Универсальное поперечное меркаторово картирование

Географические координаты (j,l) определяют точку опорного эллипсоида. Для большинства практических целей полезно иметь координатное представление в двухмерной плоскости. Картирование эллипсоида в плоскость может быть проведено с помощью конформного отображения. Конформность оставляет форму малых фигур, тогда как расстояние может масштабироваться.

Наиболее широко распространенное конформное отображение было введено Департаментом Обороны США сразу после Второй Мировой Войны. Оно называется универсальная поперечная проекция Меркатора (УПМ).

Опорный эллипсоид – Международный эллипсоид 1924 года. Отображение определено для всей Земли.

Было желательным, чтобы изменения масштаба m были ограничены, поэтому полное отображение Земли разделено на 60 секций, называемых зонами. Каждая зона покрывает 6^о долготы, зоны нумеруются от 1 до 60. Номер 1 захватывает 180^о – 174^о западной долготы, номер 2 захватывает 174^о – 168^о западной долготы и т.д. Масштаб на центральном меридиане 0.9996. Система УПМ ограничена параллелью 84^о северной широты и 80^о южной широты. Области полюсов картографированы стереографически.

Координаты называются отклонением к северу N и отклонением к востоку E. Каждая зона имеет свою систему координат. Центральный меридиан имеет ложное смещение к востоку (ЛВ) на 500000 м, а экватор ложное смещение к северу 0 м для точек на северной полусфере 10000000 м для точек на южной полусфере. Такое простое упорядочение делает все координаты положительными.

Преобразование географических координат (j,l) в УПМ координаты (N,E) и обратно часто требуется на практике. Эти задачи можно решить с помощью M‐файлов geo2utm и utm2geo:

[N,E]=geo2utm(phi, lambda, zone) [phi, lambda]=utm2geo (N,E, zone)

Ослабление точности

Ковариантная матрица

Sxˆ, как описано в (8.25), содержит информацию о геометрическом качестве определения

положения. Оно меньше (и xˆ более точно), когда спутники хорошо расположены в пространстве.

Ковариантная матрица

Sxˆ

– матрица 3 на 3, в случае, когда мы оцениваем (X,Y,Z) и 4 на 4, если мы

оцениваем (X,Y,Z,c dt). Она положительно определена, так что существует обратная матрица, которая также

положительно определена. Введем локальную систему координат с началом в точке

( Xˆ ,Yˆ, Zˆ)

и осями

параллельными оригинальным. Пусть в локальной системе точка

xˆ = (x, y, z)T

лежит на поверхности,

описываемой квадратичной формой

å

или эквивалентной формой, если -1

xˆ

xTå-1x = c2

xˆ

диагональна,

(8.39)

x + y2 + z2 =

c2s2 c2s2 c2s2 1

(8.40)

å

Если -1

xˆ

координат.

x y z

не диагональна, она не может быть переведена в диагональную форму во вращающейся системе

å

Поверхность является эллипсоидом, потому что -1

xˆ

положительно определена. Это доверительный

эллипсоид точки. Пусть 1‐a ‐ вероятность того, что правильное положение лежит внутри эллипсоида. С 1‐a=0.95,

3,1‐a

с² определяется как c² =7.81. В пакете MATHLAB это число вычисляется функцией chi2inv(0.95,3). Фактор

увеличения с доверительного эллипсоида равен с = = 2.80 .

Если мы хотим улучшить вероятность попадания новой выборки в эллипсоид, мы можем увеличить вероятность 1‐a, оси доверительного эллипсоида, значение с или все эти величины.

Начнем с ковариантной матрицы задачи наименьших квадратов (8.28):

és 2 s s s ù

ê X XY XZ X ,cdt ú

o s 2 s s

å =ê

YX Y XZ Y ,cdt ú

(8.41)

ECEF

ês s s 2 s ú

ê ZX ZY Z Z ,cdt ú

ês s s s 2 ú

ëcdt , X cdt ,Y cdt ,Z cdt û

Закон ковариационного распространения преобразует å_ECEF в ковариационную матрицу, выражаемую в локальной системе координат с помощью (e,n,u). Интересующая нас 3х3 матрица S для å_ECEF показана в (8.41). После преобразования с F, субматрица принимает вид:

és 2 s s ù

ê e en eu ú

å = s s 2 s

= FTSF

(8.42)

enu êne n nu ú

ës s s û

ê 2 ú

ue un u

На практике встречаются несколько форм снижения точности (аббревиатура СТ):

Геометрическое:

GDOP = =

Горизонтальное:

HDOP =

Позиционное:

OPDOP = = =

Временное: ВСТ=σ_cdt/σ₀ Вертикальное: ВСТ= σ_u/ σ₀

Заметим, что все виды значений СТ безразмерны. Их нужно умножить на ошибку расстояния, что бы получить ошибку положения (приблизительно). Более того, существует связь:

GDOP²=PDOP²+TDOP²=HDOP²+VDOP²+TDOP².

Некоторые спутники обладают более хорошими корреляторами, чем другие, и знание времени наилучшего спутника – полезный инструмент для любого, использующего GPS. Опыт показывает, что хорошие наблюдения достигаются, когда ПСТ<5 и измерения производятся, как минимум, с помощью 5‐ти спутников.

Пример 8.2.Для оценки фундаментального влияния матрицы F в (8.36) мы должны определить угол подъема спутника. Локальная топоцентрическая система использует три единичных вектора (e,n,u)=(восток, север, верх).

Эти векторы являются столбцами F. Вектор rмежду спутником k и приемником i определяется выражением

i i i

r = ( X k- X ,Y k- Y , Z k- Z )

Единичный вектор в направлении спутника r=r/||r||. Затем Рис. 8.10 дает:

p^Te=sin α sin z, p^Tn=cos α sin z, p^Tu=cos z.

Из этого мы можем определить a и z. Особенно мы имеем sin(h)=cos(z)=r^Tuдля угла подъема h. Приведенные выше формулы являются базисом для М‐файла topocent.

Угол h или даже sin(h) является важным параметром для любых вычислений тропосферного затухания, см. М‐файл tropo.

Более того, величина sin(h) играет решающую роль при планировании наблюдений: когда, скажем, h больше 15^о. Какие спутники более предпочтительно использовать в GPS? Многие другие вычисления включают этот угол подъема h.

Часто существует потребность преобразовать разницу топоцентрических координат в локальную систему

(е,n,u). Это преобразование осуществляется путем действия матрицы F^T:

éeù é xù

n = F y

ê ú T ê ú

ê ú ê ú

(8.43)

êëuúû êëz úû

= F å

å

Это преобразование введено в М‐файле cart2utm. Соответственно, ковариационная матрица å_enu преобразуется по закону:

F

T

enu xˆ

(8.44)

Пример 8.3.Положение приемника (3435470.80,607792.32,5321592.38) при следующей ковариационной матрице

(единицы м²):

é 25 -7.970 18.220 ù

åxˆ= ê-7.970 4 -6.360ú

ê ú

êë18.220 -6.360 16 úû

Известно, что точка имеет j=56^о55’, l=10^o02’, получаем

é-0.1742 0.9847 0 ù

FT= ê-0.8252 -0.1460 0.5457ú

ê ú

êë0.5374 0.0951 0.8380úû

Таким образом, ковариационная матрица для локальных координат в соответствии с (8.44) имеем:

é

åenu =ê

7.37 4.14

4.14 4.56

-13.96ù

-9.38 ú

ê ú

êë-13.96

Из этого получим s_е=2.7 м, s_n=2.1 м, s_u=5.7 м.

Мировая геодезическая система

-9.38 33.07 úû

Эллипсоид в WGS84 определен с помощью четырех параметров; См. Анонимус (Anonymous) (1997):

1. главная полуось а=6378.137 м,

2. Гравитационная константа Земли (включая массу атмосферы Земли) GM=3986004.418*10⁸ м³/с², 3. Сплющивание f=1/289.257223563,

4. Скорость вращения Земли w=7292115*10^‐11 рад/с.

Международный астрономический союз использует величину w_е=7292115.1467*10^‐11 рад/с, с четырьмя дополнительными разрядами вместе с новым определением времени, и для целей GPS используется именно w_е. Скорость света в вакууме составляет

c=299792.458 м/с.

Концептуально, WGS84 является очень специфическим набором данных, т.к. он включает модель гравитационного поля. Его описание проводится с помощью сферических гармоник вплоть до степени и порядка 180. Это добавляет 32755 дополнительных коэффициентов в WGS84, позволяющих определить глобальные особенности геоида. Усеченная модель (используется n=m=18) геоида показана на Рис. 8.11. Для более подробного описания см. Анонимус (Anonymous) (1997).

В Северной Америке преобразование от NAD27 к WGS84 имеет вид

éXWGS 84 ù é XNAD 27 +9mù

ê Y ú =ê Y

-161m ú

ê WGS 84 ú êNAD 27 ú

êë ZWGS 84 úû

êëZNAD27-179múû

Типичное преобразование данных в WGS84 включает только изменение в главной полуоси эллипсоида, его сплющивания и трех трансляции начала координат эллипсоида.

WGS84 – глобальные данные, позволяющие переходить между регионами с помощью GPS. Важность

WGS84 в смысле обеспечения унифицированными глобальными данным несомненна.

Рисунок 8.11. Геоид WGS84, вычисленный для разложения по сферическим гармоникам, включая слагаемые со

степенью и порядком 18. Интервал между контурами 20 м.