Многоуровневое интерполирование при оценке фазового сдвига

Рассмотренный в предыдущем параграфе метод многоуровневого интерполирования можно с некоторой доработкой применить для оценки фазового или временного сдвига двух сигналов, один из которых опорный, а другой измерительный. Рассмотрим задачу оценки фазового сдвига путем обработки в персональном компьютере массивов дискретных отсчетов мгновенных значений опорного и исследуемого сигналов. Для этого нужен двухканальный АЦП, информация с выходов которого поступает в ПК, как показано на рис. 1.4.1. Процесс оцифровки периодического сигнала представлен на рис. 1.4.2.

Как правило, АЦП имеет встроенный кварцевый генератор частоты, задающий временной интервал считывания данных Т_д. Будем считать, что его нестабильность порядка 10^-6….10^-8.

Рис. 1.4.1. Структурная схема измерения сдвига фазы с помощью АЦП

а) б)

Рис. 1.4.2. Получение массива мгновенных отсчетов на выходе АЦП при одноуровневой и многоуровневой интерполяции

Для нахождения временного или фазового сдвига методом многоуровневого аналого-цифрового преобразования и интерполирования необходимо провести нормировку полученных данных, при которой каждый отсчет делится на среднеквадратическое значение (СКЗ) сигнала соответствующего канала. После выполнения процедуры нормировки всех значений в обоих каналах временная задержка между двумя идентичными по форме сигналами может определяться на любом уровне. На рис. 1.4.2а показан принцип определения временного сдвига t₀ между двумя идентичными по форме сигналами. При использовании линейной интерполяции между точками U₂₀ (момент времени t₂₀) и U₂₁ (момент времени t₂₁) задержку t₀ можно вычислить по формуле:

(1.4.1)

где D=ent(t₀/T_д)– целое число отсчетов (остаток отбрасывается) сигнала, укладывающихся в интервале времени t₀; U₁₀– минимальное мгновенное значение из массива дискретных данных, полученных на начальном участке первого сигнала; U₂₀ и U₂₁- ближайшие к U₁₀ соответственно снизу и сверху мгновенные значения, выбранные из массива дискретных данных, полученных для второго канала.

В общем случае для произвольного m-ого уровня (см. рис. 1.4.2б), где mпринимает значения от 0 до р, формула (1.4.1) преобразуется и будет иметь вид:

(1.4.2)

Среднее значение задержки можно найти по формуле:

(1.4.3)

где q=round(p/2) – количество уровней измерения, m=0,2,4…2(q-1).

Оценим погрешность измерения задержки в зависимости от погрешностей мгновенных значений, обусловленных шумами и помехами. При этом погрешность, типичную для метода дискретного счета и обусловленную нестабильностью кварцевого генератора АЦП, учитывать пока не будем, так как нас интересуют предельные возможности рассматриваемого метода многоуровневого аналого-цифрового преобразования и интерполирования. Поскольку метод измерения косвенный, то необходимо найти частные производные функции по всем учитываемым аргументам. Для упрощения записи введем обозначения:

; .

Здесь - разница между мгновенными значениями опорного и измерительного сигналов на уровне m; - приращение мгновенных значений опорного сигнала в соседних отсчетах уровня m для выбранного диапазона монотонного участка. Тогда частные производные будут иметь вид:

Для получения упрощенной математической модели будем считать, что на начальном и конечном участках изменения сигналов сохраняются их основные характеристики на близких уровнях измерения, т.е.:

Примем также, что СКО оценки мгновенных значений отсчетов задержанного и опорного сигналов соответственно равны:

; ,

где и - составляющие, обусловленные конечной разрядностью АЦП и шумами, накладываемыми на сигнал.

Выражение для абсолютного значения среднеквадратического отклонения (СКО) оценки задержки сигнала будет иметь вид:

где m=0,2,4…2(q-1).

Для получения численных значений СКО примем:

где b– коэффициент, лежащий в диапазоне от 0 до 1; s^*_U– среднеквадратическое значение погрешности отсчета, приведенное к средней разнице соседних мгновенных значений.

Относительное значение СКО оценки задержки может быть записано в виде следующего выражения:

где m=0,2,4…2(q-1).

Относительное значение СКО может быть представлено в виде:

(1.4.4)

Рассмотрим в диапазоне реальных значений поведение функции

.

Для расчета положим N=10000, =0.02, =0.1. Как следует из приведенного на рис. 1.4.3 графика, самый неблагоприятный случай будет при b=0. При этом функция f(b) и соответственно погрешность максимальны:

Рис. 1.4.3. Поведение функции f(b) в диапазоне b от 0 до 1

разницу фаз между сигналами можно найти из выражения:

(1.4.5)

Если считать, что s_t и s_T независимы, то выражение для относительного значения среднеквадратического отклонения (СКО) оценки фазового сдвига будет иметь вид:

Результаты расчетов СКО по формуле (1.4.4) приведены на рис. 1.4.4 – 1.4.6 для наихудшего случая, когда b=0. Графики представлены в логарифмическом масштабе. Рис. 1.4.4 показывает изменение s_j в зависимости от измеряемого фазового сдвига для фиксированного числа шагов дискретизации периода опорного сигнала N и различного числа уровней измерения q при уровне суммарных шумов , .

Из приведенных графиков следует, что так же, как и при измерении частоты, увеличение числа уровней измерения способствует фильтрации случайной погрешности, которая уменьшается пропорционально .

Рис. 1.4.5 показывает изменение s_j для 10 уровней измерения и различного числа N шагов дискретизации при том же уровне суммарных шумов. Увеличение числа шагов N дискретизации периода сигнала на порядок так же на порядок уменьшает СКО. Это особенно важно в области оценки малых фазовых сдвигов, так как нельзя измерить фазовый сдвиг, если в его временном интервале не укладывается хотя бы один интервал.

Рис. 1.4.4 . Зависимостьs_j от Dj для N=1000

Рис. 1.4.6 показывает изменение s_j для 100 уровней измерения, 1000 шагов дискретизации периода опорного сигнала при фиксированном уровне суммарных шумов и различных уровнях шумов . При построении графика предполагалось, что шумы опорного канала остаются неизменными.

Используя АЦП большей разрядности можно уменьшить шумы квантования и дополнительно повысить точность оценки фазового сдвига. Для увеличения количества уровней в два раза можно оцифровывать сигналы не только на участках возрастания, но и на участках убывания функций, т.е. использовать оба фронта сигнала.

Для проверки полученных теоретических результатов было проведено моделирование с построением гистограмм распределения относительной погрешности по данным 1000-кратной оценки фазового сдвига для случайных значений шумов квантования, распределенных в области доверительной вероятности по равномерному закону. Результаты моделирования для N=1000 точек на период при расчетах фазового сдвига сигналов хорошо согласуются с теоретическими графиками, представленными на рис. 1.4.4 – 1.4.6. Некоторые различия обусловлены тем, что при теоретической оценке значение функции f(b) взято в максимуме.

Рис. 1.4.5. Зависимостьs_j от Dj для q=10

Рис. 1.4.6. Зависимостьs_j от Dj для N=1000, q=100

На рис. 1.4.7 – 1.4.10 приведены гистограммы для 100 уровней усреднения, АЦП 12 бит, случайном шуме 1 бит при измерении фазовых сдвигов (Dj)100^o, 10^o, 1^o и 0.1^o. Средние значения относительной погрешности при этом соответственно получились 1.7*10^-5, 1.7*10^-4, 1.8*10^-3 и 1.6*10^-3, т.е. даже при оценке значения 0.1^o систематическая относительная погрешность менее 0.5%. Среднеквадратические отклонения соответственно получились 1.8*10^-5, 1.6*10^-4, 1.5*10^-3 и 1.6*10^-2. Аппроксимировав полученные распределения нормальным законом, и приняв доверительный интервал 3s, получим при оценке значения 0.1^o случайную максимальную погрешность менее 5%. Соответственно при оценке больших значений сдвига фазы погрешность значительно меньше.

Рис. 1.4.7. Гистограмма для АЦП 12 бит при шуме 1 бит, Dj =100o

Рис. 1.4.8. Гистограмма для АЦП 12 бит при шуме 1 бит, Dj =10o

Рис. 1.4.9. Гистограмма для АЦП 12 бит при шуме 1 бит, Dj =1o

Рис. 1.4.10. Гистограмма для АЦП 12 бит при шуме 1 бит, Dj =0.1o

Анализ полученных данных показывает, что предлагаемый метод многоуровневого аналого-цифрового преобразования и интерполирования позволяет условиях использования базы данных на ограниченном временном отрезке в 2 – 3 периода сигнала добиться значительного повышения точности оценки фазового сдвига. По сравнению с методом дискретного счета благодаря использованию процедуры интерполирования данных только на одном уровне даже при наличии шумов и помех точность повышается в среднем на порядок. Дополнительно еще примерно на порядок можно повысить точность за счет усреднения по результатам оценки сдвига фазы на 100 уровнях.

Результаты анализа и моделирования позволяют сделать вывод о целесообразности применения метода многоуровневого интерполирования и усреднения результатов в задачах оценки фазового сдвига при наличии внешних и внутренних шумов. При этом могут решаться задачи повышения быстродействия, подавления шумов и повышения точности оценки сдвига фазы или задержки периодического сигнала.