Нелинейной системы методом гармонической линеаризации

Гармоническая линеаризация нелинейного звена

Пусть в системе автоматического регулирования имеется нелинейное звено, которое вызывает незатухающие колебания, т.е. система находится на границе устойчивости (рис. 1).

Рис. 1

Выходной сигнал y нелинейного звена является функцией входного – х

y = F(x). (1.1)

Если в системе возникнут незатухающие колебания, тогда входной сигнал х нелинейного звена будет изменяться по гармоническому закону

x=a sin wt, (1.2)

где а – амплитуда колебаний, w – частота.

Выходной сигнал y представим в виде ряда Фурье

(1.3)

Высшие гармоники рассматривать не будем, так как линейная часть системы обычно является фильтром пропускающим только ту частоту, на которой возникли колебания. Кроме того, ограничимся рассмотрением нелинейных звеньев с симметричной статической характеристикой. Тогда первое слагаемое в разложении y будет равно нулю, т.е. постоянная составляющая отсутствует

Введем обозначения для коэффициентов в разложении (1.3)

(1.4)

Выразим sin wt через a и x

(1.5)

Для вычисления cos wt продифференцируем выражения (1.5) по времени

px = a w cos wt;

. (1.6)

Подставим выражения (1.5) и (1.6) в (1.3) и учтем обозначения (1.4)

Коэффициенты q(a,w) и q'(a,w) называются коэффициентами гармонической линеаризации нелинейного звена, а само линеаризованное звено по своему виду похоже на линейное с уравнением

(1.7)

Передаточная функция звена

(1.8)

Вычисление коэффициентов гармонической линеаризации для

Нелинейного звена типа насыщение

Л. 15. Пусть характеристика нелинейного звена F(x) имеет ограничение (рис.2)

F(x) = x tga при x b,

F(x) = c при x>b. (1.9)

Рис. 2

Для нее заданы: угол a, значение F(x) = c при x = b

(1.10)

Если x b, то звено работает как линейное с коэффициентом усиления k=tga.

Если x>b, то звено работает как нелинейное, и только в этом случае систему можно рассматривать как нелинейную.

Пусть входной сигнал х изменяется по гармоническому закону x = a sin wt с частотой w (рис.3).

Для определения y найдем коэффициенты ряда Фурье

. (1.11)

Рис.3

В связи с тем, что при F(a sin ωt) > 0, sin ωt > 0, а при F(a sin ωt) < 0 sinωt<0, правую часть выражения (1.11) разобьем на три интеграла

(1.12)

Выразим пределы интегрирования через параметры нелинейного звена

Вычислим q(a,ω)

(1.13)

Вычислим q'(a,ω)

.

Определим новые пределы интегрирования

Таким образом для коэффициентов гармонической линеаризации звена с ограничением получим

Определение амплитуды и частоты автоколебаний в нелинейной

Системе

Представим автоматическую систему в виде последовательно соединенных линейного и нелинейного звеньев (рис.4).

Рис. 4

Передаточная функция линейной части, например, системы слежения за целью имеет вид

(1.15)

Передаточная функция нелинейной части представлена выражением (1.8) и вычислена в п. 1.2.

(1.16)

Структурная схема системы изображена на рис.5.

Рис. 5

Для замкнутой системы будем иметь

(1.17)

Запишем уравнение системы по передаточной функции (1.17)

(1.18)

или

(1.19)

Для того чтобы в системе имели место незатухающие колебания, она должна находиться на границе устойчивости. В этом случае при некоторой частоте ω_n и амплитуде a_n годограф Михайлова должен проходить через ноль, т.е.

(1.20)

Разобьем это уравнение на два

(1.21)

Решая совместно уравнения системы (1.21), найдем ω_n и a_n.

Если аналитически систему (1.21) решить трудно, тогда можно это сделать графоаналитически. С этой целью определяем ω_n из второго уравнения системы (1.21)

Y(ω_n) = 0 ,

Из двух решений нас удовлетворяет только положительное значение ω_n

Из первого уравнения трудно найти а_n при

Однако вычислив ω для различных значений а, пользуясь первым уравнением системы (1.21) и построив график ω = ω(а), легко для известного значения ω_n по графику найти а_n (рис. 6).

Рис. 6

Если для известного ω_n по графику невозможно найти а_n, то автоколебаний в системе не существует.