Оценка разности фаз сигналов

Предлагаемый способ по сравнению с известным [5] позволяет расширить диапазон работы в область верхних частот, снизить требования к точности определения мгновенных значений опорного и измерительного сигналов, а также обеспечить возможность оценки сдвига фазы сигналов, имеющих большие нелинейные искажения и постоянные составляющие.

Для решения задачи определения разности фаз сигналов u₁(t) и u₂(t) их оцифровывают c частотой дискретизации f_д и создают два массива данных мгновенных значений по N элементов u₁[i/f_д] и u₂[i/f_д]. Затемна массивы накладывают временное окно и выполняют прямые преобразования Фурье, получая комплексные спектры S₁[if_д/N]=FFT(u₁[i/f_д]) и S₂[if_д/N]=FFT(u₂[i/f_д]). В спектре S₁[if_д/N] определяют номер M компоненты амплитуда которой максимальна, а затем находят фазы j₁ и j₂ спектральных компонент S₁[Mf_д/N] и S₂[Mf_д/N], определяют искомую разность фаз Dj между сигналами u₁(t) и u₂(t). Более детально алгоритм работы может быть представлен в виде следующих шагов:

1. Входные сигналы u₁(t) и u₂(t) оцифровывают c частотой дискретизации f_д и получают два массива данных u₁[i/f_д], u₂[i/f_д]по N элементов.

2. Накладывают на полученные массивы u₁[i/f_д] и u₂[i/f_д]временное окно, например, окно Хемминга.

3. От полученных массивов вычисляют прямые преобразования Фурье, получая комплексные спектры S₁[if_д/N]=FFT(u₁[i/f_д]) и S₂[if_д/N]=FFT(u₂[i/f_д]).

4. В комплексном спектре S₁[if_д/N] определяют номер M компоненты, амплитуда которой максимальна.

5. находят фазы j₁ и j₂ спектральных компонент S₁[Mf_д/N] и S₂[Mf_д/N] через реальные S_1RE[Mf_д/N], S_2RE[Mf_д/N] и мнимые S_1IM[Mf_д/N], S_2IM[Mf_д/N] составляющие:

6. Разность фаз находят в диапазоне 180³Dj³–180 в соответствии с выражениями:

Dj=Dj₂₁ для180³Dj₂₁³–180;

Dj=Dj₂₁ -360дляDj₂₁ >180; Dj=Dj₂₁ +360дляDj₂₁ <–180,

где Dj₂₁ =j₂ – j₁.

Представленный алгоритм работы можно реализовать с использованием схемы, приведенной на рис. 2.4.1. Сигнал поступает на входное устройство, представляющее собой согласованный усилитель-аттенюатор с регулируемым коэффициентом передачи. Затем сигнал одновременно поступает на двуканальный аналого-цифровой преобразователь (преобразователь аналог-код) и частотомер (преобразователь частота-код).

Наи­больший эффект от использования предложенного способа может быть достигнут в измерительных комплексах, содержащих в своей структуре персональный компьютер (ПК), который выполняет функции вычислителя и обеспечивает всю дальнейшую обработку и представление данных, получаемых на выходе АЦП, как показано на рис. 2.4.1. Современные серийно выпускаемые платы расширения, вставляемые в свободные слоты ПК, обеспечат все необходимые аппаратные функции. Их характеристики управляются программно.

Рис. 2.4.1. Схема измерения фазового сдвига

В зависимости от уровня сигнала, оцифрованного двуканальным АЦП, вычислитель задает требуемый коэффициент передачи входного устройства для каждого канала. Правильный выбор коэффициента передачи обеспечит более полное использование рабочего диапазона АЦП, что будет способствовать высокой точности оцифровки. По данным частотомера вычислитель задает частоту дискретизации f_д таким образом, чтобы сигналы на выходе двуканального АЦП находились в требуемом диапазоне частот «а» или «б» (см. табл. 2.2.1). С выхода двуканального АЦП массивы оцифрованных данных u₁[i/f_д] и u₂[i/f_д] подаются в модуль вычислителя, который реализует представленный выше способ работы. Найденное значение сдвига фаз отображается на индикаторе. Диапазон рабочих частот и особенности применения преобразования Фурье рассмотрены в параграфе 2.2.

Приведем конкретный пример. Пусть b=15. Тогда для f_д=25 кГц и N=4096 диапазон «а» будет от 92 до 12408 Гц. Для обеспечения диапазона рабочих частот от 92 до 12408 Гц частота дискретизации для известного способа [5] должна быть равна 12408×24000=297792 кГц. Таким образом, предложенный способ позволяет значительно (почти в 12000 раз) уменьшить частоту дискретизации или при той же частоте дискретизации значительно расширить рабочий диапазон в область высоких частот.

Анализ погрешностей методом математического моделирования

Моделирование проводилось с целью оценки возможностей предложенного метода, определения его ограничений, а также поиска наиболее рациональных параметров преобразований, осуществляемых в ПК. Рассматривалось влияние следующих факторов, определяющих структуру методической погрешности:

1. В интервале оценки фазы укладывается не целое число периодов сигнала, что требует наложение временного окна (например, Хемминга), которое изменяет спектр сигнала.

2. Ограниченная разрядность АЦП приводит к погрешности квантования по уровню и соответственно к погрешности вычислений.

При анализе учитывалось наложение на входной массив данных окна Хемминга с коэффициентами а=0.5001 и а=0.54. Анализировалось влияние на погрешность числа отсчетов в окне преобразования от N=512 до 4096, и изменение разрядности АЦП от 8 до 12. На рис. 2.4.2 и 2.4.3 приведены графики абсолютной погрешности измерения сдвига фазы, полученные в результате анализа совокупного действия нескольких причин. При этом диапазон рабочих частот для фиксированной частоты дискретизации 25 кГц выбран в соответствии с вышеизложенными требованиями от bf_д/N до f_д/2-bf_д/N. Учтена конечная разрядность АЦП 12 бит при уровне шума ±2 бит. Например, при случайном шуме, распределенном по равномерному закону, получим погрешность определения максимума 0.14%.

Данные моделирования, представленные на рис. 2.4.2, показывают, что в диапазоне частот сигнала до 12 кГц (более точно от 0,02f_д до 0,48f_д) при отсутствии нелинейных искаженийдля N=4096ичастоты дискретизации 25 кГц погрешность оценки фазового сдвига не превышает 0,01⁰.

Рис. 2.4.2. График абсолютной погрешности при отсутствии нелинейных искажений сигнала для f_д=25 кГц

Заметим, что для метода, описание которого приведено в [5], аналогичная погрешность измерения 0.01^o достигается тогда, когда мгновенные значения сигналов измерены с погрешностью не более 0.02%. Таким образом, рассмотренный способ обеспечивает такую же точность измерения разности фаз при допустимой погрешности определения максимума 0.14% вместо 0.02%, т.е. в 7 раз снижены требования к шумам и разрядности АЦП.

На рис. 2.4.3 представлены результаты для сигнала с нелинейными искажениями 50% и имеющего постоянную составляющую на уровне 10% амплитудного значения. Полученные данные свидетельствуют, что предлагаемый способ может успешно работать в расширенном диапазоне частот со смещенными и искаженными сигналами, т.к. при этом не изменяются характеристики спектральных компонент, по которым вычисляются фазы сигналов j₁ и j₂.

Рис. 2.4.3. График абсолютной погрешности для f_д=25 кГц при нелинейных искажениях сигнала по второй гармонике 50% и постоянной составляющей 10% от амплитудного значения

Проанализируем теперь влияние отдельных факторов, таких как измеряемая разность фаз, параметры окна, нелинейные искажения сигнала, объем выборки, паразитная амплитудная модуляция (ПАМ), паразитная частотная модуляция (ПЧМ), соотношение f/f_д, разрядность АЦП.

Измеряемая разность фаз

График, представленный на рис. 2.4.4, показывает зависимость абсолютной погрешности от разницы фаз сигналов для рабочего диапазона частот от bf_д/N до f_д/2-bf_д/N.

Рис. 2.4.4. График абсолютной погрешности для N=512, a=0.5001, f/f_д=0.209, начальной фазы j_Н =0⁰

Выбрана середина этого диапазона (f/f_д=0.209). Моделирование проводилось для N=512, a=0.5001, начальной фазы j_Н=0⁰. При изменении начальной фазы график эквивалентно перемешается по оси разностной фазы. Периодический характер погрешности можно объяснить влиянием изменения формы сигнала в начале и конце интервала дискретизации.

Параметры окна

Моделирование (см. рис. 2.4.5) показало, что наименьшую погрешность дают временные окна, сильно спадающие к нулю на краях, например, для окна Хемминга целесообразно выбрать a=0.5001.

Рис. 2.4.5. График абсолютной погрешности для a=0.54 при N=512, f/f_д=0.209, начальной фазе j_Н =0⁰

График показывает, что выбор a=0.5001 по сравнению с типовым значением a=0.54 является более удачным, так как при этом максимальная погрешность снижается с 0,037 до 0,0001.