стороны перпендикулярны основанию картины, а две стре­мятся в предельную точку Т_х (рис. 93).

На картине изображены три плоскости частного положения, заданные прямоугольными четырехугольниками (рис. 94). Плоскость Т перпенди-

Рис. 88

Рис. 89

Рис. 90

�99999999999

	ИЛ*.' -■.
Q*	ST7.-';-;.;
р	!fe	(L
	ш
„	/Qo

Рис. 91

Рис. 94

кулярна предметной плоскости, о чем свидетельствует перпендикулярность картинного следа основанию картины. Предельная точка Т_т предметного следа Т_п находится на линии горизонта. Картинный след плоскости R так­же перпендикулярен основанию картины, предельной точкой плоскости является главная точка картины Р = Д_те.

Плоскость Q — горизонтальная плоскость, ее картинный след Q_k па­раллелен основанию картины, а предельная точка совпадает с главной точ­кой картины Р = Q^.

Рис. 95

►

В перспективе плоскость может быть частного и общего положения, а ее следы дают полное представление о ее положении относительно картин­ной и предметной плоскостей.

ИД Вопросы и упражнения для самоконтроля

1. Как построить перспективу отрезка?

2. Какое положение отрезка называется частным, общим, особым?

3. Что называется предельной точкой прямой? Какие прямые не имеют точек схода?

4. Определите, как расположены прямые, заданные на рис. 95? Как они назы­ваются?

5. Что называется следом прямой? Какие следы имеет прямая на картине? Как построить на картине следы прямой?

6. Сколько и какие следы имеют прямые: восходящие и нисходящие общего и особого положения, горизонтальные, фронтальные, вертикальные?

7. Что называется точкой схода прямых?

8. Где находится точка схода глубинных прямых?

9. Где находится точка схода восходящих и нисходящих прямых общего по­ложения?

10. Как расположены в пространстве прямые, сходящиеся в дистанционную точ­ку?

11. При каком положении параллельные прямые не имеют точек схода и оста­ются параллельными?

12. Что называется следом плоскости?

13. Сколько и какие следы имеет плоскость общего положения?

14. Какое положение плоскости на картине называют частным? Какие призна­ки на картине указывают на плоскость частного положения? Назовите плос­кости частного положения.

Глава III

ПЕРСПЕКТИВНЫЕ МАСШТАБЫ

1. Общие понятия

Из наблюдений природы известно, что форма и величина окружающих нас предметов зрительно изменяются в зависимости от положения в про­странстве и расстояния до зрителя. Эти изменения происходят по законам, определяющим метрические свойства предметов. Задачи с метрическими условиями, взаимное расположение и величина пространственных фигур, называются метрическими. Решая метрическую задачу, можно постро­ить в перспективе изображение предмета по заданным размерам (прямая задача) и, наоборот, определить натуральную величину предмета по изоб­ражению на картине (обратная задача).

Применение масштабов — один из основных путей решения метричес­ких задач.

Масштаб — отношение линейных размеров объекта, изображенного на чертеже, техническом рисунке или наброске, к действительным размерам в натуре. В зависимости от размеров проектируемого объекта его изобра­жение может составлять 1/2; 1/4; 1/10; 1/20; 1/25; 1/50; 1/100 (и т.д.) ча­сти от действительных размеров объекта. Подобные дроби и представляют собой так называемые численные масштабы изображений.

Графически изображенный численный масштаб принято называть ли­нейным. Линейный масштаб нагляден, прост по построению, удобен для непосредственных измерений изображения и позволяет установить соот­ношение между натуральными и перспективными размерами изображае­мых предметов.

Спроецируем прямоугольник на несколько плоскостей (рис. 96). Для наглядности и простоты он расположен параллельно этим плоскостям. На­туральные размеры прямоугольника обозначены аиЬ. Сравним получен-

>:-.-^|--^,:1

Ш.й

К₃ К₂ К₁

Рис. 96

ные на трех плоскостях изображения по величине. Заметим, что размеры прямоугольника уменьшаются по мере удаления картинной плоскости от изображаемого объекта. На картине К_х оно значительно меньше, чем на картинах К₂ и К₃.

Изображение на картине К₃ ближе всего по своим размерам к натураль­ным. Если картинную плоскость максимально приблизить к изображаемо­му объекту, то изображение совпадет по размерам с контуром самого объек­та. В этом случае натюрморт написан в натуральную величину.

Изображение, полученное на картинной плоскости К₂, в два раза мень­ше натуральной величины, линейный масштаб равен 1:2. Отношение еди­ницы измерения на картине к единице измерения в натуре называется масштабом картины. При обучении рисованию с натуры не рекоменду­ют изображать предметы больше натуральной величины, хотя в изобрази­тельном искусстве таких примеров немало. В монументальной живописи изображение фигуры может быть в несколько раз больше реального роста человека.

Рис. 97

При проецировании двух предметов на совершенно одинаковые по раз­мерам картинные плоскости, по отношению к зрителю расположенные на разном расстоянии (рис. 97), видно, что чем ближе картина к зрителю и дальше от предмета, тем меньше изображение на ней, охват изображаемо­го пространства увеличивается. На картине К₁ Т-образный столб не попа­дает на плоскость картины и его границы показаны штриховыми линия­ми. На картине К₂ он упирается в край рамы, а на К₃ — виден полностью. Более того, на картине К₃ много свободного места для предметов в простран­стве за столбом и вокруг него. Значит, при одном и том же размере карти­ны, если меняется охват пространства, неизменно меняется и масштаб изоб­ражения.

Масштаб картины выбирает сам художник в зависимости от компози­ционного замысла. Рассмотрим эскизы В.И. Сурикова к картине «Бояры­ня Морозова», увидим, что при первоначальном замысле художника изоб­ражение поместилось на формате 6,5 х 3,5 см. Однако, как только он начал заполнять холст действующими лицами, разворачивать в пространстве ком­позиционные построения, эскиз начал увеличиваться в размерах и, в ко­нечном счете, на картине многие фигуры первого плана выполнены близ­кими к натуральной величине.

Масштаб картины можно определить по выполненному художником изображению. Для этого на картине выбирают за исходное измерение какой-либо предмет с известными размерами. Например, на схеме с кар­тины А.П. Толстого имеется стол высотой 0,75 м, а точка зрения нахо­дится на высоте 1,5 м (рис. 98). Высоту линии горизонта определим, уд­воив размер высоты стола. Определим высоту 1 метра (единицу измере­ния на картине), составляющего 2/3 размера от основания картины до линии горизонта.

Рис. 98

Рассмотрим способы построения на картине линейного перспективно­го масштаба. В предметном пространстве проецирующего аппарата задан прямолинейный отрезок А[В[ , расположенный параллельно картинной плоскости (рис. 99). Если его повернуть в лучевой плоскости, вокруг точки В[, то получим бесконечное множество положений этого отрезка в простран­стве. Траекторией движения верхнего конца отрезка станет дуга А[А'_г. За­фиксируем положение отрезка В[А'₂, повернутого на произвольный угол.

Построим перспективы всех полученных отрезков. Перспективные изображения отрезков указывают на то, что длина их изменяется в зависи­мости от угла наклона к картинной плоскости. Наибольшую величину имеет вертикальный отрезок А_ХВ^, самую маленькую — горизонтальный —A_SB₁.

Задано три одинаковых вертикальных отрезка, параллельных картине А[В[, A₂B'₂ , AgBg , и расположенных на разном расстоянии от плоскости картины (рис. 100). Отрезок А[В[ лежит в картинной плоскости и совпадает со своей натуральной величиной (А[=А_Х, В^=В₁). Перспективные изобра­жения отрезков А[В[, А₂В₂ , A'_ZB'_Z показывают, что их длина изменяется в зависимости от расстояния между отрезком и плоскостью картины.

Следовательно, длина перспективы отрезка прямой в зависимости от расстояния между ним и плоскостью картины и угла наклона к предмет-

ной плоскости является величиной переменной, которая определяется пер­спективным масштабом.

Построение перспективных масштабов рассмотрим в трех основных направлениях предметного пространства:

1. Направление прямых, параллельных основанию картины —направ­ление ширины.

2. Направление прямых, перпендикулярных предметной плоскости— направление высоты.

3. Направление прямых, перпендикулярных к плоскости картины — направление глубины.

Для построения перспективных изображений задают или определяют на­туральную единицу измерения для данной картины и в соответствии с глав­ными направлениями строят перспективные масштабы.

2. Перспективный масштаб широт

Масштаб, построенный на прямой, параллельной основанию картины, называют масштабом широт. Рассмотрим его построение на проецирую­щем аппарате (рис. 101).Проведем в предметной плоскости отрезок А'В' параллельно основанию картины. Перенесем этот отрезок при помощи глу­бинных прямых на основание картины в положение А^В_й. Перспектива АВ отрезка А'В' — результат пересечения перспектив глубинных прямых А₀ А' и В₀ В' с проецирующими прямыми SA' и SB'.

На картине отрезок АВ является перспективой отрезка А В , а отрезок АоВ₀ = А'В' (по построению) (рис. 102). Следовательно, отрезок АВ в нату­ре равен отрезку ДД,. Так устанавливается связь между перспективным и натуральным размерами, т. е. соотношение между перспективным и нату­ральным линейными размерами — натуральный масштаб.

Для построения перспективного масштаба широт натуральный масш­таб с основания картины переносят на заданную прямую с помощью линий

Рис. 101

Рис. 102

Рис. 103

переноса, задав их точку схода произвольно на горизонте или используя главную точку картины.

Для определения натуральной величины отрезка, расположенного па­раллельно основанию картины, берут на линии горизонта главную или любую точку схода линий переноса. Через нее и концы заданного отрезка проводят линии переноса, которые в пересечении с основанием картины определяет натуральную величину искомого отрезка.

На картине, параллельно ее основанию, задана прямая с точкой А на ней (рис. 103). Требуется от точки А отложить отрезок, равный по величи­не 4,5 м в масштабе картины. Для этого используем точку Р, которую со­единим глубинной прямой с точкой А и продолжим до основания картины. Получим точку Aq, отложим от нее на основании картины 4,5 м (точка В₀). Точку В₀ соединим с точкой Р. Данная линия переноса в пересечении с за­данной прямой определит отрезок АВ, равный в перспективе натурально­му — величине АоБ₀ в масштабе картины.

На схеме картины голландского художника Питера де Хооха (рис. 104) определим натуральную величину дверного проема или отрезка АВ, распо­ложенного параллельно основанию картины. Для этого через главную точ­ку Р и концы отрезка А и В проведем линии переноса до пересечения с осно­ванием картины. Отрезок А₀В₀ и есть натуральная величина дверного про­ема в масштабе картины.

Натуральная величина заданного отрезка не зависит от того, какая точ­ка используется в качестве точки схода вспомогательных прямых (рис. 105), а перспективное сокращение отрезка зависит от положения точки схода и глубины расположения (рис. 106).

Для построения натуральной величины отрезка, расположенного на кар­тине параллельно ее основанию, достаточно взять на линии горизонта лю-

4 м
Рис. 105 Рис. 106

бую точку схода линий переноса и из нее через концы данного отрезка провести прямые, которые и отметят на основании картины натуральную величину искомого отрезка.

3. Перспективный масштаб высот

Масштаб, построенный на прямой, перпендикулярной к предметной плоскости, называют масштабом высот. Рассмотрим его построение на

проецирующем аппарате (рис. 107). Проведем в предметном пространстве вертикальный отрезок А'В' и через него проведем вспомогательную плос­кость Q_H, перпендикулярную к плоскости картины. Перенесем при помо­щи глубинных прямых отрезок А'В' на картинный след Q_k вспомогатель­ной плоскости и обозначим полученный отрезок — AqB₀. Построим перс­пективу АВ отрезка А'В' как результат пересечения перспектив глубинных прямых А₀ А' иВ₀В' с проекционными лучами SA' и SB', идущими в кон­цы заданного отрезка.