Логико-математический анализ содержания темы

(на примере «Умножение и деление десятичных дробей на натуральные числа»)

Ставший уже традиционным порядок изучения обыкновенных и десятичных дробей, принятый в учебниках Н.Я. Виленкина и др., а также Э.Р. Нурка и А.Э. Тельгма, утвердился в отечественной школе в 80-х годах 20 века.

Долгие годы в школе изучали обыкновенные дроби до десятичных. К концу 50-х годов математики и методисты сошлись во мнении, что не все благополучно с преподаванием математики в школе. Главную проблему тогда видели в том, что арифметике в школе отводилось слишком много времени в ущерб другим математическим дисциплинам, содержание которых отставало от современных потребностей.

В декабре 1958 г. Верховный Совет СССР принял Закон об укреплении связи школы с жизнью и о дальнейшем развитии системы народного образования в СССР и в первом же номере журнала «Математика в школе» за 1959 г. в порядке обсуждения была опубликована статья «О перестройке программ по математике в свете новых задач школы». В ней, в частности, предлагалось внести ряд изменений в построение курса арифметики, прежде всего построить его таким образом, чтобы «основное внимание в нем уделялось не обыкновенным дробям, как это имеет место в настоящее время, а десятичным». [11] Авторы статьи утверждали, что навыки действий над десятичными дробями имеют большую практическую ценность, чем навыки действий над обыкновенными дробями (не считая самых простейших), что учащиеся владеют десятичными дробями значительно менее уверенно, чем обыкновенными и делали вывод: «Чтобы десятичным дробям могло быть уделено внимание на протяжении всего прохождения курса арифметики, целесообразно изучать их в V классе не после обыкновенных дробей, а перед ними». При этом предлагалось вводить десятичные дроби «не как частный случай обыкновенных, а в результате естественного продолжения принципа десятичной нумерации». Такой подход, по мнению авторов статьи, облегчал в известной мере изучение обыкновенных дробей и способствовал облегчению всего курса арифметики, «не снижая его общего научного уровня».

В следующем номере журнала Е.С. Березанская, Г.Б. Гуревич и А.П. Дицман указали на противоречивость аргументации, приведенной в статье, и дали подтвердившийся позднее прогноз: «Вопреки мнению авторов предлагаемая ими последовательность изучения курса арифметики приведет к снижению его научного уровня, так как сведется к заучиванию правил, а не к ясному представлению о сущности выполняемых операций».

Обсуждение проекта новой программы в Московском математическом обществе показало, что большинство выступавших положительно оценили усиление внимания авторов проекта к вычислениям с десятичными дробями, однако возражения против изменения традиционного порядка изучения дробей высказали К.П.Сикорский, Г.В.Давыдов, А.Г.Курош. Интересно высказывание П.С.Александрова по теме дискуссии: «...вести разговор о перенесении центра тяжести с простых дробей на десятичные, или обратно, это все равно, что при изучении таблицы умножения «перенести центр тяжести» на 2 и 5 и оставить на заднем плане умножение на 3 и 7, чтобы твердо знали, что 2х5 — это 10 и не совсем твердо, что 3х7 — это 21. Не может быть сомнений в том, что человек, окончивший среднюю школу, должен уметь складывать не только десятичные дроби, но и простые. И спорить об этом, по меньшей мере, несерьезно».

Мудрый академик оказался неправ: спорить и серьезно отстаивать прежний порядок изучения дробей было необходимо.

Заметим, что в России уже издавалась «Арифметика» В.Я. Буняковского (СПБ, 1852), в которой десятичные дроби были объединены с целыми числами в одном понятии «десятичных чисел», и действия с ними рассматривались до изучения действий над обыкновенными дробями. Специальная математическая комиссия при главном начальнике военно-учебных заведений, во главе которой в то время стоял М.В.Остроградский, поддержала такой порядок изучения дробей, считая, что это упростит изложение арифметики. Но предложенный порядок изучения дробей не закрепился в отечественной школьной практике.

В учебнике Н.Я. Виленкина и др. сначала вводится ограниченный объем сведений об обыкновенных дробях, а потом изучается тема десятичные дроби: понятие десятичной дроби, сравнение и округление десятичных дробей, сложение и вычитание десятичных дробей, умножение и деление десятичных дробей на натуральное число, умножение и деление десятичных дробей, среднее арифметическое.

При объяснении темы «Умножение десятичных дробей на натуральное число» решается задача на нахождение периметра прямоугольника. Учащиеся находят сумму сторон прямоугольника и вспоминают понятие произведения чисел, заменяют сумму произведением и пробуют вывести правило умножения десятичной дроби на натуральное число. После формулировки правила рассматривают умножение на 10, 100, 1000. В десятичной дроби так же, как и в целом числе, значение цифры увеличивается в 10 раз при переходе на одно место справа налево и, наоборот, уменьшается в 10 раз при переходе на одно место слева направо. На основании этого можно быстро выполнять умножение и деление на 10, 100 и т.д. Решают задачи на движение по известной ранее формуле s=vt. После отработки навыков умножения работают индивидуально. Деление десятичных дробей объясняется на примере задачи на разрезание ленты на равные части. Ученики вспоминают понятие деления чисел, вспоминают компоненты действия деления, после чего формулируют правило деления десятичной дроби на натуральное число. При закреплении темы учатся переводить обыкновенные дроби в десятичные дроби, решают задачи на нахождение скорости движения, решают уравнения на нахождении неизвестных компонентов. В конце изучения этих тем выполняют контрольную работу, с последующей коррекцией.

10. Обучение учащихся решению составных задач. Ступени работы над составной задачей. Методические приемы, используемые для формирования у учащихся умения решать составные задачи.

В начальном курсе математике понятие «задача» обычно используется тогда, когда речь идет об арифметических задачах. Они формируются в виде текста, в котором находят отражение количественные отношения между реальными объектами. Поэтому их называют «текстовыми», « сюжетными», «вычислительными» или «практическими».

Начальный курс математики ставит основной целью научить младших школьников решать задачи арифметическим методом, который сводится к выбору арифметического действия или действий, моделирующих связи между данными и искомыми величинами. Оно оформляется в виде последовательности числовых равенств или выражением, к которым даются пояснения.

Работа с текстовыми задачами

Выпускник научится:

· анализировать задачу, устанавливать зависимость между величинами, взаимосвязь между условием и вопросом задачи, определять количество и порядок действий для решения задачи, выбирать и объяснять выбор действий;

· решать учебные задачи и задачи, связанные с повседневной жизнью, арифметическим способом (в 1—2 действия);

· оценивать правильность хода решения и реальность ответа на вопрос задачи.

Выпускник получит возможность научиться:

· решать задачи на нахождение доли величины и величины по значению её доли (половина, треть, четверть, пятая, десятая часть);

· решать задачи в 3—4 действия;

· находить разные способы решения задачи.

Определение составной задачи.

Задача, для решения которой надо выполнить несколько действий, связанных между собой, называется составной задачей. Она включает в себя ряд простых задач. Связанных между собой, так что искомые одних простых задач служат данными других. Решение составной задачи сводится к расчленению ее на ряд простых задач и к последовательному их решению.