Методические указания для выполнения заданий

Задание 461 – 470

Разложить данную функцию в ряд Фурье в интервале

Рядом Фурье периодической функции с периодом , определённой на сегменте называется ряд

где (1)

В случае, когда чётная функция, её ряд Фурье содержит только свободный член и косинусы, т.е.

В случае, когда нечётная функция, её ряд Фурье содержит только синусы, т.е.

Если ряд (1) сходится то его сумма есть периодическая функция с периодом

Теорема Дирихле. Пусть функция на сегменте имеет конечное число экстремумов и является непрерывной за исключением конечного числа точек разрыва рода. Тогда ряд Фурье этой функции сходится в каждой точке сегмента и сумма этого ряда:

1) во всех точках непрерывности функции , лежащих внутри сегмента ;

2) , где - точка разрыва I рода функции ;

3) на концах промежутка , т.е. при

Разложить в ряд Фурье функцию , заданную в интервале уравнением .

Графиком этой функции в интервале является отрезок, соединяющий точки Сумма ряда Фурье является периодической функцией с периодом и совпадает с функцией в интервале .

Определяем коэффициенты ряда Фурье . Сначала находим

Второй интеграл равен нулю как интеграл от нечётной функции, взятый по интервалу, симметричному относительно начала координат. Таким образом,

Далее, находим коэффициенты Имеем

Нетрудно видеть, что оба интеграла равны нулю (подъинтегральная функция второго интеграла является нечётной как произведение чётной функции на нечётную). Итак,

Найдём теперь коэффициенты

Первый интеграл равен нулю. Подъинтегральная функция второго интеграла является чётной как произведение двух нечётных функций. Таким образом,

Интегрируя по частям, получим

Следовательно, разложение функции в ряд Фурье имеет вид:

Ряды Фурье рассматриваются в учебном пособии П.Е.Данко, А.Г.Попов, Т.М.Кожевникова. Высшая математика в упражнениях и задачах, ч. гл.3, §8.

Задание 481 – 491.

Представить где в виде ; проверить, является ли она аналитической. Если да, то найти значение её производной в заданной точке

Здесь мы воспользовались формулой Эйлера

Необходимыми условиями дифференцируемости функции в точке являются условия Коши – Римана

Находим частные производные

Т.е. условия Коши – Римана выполнены во всех точках комплексной плоскости. Кроме того, частные производные непрерывны всюду. Следовательно, заданная функция дифференцируема и является аналитической на всей комплексной плоскости.

Производная может быть найдена по тем же формулам, что для функций действительного переменного.

В заданной точке

Типовые задачи по теме «Производная функции комплексного переменного» рассматривается в учебном пособии П.Е.Данко, А.Г.Попов, Т.М.Кожевникова. Высшая математика в упражнениях и задачах, ч. гл.VII, §§1,2.

Задание 491 – 500.

Используя теорему о вычетах, вычислить заданный интеграл по замкнутому контуру С, обходимому против часовой стрелки.

Основные определения и теорема.

Точка называется полюсом к-того порядка функции , если

Пусть –полюс n-го порядка функции . Вычет функции относительно её полюса n-го порядка вычисляется по формуле

(residue– вычет).

Если –полюс первого порядка (простой полюс) функции , то

Пусть –аналитическая функция в замкнутой области , кроме конечного числа изолированных особых точек (полюсов или существенно особых точек). Тогда интеграл от функции по контуру , содержащему внутри себя эти точки и целиком лежащему в области , равен произведению на сумму вычетов в указанных особых точках, т.е.

.

(Основная теорема о вычетах).

Пример:

Найти Где –окружность, ,полюс ы i, –i, 2 находятся внутри замкнутого контура .

Отсюда

Типовые задачи по теме «Применение вычетов к вычислению интегралов» рассматривается в учебном пособии П.Е.Данко, А.Г.Попов, Т.М.Кожевникова. Высшая математика в упражнениях и задачах, ч. гл.VII, §6.

Задание 501 – 510 .

Найти оригинал , которому соответствует изображение Лапласа .

Если изображение является правильной рациональной дробью, то его следует представить в виде суммы элементарных дробей, т.е. дробей вида

Это можно сделать методом неопределённых коэффициентов (как это делалось при интегрировании рациональных дробей). Количество неопределённых коэффициентов должно совпадать со степенью знаменателя. В нашем случае

–неопределённые коэффициенты. Они находятся из тождества.

Придавая различные значения или приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях в левой и правой части тождества, получим систему уравнений для неизвестных Например:

Для отыскания оригинала следует использовать таблицу изображений основных элементарных функций.

В этой таблице изрображению соответствует оригинал Применив эту формулу, находим:

Таблицу изображений, а также примеры отыскания изображений и оригиналов, можно найти в пособии П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.М. Кожевникова. Высшая математика в решениях и задачах, ч. гл. VIII, §§1,2.

Задание511 -520

Методом операционного исчисления найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющего заданным начальным условиям.

,

Пусть оригиналу соответствует изображение , т.е. Тогда ; ;

По таблице изображений Переходим в заданном уравнении к изображениям ,

или ; .

Разложим эту рациональную дробь на простейшие дроби:

,

.

Полагая , получаем , т.е. ; при имеем , т.е. . Уравнивая коэффициенты при , получим ,

т. е. . Следовательно, . Откуда по таблице изображений .

Применение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений рассматривается в учебном пособии П.Е. Данко, А.Г. Попов,

Т.М. Кожевникова. Высшая математика в упражнениях и задачах, ч. гл.VIII, §4.

Теоретические материалы и примеры решения задач, соответствующих № 521-530,531-540, 541-550, 551-560,571-580 можно найти в учебных пособиях

П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.М. Кожевникова. Высшая математика в упражнениях и задачах, ч. гл.V; Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике.

Литература

Основная литература

1. Теория функций комплексного переменного и операционное исчисление в примерах и задачах [Электронный ресурс] : учебное пособие для вузов [Гриф УМО] / А. В. Пантелеев, А. С. Якимова. - 3-е изд., испр. - Электрон. текстовые дан. - Санкт-Петербург ; Москва ; Краснодар : Лань, 2015. - 446 с.

2. Конспект лекций по высшей математике [Текст] : полный курс : [учебное пособие для вузов] / Д. Т. Письменный. - 10-е изд., испр. - Москва : Айрис-пресс, 2011. – 602 с.

3. Теория вероятностей и математическая статистика [Текст] : учебник для среднего профессионального образования [Гриф Минобразования РФ] / Е. С. Кочетков, С. О. Смерчинская, В. В. Соколов. - 2-е изд., испр. и перераб. - Москва : Форум : ИНФРА-М, 2014. - 239 с.

4. Высшая математика для экономических специальностей [Текст]: учебник и практикум для вузов/ Н.Ш. Кремер и др.; под ред. Н.Ш. Кремера. – 3-е изд., перераб. и доп. Москва: Юрайт, 2011. – 909 с.

5. Справочник по математике для бакалавров [Электронный ресурс]: учебное пособие для вузов / [А. Ю. Вдовин и др.]. – Электрон. текстовые дан. – Санкт-Петербург; Москва; Краснодар: Лань, 2014. – 79 с.

6. Туганбаев А.А. Задачи и упражнения по высшей математике для гуманитариев [Электронный ресурс] : учебное пособие для вузов / А. А. Туганбаев. – 4-е изд., испр. и доп. – Электрон. текстовые дан. – Москва: Флинта, 2011. – 399 с.

Дополнительная литература

1. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах [Текст] / П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я.Кожевникова. В 2 ч. – 7-е изд., испр. – М.: Оникс: Мир и Образование, 2008.- 815 с.

2. Сборник задач по теории функций комплексного переменного [Текст] : учеб. пособие для вузов [Гриф Минобразования РФ] / Л. И. Волковыский, Г. Л. Лунц, И. Г. Араманович. - 3-е изд., стер. - Москва : Наука, 1975. - 319 с.

3. Конспект лекций по высшей математике [Текст] : [учебное пособие для вузов]. Ч. 2. Тридцать пять лекций / Д. Т. Письменный. - 6-е изд. - Москва : Айрис-пресс, 2008. - 251, [1] с.

4. Баврин И.И. Высшая математика для педагогических направлений [Текст]: учебник для бакалавров по педагогическим направлениям и специальностям / И. И. Баврин ; Моск. пед. гос. ун-т. – 2-е изд., перераб. и доп. –Москва : Юрайт, 2014. – 615с.

5. Богомолова Е.П. Сборник задач и типовых расчетов по общему и специальным курсам высшей математики [Электронный ресурс] : учебное пособие для вузов/ Е. П. Богомолова, А. И. Бараненков, И. М. Петрушко. –Электрон. текстовые дан. – Санкт-Петербург; Москва; Краснодар: Лань, 2015. –462 с.

6. Хуснутдинов Р.Ш. Математика для экономистов в примерах и задачах [Электронный ресурс]: учеб. пособие для вузов / Р. Ш. Хуснутдинов, В. А. Жихарев. – Санкт-Петербург; Москва; Краснодар: Лань, 2012. – 654 с.

7. Сборник заданий по специальным курсам высшей математики [Текст] : типовые расчеты / В. Ф. Чудесенко - 5-е изд., стер. - Санкт-Петербург : Лань, 2010. - 191с.

8. Шипачев В.С. Высшая математика [Текст]: Учебн. для вузов. / В.С. Шипачев. – М.: Высшая школа, 2007. – 479 с.

ЗАДАНИЯ и методические указания к выполнению