Поскольку понятию репрезентации трудно дать краткое определение, раскроем его смысл в нескольких общепринятых положениях.

Понятие «репрезентация» относится к способу описания и хранения в долговременной памяти знаний в самом широком смысле слова, включая образы, события, истории, слова, сюжеты, понятия, законы и теории и т. п.

1. Знания хранятся в памяти не только и не столько как простые непосредственные «слепки» того, что было воспринято (хотя такой способ хранения не отрицается). Они хранятся также, и притом в значительно большей степени, в виде более или менее обобщенно – абстрактных продуктов умственной переработки воспринятого. В этих продуктах представлены устойчивые инвариантные характеристики внутренних состояний субъекта и субъект - субъектных отношений.
2. Хранящиеся в памяти продукты умственной (когнитивной) обработки образуют более или менее упорядоченные системы, состоящие из ряда подсистем и иерархических уровней.
3. Эти системы представляют собой не только системы хранения знаний, но и средство познания. Они являются своего рода внутренними умственными психологическими формами, «сквозь которые», или посредством которых человек смотрит на окружающий мир и на самого себя. Это те структуры, с помощью которых человек извлекает информацию, на которых происходит анализ и синтез всех поступающих новых впечатлений и сведений. Чем больше они развиты, тем больше возможности получения, анализа и синтеза информации, тем больше видит и понимает человек в окружающем его мире и в самом себе. В когнитивных структурах записаны не только сами знания в виде отображения множества связей между разными сторонами, свойствами и отношениями действительности, но и способы их получения, способы перехода от одних знаний к другим, способы перехода от сырых чувственных данных к их все более абстрактным и обобщенным репрезентациям (Чуприкова Н.И., 2007).

Понятие когнитивной репрезентации тесно смыкается с понятием предвосхищающей схемы, определенным образом организующей и структурирующей воспринимаемый материал. Необходимость введения этого понятия была в свое время обоснована Бартлеттом, а в современной когнитивной психологии Найсером. По-Найсеру предвосхищающие схемы - это когнитивные структуры, которые подготавливают индивида к принятию информации какого-то определенного, а не любого вида, и таким образом управляют его текущей познавательной активностью. Постулирование такого рода схем избавляет от необходимости предполагать существование в голове человека огромного хранилища, находящегося под угрозой переполнения. То, что хранится в голове, это не копии образов, а обобщение описания объектов, потенциально доступных восприятию. В разных ситуациях и при решении разных практических задач актуализируются не все возможные, но только определенные, адекватные данным условиям схемы (Тихомирова Л.Ф., 1996).

В отечественной психологии понятие структуры в смысле некоторой внутренней невидимой «конструкции», на которой разыгрываются психические процессы впервые появляется у Л.С. Выготского. Хорошо известное его положение о единстве структурной и функциональной сторон понятийного мышления. Это положение раскрывалось им в двух взаимосвязанных утверждениях. Первое состоит в том, что понятия представляют собой определенные структуры обобщения и что «каждой структуре обобщения соответствует своя специфическая система возможных при данной структуре логических операций» (Выготский Л.С., 1956). Во втором положении та же мысль формулируется в более общей форме: «Функция мышления зависит от структуры самой мысли от того, как построена сама мысль, зависит характер операций, доступных для данного интеллекта» (Там же). Знаменательно, что понятие структуры оказалось принципиально необходимым для Л.С. Выготского в намеченном им пути решения первостепенной для практики обучения проблемы соотношения обучения и развития.

Л.С. Выготский сформулировал положение о внутреннем субстрате умственного развития, отличном от внешне наблюдаемого усвоения знаний, умений и навыков. Анализируя проблему соотношения обучения и развития, он пришел к выводу о нетождественности, различии этих двух процессов. Развитие ребенка «не совпадает с ходом самого образовательного процесса и имеет внутреннюю логику, связанную, но не растворяющуюся в динамике школьного обучения» (Там же). Дать какого-либо четкого и конкретного определения этому внутреннему процессу самому Л.С. Выготскому не удалось, но все же в первом приближении и в самой общей форме он ясно и недвусмысленно связал внутренние процессы развития именно и прежде всего с развитием структурной составляющей мышления. Он писал: «В развитии мышления мы имеем дело с некоторыми очень сложными процессами внутреннего характера. Эти процессы изменяют внутреннюю структуру самой ткани мышления, что выражается не в массовом грубом изменении функций но в изменении структуры, клеточки, если можно выразится – мысли» (Там же). Применительно к формированию понятий в процессе школьного обучения первое и приоритетное место Л.С. Выготский отводил их системе. Система понятий в его понимании это своего рода сетка, в которой понятия распределены и взаимно соотнесены в зависимости от степени их общности и сходства. Таким образом, система понятий представляет собой внутренне упорядоченную иерархическую структуру.

Проблема необходимости выяснения природы носителей психических процессов как определенных инвариантных психологических структур разрабатывалась в отечественной психологии Л.М. Веккером. Согласно Л.М. Веккеру, любая система – и психика не составляет здесь исключения – является совокупностью не своих свойств, а своих элементов. Именно совокупность и взаимосвязи элементов формируют целостную организацию системы и определяют ее эмпирически наблюдаемые свойства.

Носителем психических процессов являются, по Л. М. Веккеру, сложные, в частности познавательные, структуры, которые на всех уровнях организации обязательно включают пространственно-временные компоненты и имеют разное количество иерархических уровней (Чуприкова Н.И., 2007).

Ж. Пиаже и его последователи создали одно из наиболее плодотворных направлений в изучении психического развития ребенка – Женевскую школу генетической психологии. Как известно, психологи этой школы изучают происхождение и развитие интеллекта у ребенка. Для них важно понять механизмы познавательной деятельности ребенка, которые скрыты за внешней картиной его поведения. Для этой цели в качестве основного метода используется известный прием Ж. Пиаже, который ориентирован не на фиксацию внешних особенностей поведения ребенка и поверхностное содержание его высказываний, а на те скрытые умственные процессы, которые приводят к возникновению внешне наблюдаемых феноменов. Работы Ж. Пиаже и его учеников показали, что развитие интеллекта ребенка состоит в переходе от эгоцентризма (централизации) через децентрацию к объективной позиции ребенка по отношению к внешнему миру и себе самому (Пиаже Ж., 1994а).

Своеобразие развития психики ребенка психологи Женевской школы связывают с теми структурами интеллекта, которые формируются при жизни благодаря действию ребенка с предметами. Внешние материальные действия ребенка (до 2-х лет) первоначально выполняются развернуто и последовательно. Благодаря повторению в разных ситуациях действия схематизируются и с помощью символических средств (имитация, игра, речь и др.) уже в дошкольном возрасте переносятся во внутренний план (Пиаже Ж., 1994б).

В младшем школьном возрасте системы взаимосвязанных действий превращаются в умственные операции. Порядок формирования фундаментальных структур мышления постоянен, но сроки их достижения могут варьироваться в зависимости от внешних и внутренних факторов. Согласно Ж. Пиаже законы познавательного развития универсальны, они действуют как в процессе развития мышления ребенка, так и в ходе научного познания (Пиаже Ж., 1963).

Знание по Ж. Пиаже предполагает два вида деятельности. С одной стороны, это координация самих действий, а с другой, - установление отношений между объектами. И, те, и другие отношения взаимосвязаны, поскольку они устанавливаются через действие: то, что дано (т.е. физически представлено в материальном объекте), включается в логико-математическую структуру, состоящую из координации действий субъекта. Поэтому объективные знания, по Ж. Пиаже, подчинены определенным структурам действия (Пиаже Ж., 1994а).

В своих исследованиях ребенка Ж. Пиаже применял философский «номотетический» способ анализа психических явлений. Как ученый, он искал универсалии «когнитивные ядра», общие для всех детей одного и того же уровня. Поскольку структуру интеллектуальной деятельности нельзя увидеть, Ж. Пиаже конструировал их с помощью моделей взятых из математической логики. Из-за отсутствия необходимых интеллектуальных структур маленький ребенок нечувствителен к опыту, но, взаимодействуя с окружающим, включая и интегрируя новые элементы в уже существующие структуры он постепенно вырабатывает новые структуры, которые делают его более восприимчивым к новой информации (Пиаже Ж., 1997). Таким образом, Ж. Пиаже рассматривает интеллектуальные структуры как фундаментальные инструменты организации внешнего мира.

Идея приоритетного значения формирования в процессе обучения особых познавательных структур – обобщенных схем мышления – была ясно сформулирована П.Я. Гальпериным (1985; 1995). Это приоритетное значение определяется тем, что обобщенные схемы действительности не только аккумулируют практический и познавательный опыт, но и являются одновременно с этим новыми мощными орудиям и мышления. Многолетние исследования ориентировочной основы действий привели П.Я. Гальперина к выводу о необходимости обязательно и прежде всего формировать в процессе обучения полную ориентировочную основу действий, по крайней мере для каждой определенной области знаний. Она должна включать в себя:

«Основные единицы» материала данной области.

Общие правила их сочетания в конкретные явления

П.Я. Гальперин сформулировал принципиально важный вывод, что умственное развитие при усвоении знаний происходит лишь в той мере и в той форме, в какой усвоение знаний связывается с образованием обобщенных базальных схем мышления. Если же этого не происходит, то знание фактов и даже законов не оказывает прямого влияния на развитие мышления. Он писал: «Возможно, что третий тип и есть тот теоретически допускаемый Пиаже вид обучения, в котором приобретение знаний происходит вместе с интеллектуальным развитием».

Можно указать на несколько важных взаимосвязанных обстоятельств, из которых следует, что формирование хорошо организованных и упорядоченных внутренних психологических когнитивных структур должно быть признано самой главной задачей школьного обучения.

1. Чем больше разных связей новых знаний с уже имеющимися в долговременной памяти может быть установлено, тем глубже и шире понимание нового материала, тем лучше он усваивается, лучше «укладывается» в голове школьника. Ведь для этого уже существуют необходимые схемы и матрицы, которые должны лишь развиваться дальше, усложняться и усовершенствоваться при усвоении нового.

2. Чем лучше развита и структурно организована когнитивная система, тем дольше и прочнее сохранение материала в памяти. В более развитой и сложной по структуре когнитивной системе идет более глубокий и всесторонний анализ поступающей информации. А это является одной из главных предпосылок прочного и длительного запоминания любого материала.

3. Только хорошо структурно организованная, богато внутренне расчлененная система репрезентации знаний может обеспечить гибкость и подвижность мышления, возможность соотнесения, мысленного сопоставления самых разных объектов и явлений и в самых разных отношениях и аспектах (Чуприкова Н.И., 2007).

Из сказанного вытекает, что в процессе школьного обучения ребенку нужно не просто сообщить «сумму знаний», а сформировать у него систему взаимосвязанных знаний, образующих внутренне упорядоченную структуру. Так сформированная цель обучения решает одновременно две главные его задачи, которые до сих пор обычно выступают как разные или, по крайней мере, недостаточно внутренне связанные: сообщить ребенку доступные ему сведения, накопленные человечеством в разных областях знания, и задачу развить его ум, его мышление. Формирование упорядоченной репрезентативной системы знаний, в процессе чего разные сведения постоянно сопоставляются и соотносятся друг с другом в самых разных отношениях и аспектах, по-разному обобщаются и дифференцируются, входят в разные цепочки причинно-следственных связей, одновременно ведет и к наиболее эффективному усвоению знаний и к развитию мышления (Подгорецкая Н.А., 1980).

Сегодня психология может сформулировать один из ведущих главных законов развития когнитивных структур. Он состоит в том, что сложная большая развитая система никогда не складывается, как из кирпичиков, из отдельных элементов. Она дробится на элементы в процессе своего развития, расчленяется на все более и более мелкие части с все более и более специфическим строением и специализированными функциями. Применительно к развитию системы языка этот принцип был сформулирован А.М. Пешковским в тезисе, что язык не складывается из элементов, но дробится на элементы. Важно подчеркнуть, что процессы дробления и специализации всегда идут внутри определенного целого (ред. М.В. Зверева, 1983). Система развивает свои отдельные все более специализированные части и функции на основе менее специализированных, более гомогенных частей и функций. Поэтому ее развитие идет не от частей к целому, а от целого к частям, от общего к частному (Давыдов В.В., 1988).

Если проследить развитие какой-либо системы, то можно заметить, что самые общие ее функции, самый общий план строения, общие черты структуры остаются постоянными. Функции, служащие, в конечном счете, для одной и той же цели, становятся лишь все более многочисленными, все более разнообразными по своим конкретным проявлениям, а один и тот же общий план строения все более детализируется, обогащается разнообразными конкретными элементами. Поэтому принцип развития от целого к частям, от общего к частному в логическом отношении совпадает с принципом развития от абстрактного к конкретному.

Умственное развитие человека является частным случаем или областью процессов развития. Отсюда логически неизбежно следует, что общие универсальные законы развития должны действовать здесь столь же непреложно, как и во всех других областях.

Носителем, субстратом умственного развития должны быть внутренние логические структуры субъекта. Эти структуры обладают всеми признаками сложных систем, и, следовательно, их развитие должно подчиняться закону системной дифференциации, закону развития от общего к частному, от целого к частям, от абстрактного к конкретному (Чуприкова Н.И., 2001).

Идея хода умственного развития от общего к частному и идея дифференциации как основного закона умственного развития были сформулированы еще Я. А. Коменским. Как известно, он отстаивал как ведущий в обучении и воспитании принцип природосообразности. Согласно этому принципу, если обучение будет сообразовываться с порядком развития самой природы, оно будет осуществляться легко, быстро и основательно. Он писал: «Природа начинает свою общеобразовательную деятельность с самого общего и кончает наиболее частным».

Если мы хотим снабдить человека на всю жизнь возможностями развивать свое познание, прежде всего необходимо вырастить «главные ветви» его знаний и познавательных способностей. Это происходит в первые шесть лет жизни ребенка, в школе, которую Коменский называл «материнской». Именно здесь закладываются исходные начала всех наук, и решающая роль в том, чтобы они были заложены правильно, принадлежит как раз процессам различения и дифференциации. Дело в том, что начало познания смутно, глобально и не дифференцировано. Коменский писал: «Детям сначала все представляется в общем и смешанном виде, так что они от всего что видят, слышат, вкушают, осязают, получают такое впечатление, пока не научатся различать лишь постепенно» (Сост. В.М. Кларин, 1989).

Идея дифференциации исходного целого в общей форме была развита в труде Гегеля «Феноменология духа», применительно к становлению и развитию чувственного познания и к начальным этапам формирования систем понятий. По Гегелю, вначале имеется чистая чувственность. Она бесконечно богата и вместе с тем абсолютно бедна. Это нечто, в котором уже содержится все и еще нет ничего. О предмете, который дан в чистой чувственности, мы не можем сказать ничего, на него можно лишь указать рукой. Затем познание «отнимает» у вещей их отдельные свойства и отношения, и вещи начинают выступать как совокупность разных свойств и отношений, т.е. исходная чувственность дифференцируется, расчленяется. Это необходимый этап формирования понятий, так как далее начинается упорядочивание свойств и отношений вещей, между которыми устанавливаются родовидовые отношения.

Совершенствование и развитие понятийного аппарата рассматривается Гегелем как процесс развертывания, обогащения и конкретизации некоторой исходной основы: «Познание движется от содержания к содержанию. Это движение вперед определяет себя, прежде всего таким образом, что оно начинается с простых определений и что следующие за ними определения становятся все богаче и конкретнее, ибо результат содержит свое начало, и движение этого начала обогатило его новой определенностью. Всеобщее составляет основу…На каждой ступени дальнейшего определения всеобщее возвышает всю массу своего предыдущего содержания и не только ничего не теряет от своего диалектического движения вперед, не только ничего не оставляет позади себя, но несет с собой все приобретенное и обогащается и сгущается внутри себя» (Цит. по Лейтес Н.С., 1989).

Фундаментальная психофизиологическая теория умственного развития в основу которой положены принципы дифференциации и интеграции была разработана И. М. Сеченовым в труде «Элементы мысли» под прямым влиянием идей Спенсера. Сеченов выделил пять шагов или уровней умственного развития как результат последовательных этапов расчленения и интеграции чувствований (Будилова Е.В., 1954).

Первые два шага – это выделение из потока внешних воздействий сначала самых крупных их элементов, соответствующих отдельным предметам, а затем выделение и различение более дробных элементов, соответствующих отдельным частям, свойствам, отношениям и действиям объектов.

Эти два шага подготавливают возможность третьего, знаменующего переход от восприятия к мысли: это мысленное отделение от предметов их признаков, состояний и действий и их мысленное сопоставление в разных отношениях.

Четвертый шаг умственного развития в теории Сеченова – это мышление абстрактами или символами. Это производные продукты отражения сходных предметов, их свойств, отношений и действий, своего рода «осколки», «отголоски» действительности, образующиеся путем отщепления и слияния по сходству общих черт, присущих разным сторонам действительности.

Третий и четвертый шаги невозможны без употребления словесных знаков, которые, однако, представлены в познании только вместе с тем содержанием, которое они обозначают.

Пятый шаг умственной эволюции состоит, по Сеченову, в отделении знака от обозначаемого, что открывает возможность оперировать исключительно одними знаками и их отношениями, т.е. «чистыми формами», без какого-либо обращения к содержанию. Так возникает отвлеченное внечувственное мышление, объектами которого становятся реальности, недоступные органам чувств, и широкая область содержаний только возможных, а в конечном итоге и невозможных (Там же).

После всего сказанного, подведем некоторые итоги и сделаем два общих заключения.

Во-первых, мы увидели, что теории умственного развития, отвечающие универсальному всеобщему закону системной дифференциации, давно уже выдвигались в психологической науке. Взгляды разных авторов здесь очень близки друг другу и, таким образом, имеются объективные предпосылки для создания синтетической системно-структурной теории умственного развития.

Во-вторых, с точки зрения данного теоретического подхода с единых позиций может быть достаточно ясно очерчен основной план или общий ход умственного развития, начиная с раннего младенчества и заканчивая развитым абстрактным мышлением ученого-теоретика (Чуприкова Н.И., 2007).

Построение начального курса математики в системе развивающего обучения В.В. Давыдова

Предложенный В.В. Давыдовым новый подход к построению курса математики хорошо известен в педагогических кругах. Его необычность состоит в том, что в нем последовательно реализован принцип движения в обучении от общего к частному в отличие от всем привычного противоположного принципа. Это программа, в которой каждый последующий шаг в обучении выступает как новая ступень дифференциации и специализации ранее приобретенных знаний более общего характера (Матвеев А.В., 2001).

Обосновывая основную идею данного курса, В.В. Давыдов начинает с положения, что числа, операции с которыми усваивают дети при обучении математике, являются частным видом более общего математического объекта величины, и что в основе концепции действительного числа в математике, лежит более общее понятие о величине (ред. Д.Б. Эльконин, В.В. Давыдов, 1966).

Опыт многолетней экспериментальной работы под руководством В.В. Давыдова показал, что такой путь введения математических знаний обеспечивает более эффективное усвоение счета и понятия числа, дает значительно лучшие результаты, чем традиционные способы обучения, в отношении математического и общего умственного развития детей (Громыко Ю.В., 2001).

Обучение начинается с того, что дети выделяют в вещах разные их свойства и оценивают различия между вещами по выраженности (интенсивности) того или другого свойства. Дети сравнивают тяжесть разных тел, их объемы, длину и т.д. В результате сравнения получается, что одна вещь тяжелее, легче или равна по тяжести другой; вторая – длиннее, короче или равна по длине третьей. На этом этапе, прежде всего преодолевается присущая дошкольникам интегральность восприятия; в вещах выделяются разные свойства, которые становятся в познании когнитивно отделимыми (Тихомирова Л.Ф., Басов А.В., 1995). Их репрезентации становятся независимыми, и дети могут произвольно сравнивать вещи по выраженности любых их отдельных свойств. Таким образом, на этом этапе впервые происходит когнитивное выделение величины как особой специфической интенсивной характеристики разных свойств объектов и формируется система трех основных фундаментальных отношений между величинами: «больше», «меньше», «равно». Для формирования такого понятия числа не нужны, а сравнение величин вполне может осуществляться на перцептивно-действенном уровне. В заключение описанной работы вводятся знаки для обозначения всех трех возможных отношений («больше», «меньше», «равно»).

Налицо достаточно проработанный каркас общего понятия о величине, о способах ее изменения и условиях неизменности, о смысле действий сложения и вычитания, но все это еще не на количественном, а на качественном дочисловом уровне понятия величины (Гребцова Н.И., 1994).

В.В. Давыдов считает, что на той же основе возможно введение способов получения не только положительных, но и отрицательных чисел. Итак, вся программа начального курса математики выстроена четко и последовательно в согласии с принципом от абстрактного к конкретному, от общего к частному. Программа ведет ребенка от максимальной проработки качественного понятия о величине к его количественной конкретизации через введение понятия числа как особого случая отношения величин, когда одна из них принимается за меру вычисления другой (Давыдов В.В., 1988). При этом переход от качественного к количественному определению величин выступает как естественный и необходимый этап развития понятия о величине, когда операции на качественном уровне уже не могут обеспечить возможности более точных и дифференцированных суждений об основных отношениях «больше», «меньше», «равно». Затем идет дифференциация самого понятия числа: выделяются числа целые и дробные, натуральные положительные и отрицательные. В.В. Давыдов писал: «Переход детей от изучения общих свойств величины к выделению ее частных видов, имеющих форму числа (натурального, позиционного, дробного, отрицательного) – это главная линия построения всего экспериментального обучения математике. Вместе с тем от этой линии осуществляются многообразные ответвления, связанные с тем, что определенные свойства выделяемых отношений могут служить основой для построения новых понятий, Однако такие понятия формируются по той же схеме: от выделения основного отношения к изучению его свойств и выведению возможных частных следствий» (Там же).

Особенности начального курса математики в системе Л. В. Занкова

При рассмотрении особенностей курса математики в системе Л. В. Занкова нам придется в какой-то мере сравнивать его с тем, который предложен в системе В.В. Давыдова. Такое сравнение поможет лучше понять и общие черты этих двух курсов и их различия.

Теоретические основы двух данных систем развивающего начального обучения не противоречат друг другу, имеют ряд общих моментов. Обе они исходят из необходимости формировать у детей с самых первых шагов обучения основы системного мышления; обе возникли как реакция на сложившийся в начальной школе принцип «поэлементного» введения и усвоения знаний; обе не приемлют традиционный путь движения в обучении от частного к общему и противопоставляют ему прямо противоположный путь – от общего к частному (В.В. Давыдов), от целого к частям (Л.В. Занков) (Чуприкова, 2007).

В системе В. В. Давыдова больше разработаны вопросы содержания исходного простого знания, с которого должно начинаться обучение разным предметам, а в системе Л. В. Занкова – вопросы последовательной дифференциации знаний.

Многие черты системы обучения Л. В. Занкова позволяют ясно выявить те расчлененные когнитивные структуры репрезентации и анализа математического материала, которые складываются у детей в ходе его усвоения.

Изучение однозначных чисел в системе Л. В. Занкова, как и в системе В. В. Давыдова, начинается с усвоения детьми самых общих понятий о равенстве и неравенстве («больше», «меньше», «равно») множеств. Дети сравнивают разные множества разных предметов и выносят суждения об их равенстве или неравенстве (устанавливают, где предметов «больше», а где «меньше»), сами составляют равные и неравные множества. Но эти первоначальные суждения носят в основном глобально-качественный характер, они еще мало дифференцированы. Здесь сравниваются небольшие множества с регулярным расположением элементов, а большие множества занимают больший объем в пространстве, чем меньшие. Таким образом, множества могут сравниваться глобально – наглядно, их чисто количественная сторона еще не выделена как единственный и главный параметр сравнения.

Дифференциация первичных глобально-качественных суждений об отношении множеств осуществляется по трем взаимосвязанным направлениям. Во-первых, уменьшается степень различий между сравниваемыми множествами (сначала они отличаются большим числом элементов, потом двумя тремя и, наконец, только одним). Во-вторых, расположение элементов достаточно больших множеств теряет регулярность, становится разным в сравниваемых множествах. В-третьих, вводятся «конфликтные» ситуации, когда множества, содержащие меньшее число элементов, занимают больший объем в пространстве и наоборот. Во всех трех случаях глобально-качественные суждения об отношениях множеств либо затрудняются, либо становятся совсем невозможными, что с необходимостью ведет к обращению к новому способу сравнения – к способу установления взаимно однозначного соответствия между их элементами (дети располагают элементы множеств строго друг под другом, последовательно зачеркивают по одному элементу в каждом из множеств и смотрят, остались ли не зачеркнутые элементы или нет). Так происходит переход от первичных глобально-качественных суждений «больше», «меньше», «равно» к дифференцированным количественным суждениям, основанным на установлении взаимно однозначных отношений между элементами множеств. Однако эти количественные суждения сначала являются еще дочисловыми: дифференцированные суждения об отношении множеств по количеству элементов выносятся детьми раньше, чем они определяют число этих элементов, до овладения счетом, а не после него.

Числа и цифры вводятся на определенном этапе выполнения заданий на установление взаимно однозначных отношений между элементами множеств, сначала как своего рода «аккомпанемент», сопровождение результатов выполнения этих заданий. Таким образом, цифра в их сознании выступает как знак числа и вначале употребляется только вместе с числом элементов каких-то определенных множеств. Лишь после этого дети переходят к сравнению чисел как таковых в их цифровой записи, знакомятся со знаками «>»,«<»,«=». Таким образом, в полном соответствии с законом дифференциации числовые знаки вначале употребляются только вместе с обозначаемым, которое наглядно воспринимается, а затем отделяются от него и становятся самостоятельными объектами умственных действий (Свечников А.В., 1986).

Однозначные числа вводятся не последовательно, одно за другим, а на определенном отрезке работы все сразу: сравнивая наглядные множества и цифровые записи, дети попеременно имеют дело со всеми числами от 1 до 9. С понятием натурального ряда чисел дети знакомятся позднее, и это понятие вводится как результат двух дифференциаций: количественной дифференциации отношений «больше - меньше» и дифференциации понятия об упорядоченном расположении разного рода объектов в соответствии с увеличением-уменьшением значений различных их свойств (Перевертень Г.И., 1984).

Первое направление: сравнивая разные множества дети выносят суждения типа «Здесь на один больше (меньше).

Второе направление состоит в следующем. Работая с множествами дискретных элементов, дети параллельно сравнивают также по величине отрезки (по длине) и геометрические фигуры (по площади). После этого они выполняют ряд заданий требующих расположить в определенном порядке геометрические фигуры, различающиеся по площади и дискретные множества, различающиеся по числу элементов. На заключительном этапе этой работы дети располагают в порядке возрастания девять карточек с нарисованными на них точками в количестве от 1 до 9 и записывают в строке цифрами соответствующие числа. Так складывается ясное расчлененно-дифференцированное представление о натуральном ряде чисел, в котором каждое последующее число на 1 больше предыдущего, а каждое предшествующее на 1 меньше последующего. Таким образом, обозначенные числа репрезентированы в когнитивных структурах детей в виде определенной системы с ясно выделенными отношениями между соседними элементами (Чуприкова Н.И., 1995).

После того как сформировано представление о натуральном ряде чисел, дети знакомятся с действиями сложения и вычитания. Оба эти действия вводятся сначала на качественном уровне. Смысл действия сложения раскрывается как объединение разных групп объектов, а смысл действия вычитания как убирание из группы объектов какой-то их части (Петров Ю.А., 1991).

Принцип последовательной системной дифференциации и движение от общего к частному ясно обнаруживается при психологическом анализе того, как идет в системе Л. В. Занкова изучение двузначных чисел. Отметим основные черты этой дифференциации.

1. Двузначные числа вводятся сначала чисто «формально», глобально, на основе их внешнего признака как числа, для записи которых используется не одна, а две цифры.

2. Дети знакомятся со счетом группами. Например, они уясняют, что карандаши можно считать по одному, а можно коробками по 6, 12, 18 штук.

3. Когда после этого дети переходят к анализу числа 10, оно раскрывается как частный случай счета группами. На этом этапе дети работают с наборами из 10 палочек, которые они то связывают в пучки по 10 штук и получают один десяток. Затем дети в разных заданиях считают количество наборов по 10 палочек, записывают двузначные числа, обозначающие десятки, сравнивают их с однозначными. В результате выполнения этих заданий дети получают представление о своеобразном «каркасе» продолжения натурального ряда в пределах двузначных чисел. Дальнейшее изучение темы направлено на постепенное заполнение промежутков в этом «каркасе».

Изучение двузначных чисел в системе Л. В. Занкова дает возможность детям осознать принцип системы счисления, которой мы пользуемся. А результатом этого является формирование хорошо расчлененной когнитивной системы, репрезентирующей систему счисления с ее иерархическим строением, связями между элементами, с переходами от уровня единиц к уровню десятков и наоборот (Люблинская А.А., 1987).

На всем протяжении изучения математики дети, работающие по системе Л. В. Занкова, выполняют задания на поиск «спрятанных» фигур, выделяя и считая число вписанных в основную большую фигуру треугольников и прямоугольников. Сначала эти задания предельно просты, но постепенно становятся более сложными, так как количество вписанных фигур увеличивается, а их контуры все больше и больше пересекаются между собой. Такой способ развития пространственных представлений и пространственного мышления полностью соответствует принципу дифференциации в умственном развитии. Упражнения в решении задач умственного типа ведут к тому, что преодолевается глобальность, целостность, полезависимость детского восприятия. Когнитивные структуры, осуществляющие анализ изображений, становятся все более расчлененными, способные ко все лучшему выделению их отдельных частей из включающего контекста: целое все меньше и меньше довлеет над своими частями, ребенок все лучше и свободнее изолирует отдельные части из целого и оперирует ими независимо от целого и друг от друга (Чуприкова Н.И., 2007).