Оценка нелинейных искажений сигнала

В соответствии с определением, что такое коэффициент гармоник или коэффициент нелинейных искажений, формула для расчета имеет вид:

,

где H – номер учитываемой высшей гармонической составляющей;

U₁- амплитуда или СКЗ 1-ой гармоники сигнала;

U_i- амплитуда или СКЗ i-ой гармонической составляющей от 2 до Н.

Метод оценки при этом называют спектральным, он может быть реализован тогда, когда известны значения всех гармонических составляющих сигнала. Если спектральные компоненты находятся через преобразование Фурье, а при дискретизации в окно преобразования попадает не целое число периодов сигнала, то происходит растекание спектра (явление Гиббса). Для уменьшения этого эффекта целесообразно применение временных окон, которые приводят к одинаковому уменьшению всех спектральных составляющих, поэтому соотношения между ними не изменятся.

Реальная полоса пропускания с учетом явления растекания спектра может быть определена в соответствии с теоремой Котельникова, по которой информацию о сигнале можно передать без потерь, если частота дискретизации более чем в два раза выше максимальной частоты спектра сигнала(f_д>2f_max). Чтобы учесть растекание спектра необходимо уменьшить снизу и сверху частотные границы на величину bf_д/N, где N – число полученных дискретных отсчетов в массиве данных.

Место положения первой гармоники может быть найдено из предположения, что она больше других компонент, полученных в результате преобразования Фурье с разрешением по частоте f_д/N в диапазоне рабочих частот bf_д/N до f_д/2-bf_д/N. Для того чтобы найти ее амплитуду нужно, как в рассмотренном выше методе измерения СКЗ основной гармоники (см. параграф 2.6), просуммировать некоторое количество компонент слева и справа относительно спектральной составляющей, максимальной по уровню в сравнении с остальными компонентами. В результате получим:

,

где N1=round(Nf/f_д) - номер спектральной компоненты U₁ в найденном через преобразование Фурье спектре, соответствующий положению 1-ой гармоники спектра сигнала;

f - частота сигнала первой гармоники, которая может быть найдена также по методу с использованием преобразования Фурье – Гильберта (см. параграф 2.3);

u_j – спектральные компоненты, получаемые в результате преобразования Фурье с разрешением по частоте f_д/N;

d – число компонент слева и справа относительно выбранной спектральной составляющей, которое учитывает растекание спектра.

Для того чтобы найти амплитуды остальных гармоник нужно также просуммировать d компонент слева и справа относительно каждой спектральной составляющей, частота которой кратна U₁, т.е.:

,

где Ni=round(Nf_i/f_д)- номер спектральной компоненты U_i в найденном спектре, соответствующий положению i-ой гармоники спектра сигнала.

После преобразований формула для вычисления коэффициента гармоник примет следующий вид:

. (2.7.1)

В некоторых случаях необходимо реализовать квазиспектральный метод оценки с «вырезанием» первой гармоники. При этом оценивается вес всех компонент спектра без первой гармоники, но с включением шумовых составляющих, расположенных между гармониками основной частоты, по отношению к полному сигналу. Подобный подход, например, используется при оценке чувствительности приемных устройств. В этом случае формула расчета через преобразование Фурье будет иметь вид:

. (2.7.2)

Здесь под корнем квадратным в числителе представлен полный сигнал с шумами, но без первой гармоники, а в знаменателе – полный сигнал. Поскольку реальные значения коэффициента гармоник при оценке чувствительности высокие, порядка 25%, то возникают заметные методические погрешности, которые можно исключить путем легко реализуемой модернизацией, если используется преобразование Фурье. Для этого в числителе должен быть полный сигнал с шумами, но без первой гармоники, а в знаменателе – только первая гармоника:

. (2.7.3)

Модернизированный квазиспектральный метод может быть полезен в тех случаях, когда необходим учет всех шумов в рассматриваемой полосе пропускания.

Основным недостатком рассмотренного вычислительного метода является ограничение рабочей частоты сигнала. Максимальная частота первой гармоники при выбранном числе учитываемых спектральных компонент H будет равна (f_д/2-bf_д/N)/H. Например, для f_д=50 кГц, N =8192, b=12, H=8, высшая рабочая частота сигнала будет 3115,8 Гц.

Вместе с тем, если АЦП работает в режиме стробирования, то его полоса пропускания больше f_д/2. Для расширения диапазона рабочих частот при использовании стробирующих АЦП можно модифицировать алгоритм.

При стробировании с частотой дискретизации f_д частота сигнала f на выходе преобразователя определяется выражением:

f_СП = f - nf_д, (2.7.4)

где n=ent(f/f_д) - целое число. Спектр сигнала на выходе АЦП должен быть расположен в диапазонах частот: от 0до f_д/2или от f_д/2до f_д. Чтобы учесть явление Гиббса (расширение спектра) необходимо уменьшить снизу и сверху границы допустимых частот на величину bf_д/N. Тогда скорректированные диапазоны частот будут от bf_д/N до f_д/2-bf_д/N и от f_д/2+bf_д/N до f_д-bf_д/N. Коэффициент b можно выбрать равным 12.

Чтобы правильно найти значение i-ой гармоники, она должна находиться в первом или втором диапазоне частот и не лежать ближе, чем 2d спектральных компонент к любой другой гармонике сигнала, причем каждая гармоника может иметь свое значение n, т.е.

n_i=ent(if/f_д). (2.7.5)

Из-за свойств преобразования Фурье гармоника, попадающая во второй частотный диапазон зеркально отображается в первый, при этом, если ее номер во втором частотном диапазоне был N/2+z, то ее номер в первом частном диапазоне будет N/2-z. Таким образом, если частота гармоники после стробирования была f_СП>f_д/2, то ее частота в первом частотном диапазоне будет f_д/2-(f_СП -f_д/2) = f_д-f_СП. Поэтому условие близости гармоник необходимо рассматривать для двух частотных диапазонов, рассчитывая номер гармоники в каждой части спектра.

Приведем простой пример. Пусть частота основной гармоники сигнала 6.25 кГц, частота дискретизации 50 кГц и в расчетах необходимо учесть 8 гармоник. Диапазоны рабочих частот для N=8192 будут:

1) от 73.2 до 24926.8 Гц;

2) от 25073.2 до 49920.6 Гц.

Расчеты по формулам (2.7.4) и (2.7.5) сведены в табл. 2.7.1, откуда следует, что четвертая гармоническая составляющая окажется на частоте 25 кГц, а восьмая - на частоте 50 кГц. Однако эти точки являются нерабочими, так как они не попадают в рабочие частотные диапазоны.

Таблица 2.7.1

i
ni=ent(if/fд)
fСП = f - nfд, кГц	6.25	12.5	18.75		31.25	37.5	43.75

Дополнительно убедимся, что в результате преобразования первая гармоника не попадет в области расположения других гармоник спектра. Диапазон частот первой гармоники для d=6 будет лежать в двух рабочих областях:

1) от 6176.8 до 6323.2 Гц;

2) от 43676,8 до 43832.2 Гц.

Из таблицы видно, что первая гармоника попадет в область расположения седьмой гармоники, т.е. эта точка также окажется нерабочей. В итоге для частоты дискретизации 50 кГц придется отбросить значения i=4, 7 и 8, что приведет к ошибке нахождения коэффициента гармоник. В реальном случае необходимо сделать аналогичную проверку для всех гармоник сигнала. Мы ограничились первой гармоникой в предположении, что она больше других и ее влияние наиболее существенно.

Если задать частоту дискретизации 34 кГц, то все гармонические составляющие будут находиться либо в первом, либо во втором диапазоне частот. Диапазоны рабочих частот для N=8192 будут:

1) от 49.8 до 16950.2 Гц;

2) от 17049.8 до 33946.0 Гц.

Расчеты по формулам (2.7.4) и (2.7.5) сведены в табл. 2.7.2, откуда следует, что все гармоники сигнала попали в полосы рабочих частот.

Таблица 2.7.2

i
ni=ent(if/fд)
fСП = f - nfд, кГц	6.25	12.5	18.75		31.25	3.5	9.75

Опять проверим, что для d=6 в результате преобразования первая гармоника не попадет в области расположения других гармоник спектра:

1) от 6200.2 до 6299.8 Гц;

2) от 27700,2 до 27799,8 Гц.

Таким образом, выбранная частота дискретизации удовлетворяет всем требованиям.

Рассмотрим теперь подробнее реализацию более простого режима работы со стробированием, когда частота сигнала попадает в первый частотный диапазон, причем f - nf_д=f_СП³bf_д/N. Если выбрать частоту дискретизации, при которой f_СП близка к bf_д/N, тогда в первом диапазоне спектра без наложения расположатся k компонент, где

.

Для заданной частоты сигнала необходимо, чтобы частота дискретизации f_д£f/(n+b/N). Максимальное значение d=ent [(b-1)/2]. Номер гармоники сигнала будет определяться в соответствии с выражением:

.

Для примера, рассмотренного выше (частота сигнала 6.25 кГц, 8 гармоник) частоту дискретизации нужно задать исходя из требования: f_д£f/(n+b/N)=6.25/(1+14/8192)=6.24 кГц. Выберем f_д=6 кГц, тогда без наложения в первом диапазоне уложится k=11 компонент. Результаты расчета заданных 8 гармоник сведены в табл. 2.7.3.

Таблица 2.7.3

i
ni=ent(if/fд)
fСП = f - nfд, кГц	0.25	0.5	0.75		1.25	1.5	1.75

Приведем графический пример (см. рис. 2.7.1) расположения спектральных компонент сигнала для предлагаемого метода стробирования с учетом явления растекания. Для простоты положим N=40, b=4, d=1. Тогда четыре первые гармоники будут расположены в первом диапазоне частот от 0 до f_д/2. Во втором диапазоне они будут расположены в обратном порядке. Сверху обозначены номера этих гармоник. Заштрихована нерабочая область частот, в которую разрешается только «растекание».

Рис. 2.7.1. Расположение четырех гармоник сигнала в рабочих диапазонах спектральных компонент 0 - N/2 и N/2 – N для N=40, b=4, d=1

Приведем теперь более полный алгоритм оценки коэффициента гармоник по шагам:

1. Измеряют частоту сигнала, например, по методу с использованием преобразования Фурье – Гильберта и корректируют частоту дискретизации в соответствии с частотой сигнала так, чтобы не было наложения гармоник друг на друга и все требуемые компоненты попали в рабочие диапазоны частот.

2. С помощью АЦП получают массив u[i/f_д] в объеме N дискретных отсчетов сигнала.

3. Накладывают на массив дискретных отсчетоввременное окно, (например, окно Кайзера) и получают взвешенный массив.

4. По взвешенному массиву данных вычисляют прямое преобразования Фурье, получая комплексный спектр S[if_д/N]=FFT(u₁[i/f_д]).

5. Вычисляют коэффициент гармоник сигнала по формулам (2.7.1), (2.7.2) или (2.7.3).

Результаты математического моделирования оценки коэффициента гармоник методом Фурье для реального объема выборки N приведены в виде совокупности графиков на рис. 2.7.2 – 2.7.8.Моделирование проводилось для модернизированного квазиспектрального метода и сигнала с 10% нелинейными искажениями по восьмой гармонике при использовании окна Кайзера (b=12), f_д =30 - 50 кГц, f = 300 Гц - 23 кГц. Считалось, что гармоники выше 8-й учитывать не следует.

На рис. 2.7.2 представлено расчетное значение частоты дискретизации, выбираемой из условия, что гармоники без наложения друг на друга попадают в первый (от 0 до f_д/2) или второй (от f_д/2 до f_д) рабочие диапазоны частот.

Рис. 2.7.2. Управление частотой дискретизации

На рис. 2.7.3 – 2.7.5 приведены графики абсолютной погрешности оценки коэффициента нелинейных искажения в зависимости от частоты первой гармоники f в диапазоне частот от bf_д/N до f_д/2-bf_д/N для реальных значений N при d=5. При построении графиков не учитывались шумы квантования, разрядность АЦП и другие факторы, т.е. считалось, что массив данных получен без погрешностей. Поэтому данные результаты можно рассматривать как предельно достижимые возможности рассмотренного алгоритма по методу с преобразованием Фурье.

Рис. 2.7.3. График абсолютной погрешности для N=8192

Рис. 2.7.4. График абсолютной погрешности для N=4096

Рис. 2.7.5. График абсолютной погрешности для N=2048

На рис. 2.7.6 – 2.7.8 приведены аналогичные графики относительной погрешности оценки коэффициента гармоник, учитывающие комплексное влияние разрядности АЦП, шумов квантования и наличие паразитной амплитудной (ПАМ) и частотной (ПЧМ) модуляции сигнала.

Рис. 2.7.6. График абсолютной погрешности для N=2048, АЦП 12 бит,

шумов +2 бита, ПЧМ 0,1% , ПАМ 0,1%

Рис. 2.7.7. График абсолютной погрешности для N=4096, АЦП 12 бит,

шумов +2 бита, ПЧМ 0,1% , ПАМ 0,1%

Моделирование показало, что применение 8-битного АЦП при том же уровне шумов увеличивает погрешности более чем на порядок, хотя для многих практических задач это еще приемлемо.

Каждая точка графиков, приведенных на рис. 2.7.6 – 2.7.8, построена путем математического моделирования процедуры обработки конкретной реализации сигнала для заданного соотношения f/f_д. Каждая выборка содержит N точек, погрешность оценки которых определяется разрядностью АЦП и уровнем шумов. Полученные погрешности в каждой точке графика можно рассматривать как инструментальные, так как они несоизмеримо более высокие, чем методические погрешности, приведенные на рис. 2.7.3 – 2.7.5.

Рис. 2.7.8. График абсолютной погрешности для N=8192, АЦП 12 бит,

шумов +2 бита, ПЧМ 0,1% , ПАМ 0,1%

Анализ данных, полученных в результате математического моделирования, показывает, что метод оценки нелинейных искажений сигнала с применением преобразования Фурье имеет высокие характеристики и его следует применять в практических задачах, когда в системе есть АЦП и персональный компьютер.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Аппаратной основой современных систем контроля, испытаний и мониторинга (СКИМ) становятся персональные компьютеры (ПК), дополненные встроенными и внешними средствами расширения. Для комплексного решения задач управления экспериментом, сбора и преобразования данных, систематизации и представления информации необходимы новые методы и алгоритмы цифровой обработки сигналов, а также специализированные программные средства, включая пакеты гибкого конфигурирования СКИМ.

2. Cпособ несинхронизированного стробирования позволяет существенно расширить диапазон рабочих частот и упростить измерительные преобразователи за счет передачи компьютеру функции восстановления сигнала. Несинхронизированное стробирование, приводящее к переменному шагу дискретизации, можно совмещать с преобразованием Фурье и проводить спектральный анализ сигналов, его можно применять в задачах оценки СКЗ и глубины амплитудной модуляции радиосигналов.

Математическое моделирование показало, что при оценке СКЗ сигнала методы численного интегрирования обеспечивают достаточные для реальных применений точностные характеристики. Алгоритм обработки массива данных следует выбирать в зависимости от измерительной задачи и вида сигнала. При оценке сигналов, аппроксимируемых прямоугольниками, следует использовать модернизированную формулу прямоугольников, а для плавных функций, в частности для сигналов близких к гармоническим, преимущество имеет модернизированная формула Симпсона.

4. При оценке частоты и фазового сдвига периодического сигнала метод многоуровневого интерполирования позволяет значительно увеличить базу данных для усреднения результатов без увеличения времени анализа. Полученные результаты анализа и моделирования позволяют сделать вывод о целесообразности применения метода в задачах оценки частоты и фазового сдвига при наличии внешних и внутренних шумов квантования. При этом могут решаться задачи повышения быстродействия, подавления шумов и повышения точности оценки частоты, сдвига фазы и задержки периодического сигнала.

5. Метод оценки частоты с преобразованием дискретизированного сигнала по Фурье – Гильберту показал высокую эффективность в широкой области рабочих частот. Даже в условиях значительных нелинейных искажений сигнала, наличия шумов, паразитной амплитудной модуляции (ПАМ) и ограниченной разрядности АЦП достижима высокая точность оценки частоты с погрешностью на уровне 10^-6 – 10^-7 за время, значительно меньшее, чем требует метод дискретного счета. При приближении к нижней границе диапазона рабочих частот погрешность оценки частоты сигнала определяется числом периодов колебаний, попавшим во временной интервал сбора дискретизированных данных и общий объем выборки практически не влияет на точность. Снизить погрешность примерно на порядок позволяет отказ от процедуры «вырезания» первой гармоники, однако в этом случае можно работать только с синусоидальными сигналами.

6. Для оценки фазового сдвига может быть применен способ с преобразованием опорного и измерительного дискретизированных сигналов по Фурье – Гильберту. Анализ показал высокую эффективность применения данного метода в широкой области рабочих частот, его высокие характеристики при наличии нелинейных искажений сигнала, шумов квантования и ПАМ. Моделирование показало, что выбором рабочей частоты дискретизации и разрядности АЦП можно уменьшить влияние многих факторов, однако высокий уровень ПАМ, частота которой во много раз меньше частоты сигнала, приводит к значительному росту погрешности оценки фазового сдвига. Для уменьшения влияния эффекта растекания спектра следует выполнять специальную процедуру вырезания модуляционных шумов с восстановлением сигнала во временной области. Моделирование показало, что погрешности для алгоритма оценки фазового сдвига с исключением модуляционных шумов уменьшаются более чем на два порядка.

7. Сравнивая способы оценки частоты и фазового сдвига во временной области по методу многоуровневой интерполяции и в частотной области по методу Фурье, необходимо отметить, что временной подход требует значительно меньших вычислительных ресурсов, причем весь требуемый массив данных может быть собран за малое число периодов сигнала. Потенциальное быстродействие временного метода выше, однако, в расчетах используются не все данные; часть информации, полученной на пологих участках сигнала, отбрасывается.

Метод с преобразованием Фурье использует всю базу полученных данных, поэтому он более точный, однако, для обработки необходимы значительные вычислительные ресурсы и большее время сбора данных. В результате потенциальное быстродействие по сравнению с временным методом многоуровневого интерполирования ниже.

8. Метод оценки параметров модуляции сигналов с использованием преобразований Фурье-Гильберта обеспечивает высокие точностные характеристики, достаточные для практического применения в сложных условиях паразитной модуляции и наличия шумов. Моделирование показало, что для 12-битного АЦП, при случайном белом шуме в 1 бит погрешность измерения глубины АМ не превосходит 0.1%, а погрешность измерения девиации для тех же условий не превосходит 0.7%.

9. Для оценки СКЗ периодического сигнала может быть использован метод обработки дискретизированных данных с преобразованием Фурье. Сравнение полученных данных с результатами оценки СКЗ во временной области показало, что для одинакового объема выборки в области малых и средних значений отношения частоты сигнала к частоте дискретизации (f/f_д до 0.3) погрешности методов примерно равны, однако в области больших значений f/f_д (0.3 – 0.46) метод Фурье обеспечивает меньшие погрешности. Преимущества временного подхода – это простота расчетов и быстрота сбора данных. Кроме того, временной метод может быть использован при переменном шаге дискретизации, например, при реализации несинхронизированного стробирования. Преимущество частотного подхода – более гибкая возможность оценки СКЗ по всем гармоникам и в требуемой полосе частот.

10. Для оценки нелинейных искажений периодического дискретизированного сигнала может быть использован метод обработки данных с преобразованием Фурье. Путем вычислений в зависимости от поставленной задачи можно с высокой точностью оценить нелинейные искажения спектральным, квазиспектральным и модернизированным квазиспектральным способами.

11. В целом, методы оценки параметров радиосигналов с преобразованиями по Фурье и Гильберту обладают существенными преимуществами. Переход в частотную область позволяет применить вычислительные алгоритмы «очистки» неидеального сигнала от высших гармоник, шумов и паразитной модуляции. Кроме того, при оценке параметров можно использовать всю базу полученных дискретных отсчетов, т.е. реализовать обработку без потерь данных, которые неизбежны для временных методов, в частности, для метода многоуровневого интерполирования. Однако преобразование Фурье при неизвестной частоте должно осуществляться на нецелом числе периодов сигнала, поэтому для уменьшения явления «растекания» спектра необходимо накладывать на массив полученных дискретных отсчетов временное непрямоугольное окно (Хемминга, Кайзера и др.). При этом для минимизации явления растекания приходится увеличивать базу данных не за счет числа отсчетов, а за счет числа периодов сигнала, что требует увеличения времени сбора информации.

Список рекомендуемой литературы

1. Арутюнов П.А. Теория и применение алгоритмических измерений. - М.: Энергоатомиздат, 1990.-256 с. – ISBN 5-283-01519-Х.

2. Гелль П. Как превратить персональный компьютер в измерительный комплекс: Пер. с франц. - 2-е изд., испр. - М.: ДМК. - 1999. - 144с. – ISBN 5-89818-026-5.

3. Жарков Ф.П. Использование виртуальных инструментов LabVIEW / Ф.П. Жарков, В.В. Каратаев, В.Ф. Никифоров, В.С. Панов. Под ред. Демирчана К.С. и Миронова В.Г.- М.: Солон-Р. - Радио и связь - Горячая линия – Телеком. - 1999. – 268 с. – ISBN 5-93455-023-3.

4. Пат. 2248000, Российская Федерация, МПК⁷ G 01 R 29/06. Цифровой измеритель модуляции / А.Д. Поздняков, В.А. Поздняков (Российская Федерация). - Опубл. 10.03.05. - Бюл. №7. - 7 с.

5. Поздняков А.Д. Автоматизация экспериментальных исследований, испытаний и мониторинга радиосистем / А.Д. Поздняков, В.А. Поздняков. - М.: Радиотехника. - 2004. - 208 с. – ISBN 5-93108-066-X.

6. Поздняков А.Д. Автоматизация экспериментальных радиофизических исследований: Практикум / Владим. гос. ун-т.- Владимир, 2004. - 128 с. – ISBN 5-89368-474-5.

7. Поздняков А.Д. Автоматизация радиоизмерений: Учеб. пособие. - Владимир: ВлГТУ. - 1995. -184 с. – ISBN 5-230-04783-6.

8. Сергиенко А.Б. Цифровая обработка сигналов. - Спб.: Питер. - 2005. - 604 с. – ISBN 5-318-00666-3.

9. Степанов А.В. Методы компьютерной обработки сигналов и систем радиосвязи / А.В. Степанов, С.А. Матвеев. – М.: СОЛОН – Пресc. - 2003. – 208 с. – ISBN 5-98003-031-X.

Оглавление   Предисловие…………………………………………………..……….. Глава 1. Методы алгоритмических измерений сигналов во временной области……………………………………...   1.1. Оценка среднеквадратического значения сигнала методом интегрирования……………………………………..…... 1.2. Метод несинхронизированного стробирования ..…………..…... 1.3. Многоуровневое интерполирование при оценке частоты сигнала..………...……………………………………...… 1.4. Многоуровневое интерполирование при оценке фазового сдвига…..…….…..……………………………………... 1.5. Методы исследования амплитудно-частотных характеристик……….……………………………………………..   Глава 2. Применение преобразований Фурье и Гильберта в задачах оценки параметров радиосигналов…..……....   2.1. Реализация преобразования Фурье при переменном шаге дискретизации сигнала ….………..…………..…......…..… 2.2. Оценка параметров модуляции ……………………….…………. 2.3. Оценка частоты сигнала…………………...………...………….. 2.4. Оценка разности фаз сигналов …………………………..…….… 2.5. Метод уменьшения модуляционных помех и шумов при измерении разности фаз сигналов………..…..…….………. 2.6. Оценка среднеквадратического значения сигнала ……………... 2.7. Оценка нелинейных искажений сигнала …………………….…..   Заключение………...………………………………….………………. Список литературы …...…………………….....……………………..

ЛР № 020275 от 13.11.96. Подписано в печать ………….

Формат 60х84/16. Бумага для множит. техники. Гарнитура………..

Печать офсетная. Усл. печ. л…….Тираж 100 экз.

Заказ

Владимирский государственный университет.