Вращение вокруг координатных осей

на плоскости вращение вокруг оси, проходящей через начало координат и перпендикулярной плоскости, осуществлялось матрицей

Положительным направлением считается направление против часовой стрелки (если смотреть вдоль этой оси к началу координат!). В трехмерном случае вращение вокруг оси

то есть первая строка и первый столбец имеют вид

Вокруг оси

Вокруг оси

Отображение относительно координатных плоскостей

Отображение относительно плоскости меняет лишь знак координаты точек. Таким образом

отображение относительно x0y

отображение относительно

Пространственный перенос

Трехмерный линейный перенос изображения определяется выражением:

откуда

то есть

Трехмерное вращение вокруг произвольной оси

Итак, если ось, вокруг которой выполняется вращение, проходит через точку , то матрица преобразования однородных координат определяется как

Определим элементы матрицы вращения

5 Аффинная и перспективная геометрия: аксонометрические проекции, перспективные преобразования и проекции, восстановление трехмерной информации.

Аффинная геометрия сохраняет параллельность линий и соотношения между параллельными линиями. Аффинное преобразование является комбинацией линейных преобразований с переносом изображения. Для аффинного преобразования последний столбец матрицы должен быть равным 0. Композиция аффинных преобразований также является аффинным преобразованием.

В перспективной геометрии не сохраняется параллельность. Перспективное преобразование имеет место в том случае, когда последний столбец матрицы не нулевой. Аффинное или перспективное преобразование в сочетании с построением проекции на некоторую плоскость образуют соответствующую (аффинную или перспективную) проекцию.

В общем случае проекции преобразуют точки, заданные в системе координат размерностью , в точки системы координат размерностью . Проекция трехмерного объекта (совокупности точек) строится при помощи прямых проецирующих лучей, которые называются проекторами, выходящими из центра проекции. Эти прямые проходят через каждую точку объекта; проекцией являются совокупность точек пересечения проекторов с проекционной плоскостью. При этом всегда проекцией отрезка является отрезок, поэтому достаточно спроецировать лишь граничные точки.

В зависимости от расположения центра проекции, проекция бывает центральной (центр проекции удален от плоскости на конечное расстояние) и параллельной (центр в бесконечности).

Параллельная проекция является аффинной, а центральная–перспективной (по виду преобразования).

Аксонометрические проекции

Аксонометрическая проекция получается с помощью преобразования, определитель которого равен нулю. После выполнения преобразования осуществляется параллельное проецирование.

Существуют три вида аксонометрических проекций, различающихся по виду аффинного преобразования – ортогональная, диметрическая и изометрическая. Прежде чем остановиться на них, рассмотрим общую для всех этих видов часть – параллельное проецирование.

Проекция из трехмерного пространства на плоскость может быть получена следующим образом:

то есть

Это преобразование представляет собой композицию двух преобразований: – параллельного проецирования на плоскость

и переноса вдоль оси на величину

Аналогично, проецирование в плоскость x = l или y = m реализуется матрицами