Структуры и уравнения импульсных систем

Рассмотрим импульсную следящую систему с амплитудно–импульсной модуляцией.

Рис. 18

Рассогласование x(t) является входным сигналом в импульсный элемент. Выходной сигнал импульсного элемента u^*(t) является импульсная функция времени, о чем говорит "^*". Непрерывная часть является фильтром. На её выходе будет непрерывный сигнал, который по цепи обратной связи поступает на датчик рассогласования и вычитается из сигнала управления g(t).

Разделим импульсный элемент на две части. Первую часть представим ключом ┴ , которая называется дискретизатором или простейшим импульсным элементом. Вторая – формирователем импульса.

Рис. 19

Непрерывная часть представлена некоторым передаточным звеном W_н(t).

Дискретизатор преобразует непрерывный сигнал x(t) в последовательность импульсов нулевой длительности, т.е. в решетчатую функцию

(3.1)

где δ(t – nT) – последовательность смещенных на период дискретизации Т δ–функций.

Вместо непрерывного сигнала x(t) можно выделить лишь значения функции в моменты времени nT, эта операция и выполняется домножением на δ–функцию.

x^*(t) = x[nT], (3.2)

где x[nT] – множество значений х в моменты времени nT.

Формирователь генерирует на каждый импульс решетчатой функции единичный импульс длительностью γT

s(t) = 1(t) – 1(t – γT).

Определим передаточную функцию формирователя, для этого применим к s(t) преобразование Лапласа.

(3.3)

Передаточная функция непрерывной части определяется применением преобразования Лапласа к непрерывной части

(3.4)

Для типовых звеньев они определены ранее.

3.2. Дискретные преобразования

Для решетчатых функций введем понятие дискретного преобразования Лапласа по аналогии с непрерывным преобразованием Лапласа.

Непрерывное преобразование Лапласа

(3.5)

Дискретное преобразование Лапласа

(3.6)

Обозначим e^pT = Z.

Тогда получим

(3.7)

Полученное преобразование называется дискретным Z–преобразованием или Z–преобразованием и обозначается X[Z] = Z{x[nT]}, примененным к решетчатой функции x[nT].

Значения изображений по Лапласу, решетчатые функции и Z–преобразования для некоторых непрерывных функций приведены в табл. 3.1.

Перейдем к функциям комплексного переменного, заменив р на jω, и посмотрим, как переменная Z изображается на комплексной плоскости.

Учитывая, что Z = e^Tp, при р → jω

получим Z = e^jωΤ.

Таблица 3.1

Исходная линейная функция	Изображение по Лапласу	Решетчатая функция	Z-преобразования
δ(t)		δ[nT]
δ(t–γT)	e-γTp	δ[nT–γT]	Z-γ
1(t)		1[nT]
1(t)–1(t–γT)		1[nT] –1[nT–T]
t		[nT]
e-αt		e-αnT
1–e-αt		1–e-αnT
te-αt		nTe-αnT

Заменим ωT на безразмерную частоту .

Z = e^j = cos – j∙sin . (3.8)

Видим, что мнимая ось j преобразуется на комплексной Z–плоскости в окружность единичного радиуса, причем отрицательная полуплоскость комплексной плоскости будет лежать внутри этой окружности.

При таком представлении комплексной плоскости изменяются известные частотные критерии устойчивости автоматических систем.

С целью реализации возможности применения известных критериев устойчивости необходимо развернуть мнимую ось из окружности в линию. Для этого используют w–преобразование.

(3.9)

Обычно применяют модифицированное w–преобразование.

(3.10)

где – псевдочастота,

Представим Z– и w–преобразования на комплексной плоскости.

Рис. 20

Если изменяется от 0 до π, то ω^* изменяется от 0 до ∞.