Образец выполнения контрольных заданий
Задание 1. Найти производную функции.
а) у = х2 (cos x – 4 sin x).
Решение. Воспользуемся формулой (uv)¢=u¢v+uv¢ и таблицей производных.
б)
Решение. Воспользуемся формулой
в) у =
Решение. Имеем дважды сложную функцию
г)
Решение. Имеем функцию у = у(х), заданную неявно. Продифференцируем это равенство, считая, что sin y, e – y – сложные функции:
В левой части группируем слагаемые с у', в правую часть переносим слагаемые, не содержащие у'.
д). .
Решение. Имеем показательно-степенную функцию .
Прологарифмируем данное равенство:
Продифференцируем данное равенство:
Задание 2. Найти для указанных функций.
1)
Решение. Находим производную 1го порядка по правилу дифференцирования дроби.
Находим вторую производную:
2)
Решение. Функция задана параметрически.
Находим производную первого порядка
Производная второго порядка
2)
Решение. Найдем
и
Первая производная:
Вторая производная:
Задание 3. Исследовать функцию методами дифференциального исчисления и построить ее график.
а) .
1) Область определения функции находим из условия:
Д(у) =
2) Функция не является ни четной ни нечетной, т.к. Д(у) несимметричное относительно х = 0 множество.
3) Находим точки пересечения с осями координат.Если х = 0, то у = 0.
Если у = 0, то х = 0.
График функции проходит через точку (0;0).
4) а) вертикальная асимптота х = –1.
Найдем односторонние пределы:
, кривая внизу.
, кривая вверху.
б) Наклонная асимптота. Находим:
Наклонная асимптота у = х – 3.
Построим ее по точкам:
х = 0 х = 3
у = –3 у = 0
в) горизонтальная асимптота.
.
Горизонтальных асимптот нет, но при х ®+¥, у®+¥ (кривая справа вверху), а при х ®–¥, у ®–¥ (кривая слева внизу).
5) Исследуем функцию на экстремум. Находим производную:
Находим критические точки:
у' = 0 при х = 0 или х = – 4
у' не существует при х = –1 Д(у).
Отметим точки х = –1, х = 0, х = –4 на числовой прямой и определим знак производной в каждом интервале:
mаx нет экстр. min
у'' + – – + х
у – 4 – 1 0
Экстремальные точки:
т. max
т. min
Строим схематично график функции рис. 1.
5) Находим:
у'' = 0 при х = 0.
у'' не существует при х = –1 Д(у).
нет перегиба нет перегиба
– + + х
–1 0
рис. 1.
2.
1) Д(у): х > 0, т.е. х .
2) Функция не является ни четной ни нечетной, т.к. Д(у) не симметрична относительно х = 0.
3) х 0, значит график ось Оу не пересекает.
Если у = 0, то х = 0 Д(у) или ln х = 0, ln x = ln 1, x = 1.
Отмечаем точку (1;0).
4) а) вертикальная асимптота х = 0:
Значит прямая х = 0 не является асимптотой но при х ® 0 справа кривая стремится к у = 0, т.е. к точке (0;0) снизу.
б) наклонная асимптота. Находим:
, нет наклонной асимптоты.
в) горизонтальная асимптота. Находим:
Горизонтальной асимптоты нет, но при . Кривая находится справа вверху.
5) находим:
у' = 0 при х = 0 или
min
у' – + х
у 0
Схематично изображаем график функции (рис. 2.)
6. Находим:
у'' = 0 при .
у'' существует во всех точках, Д(у)
т. перегиба
у'' – + х
у 0 Ç È
Уточняем график функции точкой перегиба.
х
1 у
рис. 2
2.
1) Д(у) = .
2) Функция не является ни четной, ни нечетной.
3) Если х = 0, у = 1.
Если у = 0, то х + 1 = 0, x = –1.
Отмечаем точки (0;1), (–1;0).
4) а) вертикальных асимптот нет.
б) наклонная асимптота. Находим:
к = 0 при х ® ¥.
,
значит наклонных асимптот нет.
в) горизонтальная асимптота. Находим:
у = 0 – асимптота при . Кривая стремится к оси Ох при х®+¥.
Кривая слева находится внизу.
5) Находим:
Находим критические точки:
у' = 0 при х = 0.
max
у' + – х
у
0
у'(–1)>0, у' (1)<0.
Изобразим схематично график функции (рис. 3.).
рис. 3
6)
у'' = 0 при х = 1.
т . перегиба
у'' – + х
у
Ç 1 È
у''(–1)<0, у''(2)>0.
Контрольная работа
Задача 1. Найти производную функции:
1.1 ; ; ;
; ; .
1.2 ; ; ;
; ; .
1.3
.
1.4
.
1.5
.
1.6
.
1.7
/
1.8
.
1.9
.
1.10
.
1.11
/
1.12
.
1.13
.
1.14
.
1.15
.
1.16
.
1.17
.
1.18
.
1.19
.
1.20
.
1.21
.
1.22
.
1.23
.
1.24
.
1.25
.
1.26
.
1.27
.
1.28
.
1.29
.
1.30
.
Задача 2. Найти производные второго порядка.
Задача 3. Методом дифференциального исчисления исследовать и построить график функции.
.
Задача 4. Пользуясь правилом Лопиталя вычислить пределы.
| 4.1 | ||
| 4.2 | ||
| 4.3 | ||
| 4.4 | ||
| 4.5 | ||
| 4.6 | ||
| 4.7 | ||
| 4.8 | ||
| 4.9 | ||
| 4.10 | ||
| 4.11 | ||
| 4.12 | ||
| 4.13 | ||
| 4.14 | ||
| 4.15 | ||
| 4.16 | ||
| 4.17 | ||
| 4.18 | ||
| 4.19 | ||
| 4.20 | ||
| 4.21 | ||
| 4.22 | ||
| 4.23 | ||
| 4.24 | ||
| 4.25 | ||
| 4.26 | ||
| 4.27 | ||
| 4.28 | ||
| 4.29 | ||
| 4.30 |
Задача 5. С помощью формулы Тейлора приближенно вычислить. С точностью до 0,001.
, где - номер варианта.
Задача 6. Вычислить действительные корни уравнения с точностью 0,01. Значения а и взять из таблицы.
Таблица
| № вар | а | |
| 6.1 | -8 | |
| 6.2 | ||
| 6.3 | -3 | |
| 6.4 | ||
| 6.5 | -8 | |
| 6.6 | -5 | |
| 6.7 | -8 | |
| 6.8 | -1 | |
| 6.9 | ||
| 6.10 | ||
| 6.11 | -7 | |
| 6.12 | ||
| 6.13 | -5 | |
| 6.14 | -6 | |
| 6.15 | ||
| 6.16 | -5 | |
| 6.17 | -5 | |
| 6.18 | ||
| 6.19 | ||
| 6.20 | -6 | |
| 6.21 | -3 | |
| 6.22 | -7 | |
| 6.23 | ||
| 6.24 | -6 | |
| 6.25 | -15 | |
| 6.26 | -5 | |
| 6.27 | -5 | |
| 6.28 | -5 | |
| 6.29 | -5 | |
| 6.30 | -5 |
Задача 7. Дана кривая в параметрической форме, вычислить ее кривизну в точке и составить уравнение касательной при заданном параметре .
ТАБЛИЦА
| № вар | Уравнение кривой | |
| 7.1 | ||
| 7.2 | ||
| 7.3 | ||
| 7.4 | ||
| 7.5 | ||
| 7.6 | ||
| 7.7 | ||
| 7.8 | ||
| 7.9 | ||
| 7.10 | ||
| 7.11 | ||
| 7.12 | ||
| 7.13 | ||
| 7.14 | ||
| 7.15 | ||
| 7.16 | ||
| 7.17 | ||
| 7.18 | ||
| 7.19 | ||
| 7.20 | ||
| 7.21 | ||
| 7.22 | ||
| 7.23 | ||
| 7.24 | ||
| 7.25 | ||
| 7.26 | ||
| 7.27 | ||
| 7.28 | ||
| 7.29 | ||
| 7.30 |
Задача 8. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на заданном отрезке .
| № вар | |||
| 8.1 | , | ||
| 8.2 | , | ||
| 8.3 | , | ||
| 8.4 | , | ||
| 8.5 | , | ||
| 8.6 | , | ||
| 8.7 | , | ||
| 8.8 | , | ||
| 8.9 | , | ||
| 8.10 | , | ||
| 8.11 | , | ||
| 8.12 | , | ||
| 8.13 | , | ||
| 8.14 | , | ||
| 8.15 | , | ||
| 8.16 | , | ||
| 8.17 | , | ||
| 8.18 | , | ||
| 8.19 | , | ||
| 8.20 | , | ||
| 8.21 | , | ||
| 8.22 | , | ||
| 8.23 | , | ||
| 8.24 | , | ||
| 8.25 | , | ||
| 8.26 | , | ||
| 8.27 | , | ||
| 8.28 | , | ||
| 8.29 | , | ||
| 8.30 | , |