Полярное соответствие, принцип двойственности.

Определение.Полярное соответствие на плоскости относительно окружности с центром О и радиусом r ставит в соответствие каждой точке А, отличной от О, прямую а, перпендикулярную ОА и пересекающую луч ОА в такой точке А´, что . Прямая а называется полярой точки А, а точка А – полюсом прямой а. Полярой точки О является бесконечно удалённая прямая, а полярой бесконечно удалённой точки – прямая, содержащая диаметр, перпендикулярный проходящим через неё параллельным прямым.

Свойства.

1. Если точка В лежит на поляре а точки А, то её поляра проходит через А.
2. Полюс прямой является пересечением поляр всех её точек.
3. Поляра точки является геометрическим местом полюсов всех проходящих через эту точку прямых.
4. Полярой точки А, лежащей вне окружности, будет прямая, соединяющая точки касания окружности с касательными, проведёнными к ней из точки А.
5. Если проективное преобразование сохраняет данную окружность и переводит точку А в А´, то поляра а точки А переходит в поляру а´ точки А´.

Первое свойство является очевидным, а каждое следующее свойство сразу вытекает из предыдущих.

Следствие. (принцип двойственности) Пусть доказано некоторое проективное утверждение. Тогда верным будет и утверждение, полученное из доказанного взаимной заменой следующих терминов:

(точка)↔(прямая)

(лежать на прямой)↔(проходить через точку)

(лежать на окружности)↔(касаться окружности)

Двойственны, например, теоремы Паскаля и Брианшона.

Теорема 3.1.(теорема обратная теореме Дезарга) Если прямые, соединяющие соответственные вершины треугольников ABC и A´B´C´, пересекаются в одной точке, то прямые, содержащие соответственные стороны этих треугольников, пересекаются в точках, лежащих на одной прямой.

Доказательство. Эта теорема двойственна теореме 2.1. (теореме Дезарга).

Часть V. Круговые преобразования пространства.

Инверсия пространства.

Определение.Пусть в пространстве дана сфера S с центром О и радиусом R. Инверсией относительно сферы S называется преобразование, переводящее произвольную точку А, отличную от О, в точку А´, лежащую на луче ОА такую, что . S – сфера инверсии, О – центр, R – радиус инверсии.

Дополним пространство бесконечно удалённой точкой и поставим её в соответствие точке О (тогда, очевидно, бесконечно удалённая точка перейдёт при инверсии в точку О).

Будем считать, что любая прямая и любая плоскость содержат бесконечно удалённую точку пространства.

Определение. Углом между двумя пересекающимися сферами называется угол между касательными плоскостями к сферам, проведёнными через любую из точек пересечения сфер. Углом между пересекающимися сферой и плоскостью называется угол между касательной плоскости к сфере, проведённой через любую из точек пересечения сферы и плоскости, и данной плоскостью.

Определение. Углом между двумя пересекающимися окружностями (окружностью и прямой) в пространстве называется угол между касательными к окружностям, проведёнными через любую из точек пересечения окружностей. Углом между пересекающимися окружностью и прямой называется угол между касательной к окружности, проведённой через любую из точек пересечения окружности и прямой, и данной прямой.

С помощью движений пространства легко доказать корректность этих определений (т.е., что угол не зависит от точки пересечения сфер (окружностей), которую мы рассмотрели). Например, для сфер можно перевести одну точку пересечения в другую, сохранив сферы, поворотом вокруг оси, проходящей через центры сфер.

Свойства инверсии.

1. Преобразование, обратное инверсии, – та же инверсия.
2. Прямая (плоскость), проходящая через точку О, переходит в себя.
3. Прямая (плоскость), не содержащая точку О, переходит в окружность (сферу), проходящую через точку О.
4. Окружность (сфера), содержащая точку О, переходит в прямую (плоскость), не содержащую О.
5. Сфера, не содержащая точки О, переходит в сферу.
6. Окружность, не содержащая точки О, переходит в окружность.
7. Сохраняется угол между пересекающимися сферами (плоскостями, сферой и плоскостью).
8. Сохраняется угол между пересекающимися окружностями (прямыми, окружностью и прямой).
9. Если А´, В´ - образы точек А, В, то .
10. Если сфера S´ - образ сферы S, то О – центр гомотетии, переводящей S в S´.

Доказательства свойств.

Свойства 1-5, 7, 9, 10 доказываются аналогично свойствам инверсии на плоскости.

Свойство 6 следует из того, что окружность можно представить в виде пересечения двух сфер.

Докажем свойство 8. Будем говорить, что окружности (окружность и прямая) касаются, если они лежат на одной сфере (в одной плоскости) и имеют ровно одну общую точку. Как легко видеть, касающиеся окружности (окружность и прямая) переходят при инверсии в касающиеся окружности (окружность и прямую) или параллельные прямые. Поэтому угол между образами окружностей равен углу между образами касательных прямых, проведённых через точку касания.

Итак, утверждение достаточно доказать для пересекающихся прямых. При инверсии с центром О эти прямые переходят в окружности, проходящие через О. Причём касательные к ним в точке О параллельны этим прямым, т.е. угол между ними сохраняется.

Задача.

Семь вершин выпуклого шестигранника, все грани которого – четырёхугольники, лежат на одной сфере. Доказать, что и восьмая вершина этого шестигранника лежит на этой сфере.

Решение.

Пусть ABCDA₁B₁C₁D₁ – наш шестигранник, и пусть для определённости вершина D₁ – та вершина, про которую не известно, лежит ли она на данной сфере. Сделаем инверсию с центром в точке В. При этой инверсии данная сфера перейдёт в некоторую плоскость α. Точки B₁´, C₁´, C´, D´, A´, A₁´, образы точек B₁, C₁, C, D, A, A₁, лежат в плоскости α, причём точки C₁´, D´, A₁´ лежат на сторонах треугольника B₁´C´A´ (см. рис.).

Плоскости (B₁A₁C₁), (CDC₁), (DAA₁) перейдут в сферы, описанные около тетраэдров BB₁´A₁´C₁´, BC´D´C₁´, BD´A´A₁´. Точка D₁ перейдёт в точку пересечения этих сфер, отличную от В. Фактически нам надо показать, что эта точка лежит в плоскости α. Для этого достаточно показать, что окружности, описанные около треугольников B₁´A₁´C₁´, C´D´C₁´, D´A´A₁´, пересекаются в одной точке. А это уже простой факт планиметрии. Действительно, пусть окружности, описанные около треугольников B₁´A₁´C₁´, C´D´C₁´, пересекаются в точке О. Тогда, как легко убедиться, , и окружность, описанная около треугольника D´A´A₁´, проходит через точку О. Доказательство завершено.

2. Круговые преобразования.

Плоскости вместе с бесконечно удалённой точкой будем называть сферами.

Определение. Преобразование пространства, сохраняющее сферы, называется круговым.

Инверсия является частным случаем круговых преобразований.

Теорема 2.1. Круговое преобразование, сохраняющее бесконечно удалённую точку, является подобием.

Доказательство. Если круговое преобразование сохраняет бесконечно удалённую точку, то оно сохраняет плоскости, т.е. является аффинным. Но аффинное преобразование, сохраняющее сферу, является подобием (теорема 4.3 части III).

Теорема 2.2. Круговое преобразование, не сохраняющее бесконечно удалённую точку, может быть представлено композицией инверсии и движения.

Доказательство. Пусть круговое преобразование f переводит бесконечно удалённую точку в некоторую точку О, – инверсия с центром в точке О. Тогда сохраняет бесконечно удалённую точку, т.е. является подобием. Коэффициент подобия зависит от радиуса инверсии и может быть сделан равным единице. Тогда будет движением, и f можно будет представить композицией инверсии и движения.