Фурье-образ произведения непрерывных функций равен свертке их фурье-образов

,

. (1.26)

Доказательство

Выполняем фурье-преобразование (1.25)

и используем интегральную теорему (1.20)

.

Теорема о дифференцировании

При каждом дифференцировании функции ее Фурье-образ умножается на

. (1.35)

Доказательство

Формулу (1.2)

,

дифференцируем n раз

.

Сравниваем результат с (1.2) – для функции получаем Фурье-образ .

Умножение функции на

Умножение функции на приводит к дифференцированию ее фурье-образа

,

. (1.37)

Доказательство

Дифференцируем (1.1)

,

получаем

.

Сравниваем результат с формулой (1.1), записанной для функции , и получаем .

Преобразование периодическОЙ функциИ

Функция с периодом L удовлетворяет

.

Спектр периодической функции дискретный. Такая функция разлагается по ортонормированному базису гармонических функций с периодами , где В акустике составляющая с называется основным тоном, составляющие с называются обертонами.

Базисы Фурье комплексных периодических функций

Условию периодичности

,

с периодом удовлетворяют комплексные функции

,

Доказательство

Выполняется

,

где учтено

,

,

Получаем базисы:

· , , с периодом .

Замена аргумента дает

· : , , с периодом L,

· : , , с периодом ,

где множитель перед экспонентой обеспечивает нормировку функции.

Базисы Фурье вещественных периодических функций

Для функции с периодом

,

Для четной функции с периодом

,

Для нечетной функции с периодом

,

Ортонормированность базисов

Дискретный базис функций , где , с периодом L ортонормирован, если

.

Частные случаи:

1. ,

,

где использовано:

;

, при ;

.

2. ,

, (1.43)

где сделана замена

,

и учтено, что интеграл по периоду функции не зависит от выбора нижнего предела.

3. ,

, (1.44)

где сделана замена

.

4. Доказать самостоятельно:

,

,

. (1.45)

5. ,

,

. (1.46)

Разложение в ряд Фурье комплексной периодической функции

Для функции с периодом L используем ортонормированный базис гармонических функций с периодом L

, ,

удовлетворяющих

.

Разлагаем в ряд Фурье

. (1.48)

Ищем коэффициенты разложения .

Умножаем (1.48) на и интегрируем

,

где переставлено суммирование и интегрирование. С учетом (1.43)

находим

.

Переобозначаем , и для периодической функции получаем

. (1.49)

Спектр периодической функции

Разложение (1.48)

подставляем в преобразование Фурье (1.1)

.

Переставляем суммирование и интегрирование

.

Используем (2.24)

,

получаем спектр периодической функции

. (1.47)

Периодическая функция с периодом L имеет дискретный спектр с периодом в виде модулированной гребенчатой функции.

Теорема о дифференцировании

Разложение (1.48)

,

дифференцируем m раз

.

Результат сравниваем с разложением (1.48) для функции , получаем , тогда

. (1.50)

Разложение в ряд Фурье вещественной периодической функции

Вещественная функция с периодом L удовлетворяет

,

.

Из (1.49)

.

Выполняем комплексное сопряжение

,

Результат сравниваем с (1.49) и находим

.

Из (1.48)

получаем

, (1.53)

где учтено

,

.

Заменяем

,

где

,

.

Используем

.

Получаем разложение функции вряд Фурье

. (1.54)

Из (1.49)

,

находим коэффициенты

,

,

. (1.54а)