Основные сигналы, используемые в системах и устройствах

Цифровой обработки

1) 1, n=0

h(n)= – единичный импульс

0, n≠0

2) 1, n≥0

h1(n)= – единичный скачок

0, n<0

3) h2(n)= cos(nTω)

Физически 1), 2) и 3) реализуются следующим образом :

1)

4) h4(n)=exp(jωT) – комплексная экспонента.

Линейные системы с постоянными параметрами

Соотношение типа свёртки:

∞

y(n)=∑x(n)h(n-m) , где h(n-m) − импульсная характеристика

m=−∞ дискретной системы с постоянными параметрами .

∞

Sвых(t)=∫ Sвх(t)g(t-τ)dτ – свёртка

−∞

∞

y(n)=∑h(n)h(n-m)=h(m)

m=−∞

Единичный импульс позволяет определить импульсную характеристику линейной системы с постоянными параметрами.

(х – входные, у -- выходные)

Устойчивость и физическая реализуемость линейных систем с

Постоянными параметрами

Импульсная характеристика обязана находиться в области (+) отсчетов дискретной шкалы времени.Критерием данной установки служит конечность импульсной характеристики.

∞

∑ |h(n)| ≤ M, где M – любое возможное число

m=−∞ n=0…∞

Для устойчивости h(n)=аⁿ, д.б. 0<а<1 – сумма членов геометрической прогрессии.

При а=1 → ∑= ∞.

Устойчивая линейная система с постоянными параметрами – при любой ограниченной последовательности выходная последовательность также ограничена.

Необходима условная устойчивость – т.е. условие конечности импульсной характеристики

Система с постоянными параметрами характеризуется тем, что если входной последовательности x(n) соответствует выходная последовательность y(n), то входной последовательности x(n-n0) будет соответствовать вых. последов-ть y(n-n0).

Для линейной системы с постоянными параметрами (ЛПП) входная и выходная последовательности связаны соотношением типа свёртка:

x(n) → ЛПП (h(n)) → y(n)

h(n) – отклик системы на единичный импульс.

Если : x1(n) и x2(n) – некоторые вх. последовательности, а y1(n) и y2(n) – соответствующие им отклики, то для линейной системы при подаче на вход последовательности в виде аx1(n)+ bx2(n),

на выходе получится аy1(n)+by2(n),

при любых произвольных и постоянных а и b.

Импульсная характеристика является одним из способов описания линейной дискретной системы с постоянными параметрами.

Вторым способом являются разностные уравнения .

Разностные уравнения (РУ)

Системы, у которых вх. и вых. последовательности связаны с линейным РУ с постоянными коэффициентами, образуют подмножество класса линейных систем (ЛС) с постоянными параметрами.

Описание ЛС разностными уравнениями позволяет найти эффективные способы построения таких систем. По РУ-ю можно определить собственные частоты ( f ) системы и их кратность, порядок системы, а также частоты, соответствующие нулевому коэффициенту передачи и т.д.

РУ имеет вид :

M M

y(n)=∑b(i)x(n-i)-∑a(i)y(n-i) ,

i=0 i=1

где a и b – описывают конкретную систему, причем a≠0 , b≠0.

Последнее уравнение записывается в виде, удобном для решения методом прямой подстановки. Имея набор начальных условий, под которыми понимаются значения x(i) и y(i) для номеров і = -1, -2, … M и конкретная входная последовательность x(n), методом прямой подстановки по РУ можно вычислить вых. послед-ть y(n) для моментов времени n≥0.

Пример :

Разностное уравнение: y(n)=x(n)-3y(n-1)

Входная последовательность x(n)=n²+n

Начальное условие y(-1)=0

проверить h(0)=1 y(0)=0

устойчивость h(1)=(-3) ∑=∞ y(1)=2

h(2)=9 y(2)=0

h(3)=(-27) y(3)=12

y(4)=(-16)

y(5)=78

y(6)=(-192)

Хотя решение РУ прямой подстановкой в некоторых случаях целесообразно, значительно полезней получить решение в явном виде. Методы нахождения таких решений следует смотреть в справочнике.

Основная идея сводится к получению 2-х решений РУ : 1) однородного ;

2) частного.

1) однородное решение – получается путем подстановки нулей вместо всех элементов, содержащих отсчеты входной последовательности x(n), и определения отклика при нулевой x(n). Эти решения описывают основные свойства заданной системы;

2) частное решение – получается при подборе вида y(n) при заданной x(n)

(см. 2-ю часть примера).

Для определения произвольных постоянных однородного решения используются начальные условия.

Важное значение РУ состоит в том, что они позволяют непосредственно определить способ построения цифровой системы.

Примеры:

1) РУ : y(n)=(-a1)y(n-1)+b0x(n)+b1x(n-1)

Система, реализующая это РУ :

Обозначения в схеме :

a1, b0 и b1 – перемножители;

задержка – регистр, осуществляющий задержку на один интервал дискретного времени.

Порядок системыопределяется количеством задержек, включенных последовательно.

3) РУ : y(n)=(-a2)y(n-2)-a1y(n-1)+b0x(n)+b1x(n-1)+b2x(n-2)

Блок задержки осуществляет задержку отсчетов на один интервал дискретного времени.

Для входной и выходной последовательностей используются раздельные элементы – прямая форма. Обе схемы соответствуют прямой форме.

Системы 1-го и 2-го порядков м.б. использованы при реализации систем более высоких порядков, т.к. последние м.б. представлены в виде последовательного или параллельного соединения систем 1-го и 2-го порядков.

Аналогия с активными фильтрами.