Исследование устойчивости и автоколебаний

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение………………………………………………………………………4

1. Исследование устойчивости и автоколебаний нелинейной

системы методом гармонической линеаризации………………………...5

1.1. Гармоническая линеаризация нелинейного звена………………..……5

1.2. Вычисление коэффициентов гармонической линеаризации для

нелинейного звена типа насыщение……………………………..……..6

1.3. Определение амплитуды и частоты автоколебаний в

нелинейной системе……………………………………………..……....9

1.4. Определение устойчивости автоколебаний в нелинейной

системе………………………………………………………………….12

1.5. Варианты решений по устранению автоколебаний в системе……...13

2. Особые линейные системы……………………………………………...13

2.1. Системы с запаздыванием…………………………………………….13

2.2. Распределенные системы……………………………………………...17

2.3. Дискретные системы…………………………………………………..18

3.Импульсные системы автоматического управления…………………...23

3.1. Структуры и уравнения импульсных систем………………………...23

3.2. Дискретные преобразования…………………………………………..24

3.3. Дискретные передаточные функции………………………………….26

3.4. Частотные характеристики импульсных систем…………………….30

3.5. Устойчивость импульсных систем…………………………………...33

4. Цифровые системы автоматического управления…………………….38

4.1. Структуры цифровых………………………………………………….38

4.2. Передаточные функции непрерывной части системы………………40

4.3. Экстраполяторы………………………………………………………..41

4.4. Передаточные функции ЦВМ………………………………………...42

4.5. Передаточные функции цифровых автоматических систем………..43

4.6. Устойчивость цифровых автоматических систем (ЦАС)…………...46

4.7. Переходные процессы в ЦАС………………………………………...49

Список использованных источников……………………………………..52

ВВЕДЕНИЕ

В дисциплине "Специальные системы автоматического управления" рассматриваются:

– нелинейные системы с нелинейностями типа люфт, зона нечувствительности, насыщение, ограничение, гистерезис и др. с точки зрения возникновения в них автоколебательного режима;

– особые линейные системы, которые при определенных допущениях можно рассматривать как линейные, например, системы с запаздыванием, распределенные и дискретные системы;

– импульсные системы;

– цифровые системы.

Для изучения дисциплины необходимо предварительно ознакомиться с теорией автоматического регулирования в объеме обыкновенных линейных автоматических систем и математическим аппаратом на уровне подготовки в высших технических учебных заведениях, обратив внимание на разделы: дифференциальное и интегральное исчисление, преобразование Лапласа, функции комплексного переменного, обыкновенные дифференциальные уравнения.

Предлагаются изучению основные структуры специальных автоматических систем, способы описания систем с использованием обыкновенных дифференциальных уравнений, линейного и дискретного преобразования Лапласа, Z– и W– преобразований. Для анализа устойчивости систем используются алгебраические и частотные критерии устойчивости, известные из теории обыкновенных линейных автоматических систем, а также специальные, применимые для импульсных и цифровых систем.

ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ И АВТОКОЛЕБАНИЙ

НЕЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ МЕТОДОМ ГАРМОНИЧЕСКОЙ ЛИНЕАРИЗАЦИИ

Вычисление коэффициентов гармонической линеаризации для

Определение амплитуды и частоты автоколебаний в нелинейной

Системе

Представим автоматическую систему в виде последовательно соединенных линейного и нелинейного звеньев (рис.4).

Рис. 4

Передаточная функция линейной части, например, системы слежения за целью имеет вид

(1.15)

Передаточная функция нелинейной части представлена выражением (1.8) и вычислена в п. 1.2.

(1.16)

Структурная схема системы изображена на рис.5.

Рис. 5

Для замкнутой системы будем иметь

(1.17)

Запишем уравнение системы по передаточной функции (1.17)

(1.18)

или

(1.19)

Для того чтобы в системе имели место незатухающие колебания, она должна находиться на границе устойчивости. В этом случае при некоторой частоте ω_n и амплитуде a_n годограф Михайлова должен проходить через ноль, т.е.

(1.20)

Разобьем это уравнение на два

(1.21)

Решая совместно уравнения системы (1.21), найдем ω_n и a_n.

Если аналитически систему (1.21) решить трудно, тогда можно это сделать графоаналитически. С этой целью определяем ω_n из второго уравнения системы (1.21)

Y(ω_n) = 0 ,

Из двух решений нас удовлетворяет только положительное значение ω_n

Из первого уравнения трудно найти а_n при

Однако вычислив ω для различных значений а, пользуясь первым уравнением системы (1.21) и построив график ω = ω(а), легко для известного значения ω_n по графику найти а_n (рис. 6).

Рис. 6

Если для известного ω_n по графику невозможно найти а_n, то автоколебаний в системе не существует.

Системе

Для определения устойчивости автоколебаний в автоматической системе необходимо выяснить тенденцию к изменению амплитуды автоколебаний вблизи частоты ω_n. Проверить это проще всего с помощью критерия Михайлова.

При ω_т и a_n точка кривой Михайлова лежит в начале координат (рис. 7).

Рис. 7

Увеличим a_n на Δa и вычислим несколько точек кривой Михайлова для а=a_n+Δa и ω=ω_n+Δω. Затем уменьшим a_n на Δa и произведем аналогичные вычисления для а=a_n–Δa и ω=ω_n±Δω. Построим участки кривой Михайлова для новых значений амплитуды a=a_n±Δa.

Если при а=а_n+Δа кривая охватывает точку с координатами (0,0), а при а=a_n–Δa не охватывает, тогда найденные колебания с частотой ω_n и амплитудой a_n будут устойчивыми. Если это условие не выполняется, тогда автоколебания в системе не возникнут.

Варианты решений по устранению автоколебаний в системе

Для устранения колебания необходимо, чтобы система уравнений

(1.22)

не имела решений.

Технически можно менять только те параметры, которые не влияют на устойчивость линейной системы или не требуют значительного изменения конструкции.

Наиболее доступными для изменения в рассматриваемом случае являются такие параметры как К и С, однако изменение К повлияет на качество регулирования. Для изменения С можно взять усилитель с более высоким уровнем выходного напряжения, но чтобы двигатель эти напряжения выдерживал без снижения надежности. Если же изменением С не удается убрать автоколебания, тогда необходимо изменить К и пересчитать всю систему заново.

ОСОБЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ

Системы с запаздыванием

Примерами системы с запаздыванием могут служить системы с акустической линией связи, где на прохождение сигнала по акустической линии требуется некоторое время t; системы управления спутниками, межпланетными станциями, объектами на Луне, Венере, Марсе и др. планетах или на орбитах вокруг этих планет, здесь на прохождение радиосигнала может затрачиваться значительное время; всевозможные системы с передачей изделий по транспортной линии, т.е. системы с транспортным запаздыванием; цифровые системы, в которых на обработку информации затрачивается некоторое время. В перечисленных системах имеется элемент запаздывания с временем запаздывания t (рис. 8). Такой элемент описывается дифференциальным уравнением вида

x₂( t ) = x₁( t – τ ). (2.1)

Рис. 8

Переходная характеристика звена, представленного элементом запаздывания, изображена на рис. 9.

Рис. 9

Передаточная функция звена определяется как отношение изображения по Лапласу выходной величины к входной при нулевых начальных условиях

* (2.2)

* (передаточная функция дана без вывода).

Пусть в системе с передаточной функцией разомкнутого контура W_л(p) имеется звено с запаздыванием W_з(p) (рис. 10).

Рис. 10

На рис. 10 обозначены: G – входное управляющее воздействие, Х₂ – выходной сигнал, ΔХ – сигнал рассогласования, Х₁ – входной сигнал звена с запаздыванием.

Передаточная функция разомкнутой системы с запаздыванием будет иметь вид

W(p)=W_л(p)W_з(p). (2.3)

Перейдем к частотной передаточной функции, для этого, как известно, необходимо оператор р заменить комплексной переменной jω

W(jω)=W_л(p)W_з(jω)=W_л(jω)e^–τjω (2.4)

или в показательной форме

(2.5)

В уравнении (2.5) имеем амплитуду и фазу:

(2.6)

Построим АФХ системы с запаздыванием, для которой

– апериодическое звено (рис.11).

Рис. 11

Для апериодического звена φ₀(ω) изменяется от 0^о до – 90^о, амплитуда от К до 0. Фаза при введении запаздывания увеличивается на τω больше, амплитуда же остается без изменения.

Представим амплитуду и фазу в логарифмическом масштабе, т.е. построим ЛАХи для системы с параметрами: К=10; 20lgК=20дБ; Т=0.1с; ω_с=10; lgω_с=1 (рис. 12).

Рис. 12

Как видно из АФХ и ЛАХов запаздывание понижает устойчивость системы. Увеличение запаздывания τ приближает систему к границе устойчивости. Определим такую величину запаздывания, которая делает неустойчивой изначально устойчивую систему. В соответствии с критерием Найквиста система будет находиться на границе устойчивости, если АФХ пройдет через точку с координатами (–1,0). Это условие описывается системой уравнений

(2.7)

Для выбранного апериодического звена в линейной части системы амплитудная и фазовая частотные характеристики можно выразить через параметры и частоту

(2.8)

Пусть условие (2.7) выполняется на некоторой частоте ω₁, тогда

(2.9)

Вычислим ω₁ из первого уравнения системы (2.9)

(2.10)

Из второго уравнения системы (2.9) находим τ_кр.

(2.11)

Таким образом, при расчете устойчивости системы с запаздыванием следует учитывать величину запаздывания и при необходимости ее уменьшать.

Распределенные системы

Элементы распределенных систем разнесены в пространстве. На передачу сигналов между частями распределенной системы затрачивается некоторое время, которое можно рассматривать как запаздывание. Системы могут также содержать звенья, параметры которых распределены по длине. Такие системы называются системами с распределенными параметрами. Их динамика описывается уравнениями в частных производных.

Рассмотрим, например, в качестве звена с распределенными параметрами длинную электрическую линию (коаксиальный кабель). Система уравнений длинной линии содержит уравнение для токов и уравнение для напряжений.

(2.12)

где x, u, i – расстояние, напряжение и ток; l, c, r, q – индуктивность, емкость, сопротивление и проводимость на единицу длины линии.

Для нахождения передаточной функции звена с распределенными параметрами определяются граничные условия на концах длинной линии. Далее решается уравнение в частных производных с учетом определенных граничных условий. Результатом решения является трансцендентная передаточная функция

(2.13)

где L – длина линии.

При отсутствии потерь (r=0, q=0) передаточная функция длинной линии приводится к более простому виду

W_p(p)=e^–τp, (2.14)

где

Получаем, что элемент с распределенными параметрами сводится к элементу запаздывания. Исследование такой системы осуществляется так же, как и системы с запаздыванием.

Дискретные системы

Дискретные системы имеют все большее распространение в технике. К ним относят импульсные, цифровые и релейные. В импульсных системах производится квантование сигнала по времени, в релейных – по уровню, в цифровых – по времени и уровню. Следовательно, дискретная система отличается от непрерывной наличием одного или нескольких звеньев, осуществляющих квантование непрерывного сигнала по времени, уровню или по времени и уровню.

Дискретная система состоит из импульсного элемента и непрерывной части (рис. 13).

Рис. 13

В импульсных системах применяется три основных вида квантования сигнала по времени:

а) амплитудно-импульсная модуляция;

б) широтно–импульсная модуляция;

в) фазо–импульсная модуляция.

В перечисленных случаях период чередования импульсов (период квантования) постоянный. Однако возможны и более сложные варианты.

Рассмотрим работу импульсного элемента. Пусть на его вход поступает непрерывный сигнал (рис.14 а). Период квантования сигнала обозначим через Т. Выделим величину входной функции, соответствующую началу каждого периода квантования. Обозначим последовательность этих величин x[nT], где n – порядковый номер импульса. Полученная функция x^*[t] называется решетчатой (рис.14 б)

x^* [t] = x[nT].

При амплитудно-импульсной модуляции сигнал на выходе импульсного элемента будет иметь вид последовательности импульсов переменной амплитуды, постоянной длительности и частоты. Длительность импульсов одинакова и составляет часть от периода квантования γT, где 0<γ<1. Амплитуда соответствует значениям x(t) в моменты времени nT, т.е. x[nT]. Каждый импульс можно представить как произведение единичного импульса s(t)=1(t)–1(t–γT), смещенного на nT, на величину функции x(t) в моменты времени nT

s(t–nT)x[nT] . (2.15)

Формирование единичного импульса поясняется на рис. 15. Разность двух единичных функций 1(t) и смещенной на γT (рис.15 а) дает единичный импульс s(t) (рис.15 б).

Просуммировав все импульсы, получим выходной сигнал импульсного элемента

(2.16)

где аргумент единичного импульса (t–nT) означает сдвиг очередного импульса на nT от начала координат.

При широтно-импульсной модуляции изменяется ширина импульса в зависимости от амплитуды входного сигнала.

Ширина импульса γ_nT, где γ_n=а·x[nT], а – коэффициент, γ_nT <T, 0≤γ_n≤1.

Величина импульсов остается постоянной, равной +с или –с.

Выходной сигнал импульсного элемента можно представить выражением

(2.17)

где единичная функция s(t) формируется как разность 1(t)–1(t–γ_nT) для первого импульса и смещается на nT для последующих.

Рис. 14

Рис. 15

При фазо–импульсной модуляции импульсы остаются одинаковыми по высоте ±c и длительности γТ, но смещаются от начала такта на величину βn, пропорциональную уровню входного сигнала в начале такта

β_n = b·x[nT]. (2.18)

Тогда выходной сигнал импульсного элемента запишется в виде

(2.19)

Л. 16. В цифровых системах автоматического управления к квантованию сигнала по времени добавляется квантование по уровню (рис. 16).

Период квантования по времени обозначим через Т, а размер ступеньки квантования по уровню – через h (рис. 16 а). Тогда решетчатая функция выразится как

x^*(t) = k∙h∙sign(x[nT]), (2.20)

где kh – менее чем на 1/2h отличается от х в момент времени nT (рис. 16 б).

(k – 1/2)h ≤ │x[nT]│ ≤ (k + 1/2)h.

В выходном сигнале импульсного звена значение решетчатой функции в момент nT запоминается на весь период квантования Т, поэтому выходной сигнал будет представлять из себя ступенчатую функцию (рис. 16 в). Эта модуляция называется импульсно–кодовой.

Выходная характеристика импульсного элемента цифровых систем будет тем ближе к входной, чем меньше период квантования h, т.е. чем больше число разрядов ЦВМ.

Рис. 16

Обычно в ЦВМ входной сигнал х(t) обрабатывается по некоторому алгоритму А(х), на что затрачивается некоторое время t. Это время вносит запаздывание в автоматическую систему с ЦВМ. Наконец, импульсно–кодовый элемент преобразует решетчатую функцию в ступенчатую. Поэтому ЦВМ можно представить как бы состоящей из трех частей (рис. 17).

Рис. 17

Если в цифровой автоматической системе (ЦАС) достаточно большая разрядность, т.е. h – мал, тогда x^* близко к x. Ширина импульсов γT в таких системах равна Т, так как γ = 1. При линейном алгоритме вычислений А(х) и выше оговоренных допущениях ЦАС можно считать линейной с запаздыванием. Именно такие системы мы и будем рассматривать.

Экстраполяторы

На выходе ЭВМ импульсный сигнал поддерживается на уровне, который был в начале тактового интервала Т. Время поддержания этого уровня также равно Т. Такой формирователь сигнала называется экстраполятором нулевого порядка. Именно такие экстраполяторы используются в цифровых системах. Их функцию выполняет ЦАП.

Для экстраполятора нулевого порядка уже была записана передаточная функция

При γ=1 имеем

(4.4)

Учитывая, что при переходе к Z–преобразованию делаем замену e^+Tp=Z, то e^–Tp=Z^–1=1/Z. Для передаточной функции экстраполятора запишем

(4.5)

Передаточные функции ЦВМ

ЦВМ выполняет вычисления по определенному алгоритму А(х). Этот алгоритм может быть преобразован к некоторой дискретной передаточной функции W_ц(Z). ЦВМ в цифровых системах обычно называют цифровым фильтром. Он выполняет функцию последовательного корректирующего звена. В частном случае передаточная функция ЦВМ может быть равна единице W_ц(Z)=1 или постоянному коэффициенту W_ц(Z)=К_ц. В более общем случае она может быть представлена многочленом

(4.6)

где X₁(Z) и X(Z) – решетчатые функции, записанные через Z–преобразования для выхода и входа ЦВМ.

Этот многочлен реализует операцию коррекции автоматической системы. Таким корректирующим звеном может быть звено с введением производной, интегрирующей и другие.

Выражения для некоторых дискретных передаточных функций корректирующего звена, вычисленных по непрерывному аналогу, представлены в табл. 4.2.

Таблица 4.2

Наименование кор- ректирующего звена	Передаточная функция	Дискретная передаточная функция
Апериодическое
Пассивное дифференцирующее
Интегрирующее
Изодромное

Переходные процессы в ЦАС

Для построения переходного процесса в ЦАС можно воспользоваться дискретной передаточной функцией замкнутой системы. Для рассматриваемой ЦАС такие передаточные функции получены Ф(Z)_x и Ф(Z)_y.

Для выходных сигналов X(Z), Y(Z) можно записать

X(Z)=Ф(Z)_xG(Z); Y(Z)=Ф(Z)_yG(Z), (4.30)

где G(Z) – входное воздействие.

При построении переходной характеристики в качестве входного воздействия берут единичную функцию Z–преобразование для которой имеет вид

(4.31)

Домножая дискретные передаточные функции замкнутой системы на дискретную единичную функцию, получим дискретные переходные характеристики для сигнала рассогласования и выходного

(4.32)

Передаточная функция Ф(Z)_x была записана в виде

(4.33)

Для переходной характеристики по сигналу рассогласования получим

(4.34)

Раскладывая полученное выражение в ряд Лорана, получим значения выходного параметра X[nT] в дискретные моменты времени nT, где n=0,1,2,... . Для разложения выражения X(Z) в ряд Лорана достаточно поделить числитель на знаменатель в передаточной функции (4.34).

Ряд Лорана можно записать в виде

X(Z)=c₀+c₁Z^–1+c₂Z^–2+c₃Z^–3+... , (4.35)

где коэффициенты с₀, с₁, с₂, с₃, ... – значения переходной характеристики в моменты времени nT, где n=0, 1, 2, ...

c₀=X(n)|_n=0, c₁=X(n)|_n=1, c₂=X(n)|_n=2, … .

Пример.

Построим переходной процесс в рассматриваемой следящей системе, для которой вычислим

b₀=1; b₁= –(2+d)= –(2+0.9)= –2.9;

b₂=1+2d=1+2·0.9=2.8; b₃= –d= –0.9.

Коэффициенты а₀, а₁, а₂, а₃ вычислены ранее

а₀=1; a₁= –1.029; a₂=2.791; a₃= –0.9.

Импульсная передаточная функция запишется в виде

Разложим ее в ряд Лорана

Коэффициенты полученного ряда дадут значения x(t) в моменты времени nT, так как

X(Z)=X(0)+X(1)Z^–1+X(2)Z^–2+X(3)Z^–3+...

По точкам можно построить переходную характеристику, соединив их прямыми линиями.

Рис. 34

Ряд Лорана может быть достаточно большой, так что его вычисление следует производить, например, до уровня 5% от входного сигнала g(t) = 1.

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение………………………………………………………………………4

1. Исследование устойчивости и автоколебаний нелинейной

системы методом гармонической линеаризации………………………...5

1.1. Гармоническая линеаризация нелинейного звена………………..……5

1.2. Вычисление коэффициентов гармонической линеаризации для

нелинейного звена типа насыщение……………………………..……..6

1.3. Определение амплитуды и частоты автоколебаний в

нелинейной системе……………………………………………..……....9

1.4. Определение устойчивости автоколебаний в нелинейной

системе………………………………………………………………….12

1.5. Варианты решений по устранению автоколебаний в системе……...13

2. Особые линейные системы……………………………………………...13

2.1. Системы с запаздыванием…………………………………………….13

2.2. Распределенные системы……………………………………………...17

2.3. Дискретные системы…………………………………………………..18

3.Импульсные системы автоматического управления…………………...23

3.1. Структуры и уравнения импульсных систем………………………...23

3.2. Дискретные преобразования…………………………………………..24

3.3. Дискретные передаточные функции………………………………….26

3.4. Частотные характеристики импульсных систем…………………….30

3.5. Устойчивость импульсных систем…………………………………...33

4. Цифровые системы автоматического управления…………………….38

4.1. Структуры цифровых………………………………………………….38

4.2. Передаточные функции непрерывной части системы………………40

4.3. Экстраполяторы………………………………………………………..41

4.4. Передаточные функции ЦВМ………………………………………...42

4.5. Передаточные функции цифровых автоматических систем………..43

4.6. Устойчивость цифровых автоматических систем (ЦАС)…………...46

4.7. Переходные процессы в ЦАС………………………………………...49

Список использованных источников……………………………………..52

ВВЕДЕНИЕ

В дисциплине "Специальные системы автоматического управления" рассматриваются:

– нелинейные системы с нелинейностями типа люфт, зона нечувствительности, насыщение, ограничение, гистерезис и др. с точки зрения возникновения в них автоколебательного режима;

– особые линейные системы, которые при определенных допущениях можно рассматривать как линейные, например, системы с запаздыванием, распределенные и дискретные системы;

– импульсные системы;

– цифровые системы.

Для изучения дисциплины необходимо предварительно ознакомиться с теорией автоматического регулирования в объеме обыкновенных линейных автоматических систем и математическим аппаратом на уровне подготовки в высших технических учебных заведениях, обратив внимание на разделы: дифференциальное и интегральное исчисление, преобразование Лапласа, функции комплексного переменного, обыкновенные дифференциальные уравнения.

Предлагаются изучению основные структуры специальных автоматических систем, способы описания систем с использованием обыкновенных дифференциальных уравнений, линейного и дискретного преобразования Лапласа, Z– и W– преобразований. Для анализа устойчивости систем используются алгебраические и частотные критерии устойчивости, известные из теории обыкновенных линейных автоматических систем, а также специальные, применимые для импульсных и цифровых систем.

ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ И АВТОКОЛЕБАНИЙ