Метод минимальных путей и сечений

Вряде случаев для анализа надежности сложной системы бывает достаточным определить граничные оценки надежности сверху и снизу.

При оценке вероятности безотказной работы сверху определяют минимальные наборы работоспособных элементов (путей), обеспечивающих работоспособное состояние системы. При формировании пути, считая, что все элементы находятся в неработоспособном состоянии, последовательным переводом элементов вработоспособное состояние производят подбор вариантов соединений элементов, обеспечивающих наличие цепи.

Набор элементов образует минимальный путь, если исключение любого элемента из набора приводит к отказу пути. Из этого вытекает, что в пределах одного пути элементы находятся в основном соединении, а сами пути включаются параллельно. Так, для рассмотренной мостиковой схемы (см. рис. 2.2) набор минимальных путей представлен на рис. 2.4. Поскольку один и тот же элемент включается в два параллельных пути, то в результате расчета получается оценка безотказности сверху:

.

При определении минимальных сечений осуществляется подбор минимального числа элементов, перевод которых из работоспособного состояния в неработоспособное вызывает отказ системы. При правильном подборе элементов сечения возвращение любого из элементов в работоспособное состояние восстанавливает работоспособное состояние системы. Поскольку отказ каждого из сечений вызывает отказ системы, то первые соединяются последовательно. В пределах каждого сечения элементы соединяются параллельно, так как для работы системы достаточно наличия работоспособного состояния любого из элементов сечения.

Схема минимальных сечений для мостиковой схемы приведена на рис. 2.5. Поскольку один и тот же элемент включается в два сечения, то полученная оценка является оценкой снизу:

.

Рис. 2.4. Набор минимальных путей

Рис.2.5. Набор минимальных сечений

В рассматриваемом примере оценка безотказности снизу совпадает с фактической безотказностью, рассчитанной по первым двум методам.

Таким образом, при составлении минимальных путей и сечений любая система преобразуется в структуру с параллельно-последовательным или последовательно-параллельным соединением элементов.

Примеры решения задач

Пример 1. Определить вероятность безотказной работы системы, структурная схема которой представлена на рис. 2.6.

Рис. 2.6

Решение: Так как элементы рассматриваемой системы находятся в последовательно-параллельном соединении, то для расчета вероятности безотказной работы системы можно использовать классический метод:

.

Пример 2. Определить вероятность безотказной работы системы, структурная схема которой представлена на рис. 2.7. Для расчета использовать метод минимальных путей и сечений.

Рис. 2.7. Двойная мостиковая схема соединения элементов

Решение: Определим минимальные наборы работоспособных элементов (путей), обеспечивающих работоспособное состояние системы. Схема минимальных путей представлена на рис. 2.8, а. Так как полученная схема является последовательно – параллельной, для расчета вероятности безотказной работы системы можно использовать классический метод:

а) б)

Рис. 2.8. Набор минимальных путей (а) и набор минимальных сечений (б)

Схема минимальных сечений представлена на рис. 2.8, б. Полученная схема также является последовательно – параллельной:

Пример 3. Определить вероятность безотказной работы двойной мостиковой схемы (см. рис. 2.7.) с использованием метода разложения относительно особого элемента.

Решение:

Используя формулу полной вероятности (2.8) и производя последовательное выделение двух особых элементов: пятого и шестого, получим вероятность безотказной работы двойной мостиковой схемы:

.

2.3 Контрольные вопросы и задания

1. Какой элемент системы со сложной структурой выделяется в качестве особого?

2. Почему методы минимальных путей и сечений дают оценки надежности соответственно сверху и снизу?

3. Структурные схемы какого вида принято называть основным соединением элементов?

4. Назовите способы расчета показателей надежности системы через известные показатели надежности ее элементов при резервном соединении элементов.

5. В чем недостаток метода перебора состояний?

6. Что такое минимальный путь?

7. Что такое минимальное сечение?

8. Когда можно использовать классический метод расчета надежности?