Основные теоретические положения по теме 3

Теоретической основой логико-вероятностного метода (ЛВМ) является математическая логика (булева алгебра), которая оперирует с логическими выражениями, имеющими значения «истинно» (1) или «ложно» (0). Логические выражения y являются функциями логических переменных x₁, x₂, …, x_n, каждая из которых также может иметь значения 0 или 1. Из n переменных может быть образовано 2ⁿ наборов и 2²ⁿ логических функций.

Для преобразования алгебраических выражений используются следующие тождества и законы математической логики:

закон коммутативности:

закон ассоциативности:

закон дистрибутивности:

закон поглощения:

Логические функции, которые применительно к задачам надежности принято называть функциями работоспособности (надежности), могут задаваться в словесной форме, таблицами истинности, алгебраическими выражениями или графиками.

Для записи функции работоспособности в алгебраической форме используется одно из следующих выражений:

(3.1)

или

(3.2)

где y_i – значение функции работоспособности для соответствующей строки, 0 или 1; m_i – конъюнкция набора элементов i-ой строки; M_i – дизъюнкция набора элементов i-ой строки.

Представление функции работоспособности в виде (3.1), включающем в каждую дизъюнкцию конъюнкции всех элементов, называют совершенной дизъюнктивной нормальной формой (СДНФ), а в виде (3.2) - совершенной конъюнктивной нормальной формой (СКНФ).

Пример. В качестве примера рассмотрим функцию работоспособности системы, состоящей из трех элементов и заданной таблицей истинности 3.1.

Табл. 3.1

x1	x2	x3	y

Функция работоспособности в СДНФ имеет вид:

Функции работоспособности, записанные в СДНФ и СКНФ, не являются минимальными. Для минимизации функции работоспособности и приведения ее к бесповторной форме могут быть непосредственно использованы вышеприведенные тождества и законы. Для минимизации функции объединяют члены, различающиеся состоянием только одного элемента:

Функции работоспособности в бесповторной форме имеет вид:

Функция работоспособности в СКНФ в соответствии с (3.2) имеет вид:

Поскольку 1+x=1, то:

Для минимизации функции перемножим члены, стоящие в первой и второй, третьей и четвертой скобках. Учитывая, что получаем:

В соответствии с теоремой о поглощении из первой скобки уходят все конъюнкции, включающие x₂ и x₃, а из второй скобки x₁:

И в СДНФ и в СКНФ получен одинаковый результат.

Для записи функции работоспособности в минимальной бесповторной дизъюнктивной форме могут быть использованы минимальные пути, а в конъюнктивной – минимальные сечения. Принципы их определения рассмотрены в теме 2.

Сопоставляя функции работоспособности в СДНФ и СКНФ, видим, что в них входят наборы из таблицы истинности, соответствующие y=1 и y=0. При расчете выбирают ту форму записи, которой соответствует меньшее число членов в (3.1) и (3.2).

При числе переменных более трех таблицы истинности становятся громоздкими и непосредственная минимизация функции работоспособности становится затруднительной. Для снижения размерности задачи выполняют декомпозицию функции работоспособности, опирающуюся на теорему разложения математической логики.

В качестве примера запишем функцию алгебры логики (ФАЛ) в виде СДНФ и СКНФ, описывающих усло­вия работоспособности системы с НФС, изображенной на рис. 3.1.

ФАЛ, записанная через СДНФ по формуле (3.1), будет иметь вид:

.

Рис. 3.1

ФАЛ, записанная по формуле (3.2) имеет вид:

Раскрыв скобки во втором выражении и сделав несложные преобразования, нетрудно убедиться, что эти выражения тождественны, однако запись ФАЛ через СКНФ получилась более громоздкой. Эта запись необходима при оценке ПН восстанавливаемых систем, о чем будет сказано дальше. При оценке надежности невосста­навливаемых систем запись ФАЛ через СКНФ может быть рекомендована лишь в том случае, когда в НФС явно преобладают параллельные соединения элементов.

Особенностью ЛВМ является то, что для расчета ПН невосстанавливаемых и восстанавливаемых систем не­обходимо пользоваться различными методиками.