С добавлением плоскости симметрии

Элемент симметрии	Класс симметрии	Формула симметрии	Сингония
порождающий	порождённый
	–	m	P	Моноклинная
	`1	2/m	L2PC	Ромбическая
	–	`6	L3P	Тригональная
	`1	4/m	L4PC	Тетрагональная
	`1	6/m	L6PC	Гексагональная

Планаксиальные классы симметрии получаются, если к порождающей оси симметрии n-го порядка добавить центр симметрии, параллельные плоскости симметрии и перпендикулярные оси 2. Для чётных осей при этом появятся ещё и поперечные плоскости (табл. 12).

Обозначение планаксиальных классов симметрии

Элемент симметрии	Класс симметрии	Формула симметрии	Сингония
порождающий	порождённый
	m	2/m	L2PC	Моноклинная
	¾	mmm	3L23PC	Ромбическая
	m	`3m	L33L23PC	Тригональная
	m	4/mmm	L44L25PC	Тетрагональная
	m	6/mmm	L66L27PC	Гексагональная

В планаксиальных классах нет полярных направлений. Символ класса 4/mmm можно записывать более подробно: , т. е. имеются единственная ось 4, параллельная оси Z, и плоскость m, нормальная к ней, две оси 2 в координатных направлениях и плоскости, нормальные к ним, и две оси 2 в диагональных направлениях и плоскости, нормальные к ним.

Мы рассмотрели все возможные сочетания, в которых порождающей была простая ось симметрии. Теперь в качестве основных осей симметрии возьмем инверсионные оси. В результате образуются инверсионно-примитивные и инверсионно-планальные классы, причём последние следуют из теоремы 6 (табл. 13 и 14).

Обозначение инверсионно-примитивных классов симметрии

Международное обозначение	Формула симметрии	Сингония
`3	L3С	Тригональная
`4	L`4	Тетрагональная
`6	L3P	Гексагональная

Обозначение инверсионно-планальных классов симметрии

Международное обозначение	Формула симметрии	Сингония
`42m	L`42L22P	Тетрагональная
`6m2	L`63L23P = L33L24P	Гексагональная

Из этих классов уже были выведены классы `3 и `6. Таким образом, для кристаллов низшей и средней категорий получилось 27 классов симметрии.

Выведем классы симметрии кристаллов высшей категории, у которых нет единичных направлений и обязательно есть несколько осей симметрии порядка больше двух. В многограннике все эти оси пересекаются в одной точке. Если есть две оси симметрии, то, согласно теореме Эйлера, в системе рождается третья ось. В результате возникают ограничения на взаимное расположение осей симметрии порядка больше двух. Этим ограничениям удовлетворяют только два сочетания, соответствующие осям симметрии тетраэдра и октаэдра (рис. 29). Следует отметить, что симметрия октаэдра совпадает с симметрией куба. В результате получаем два класса симметрии.

Классы симметрии тетраэдра и октаэдра

Ось	Многогранник	Класс симметрии
3, 3, 2	Тетраэдр
4, 3, 2	Октаэдр

У тетраэдра с осями координат совпадают три оси 2, у октаэдра, также как и у куба, – три оси 4. Цифра 3 на второй позиции в символе 23 или 432 означает наличие четырёх осей 3, проходящих через вершины куба или центры граней октаэдра, или через вершину и центр противоположной грани тетраэдра. Цифра 2 на третьей позиции означает 6 диагональных осей 2 октаэдра или куба.

Остальные классы кубической сингонии можно вывести так же как и для более низших сингоний путём добавления поочередно центра симметрии или плоскостей симметрии (табл. 16). Плоскости можно добавлять лишь двумя способами: три координатных плоскости или шесть диагональных. Другое расположение плоскостей приведёт к появлению новых осей симметрии. Оси 2 добавлять тоже нельзя, потому что исчерпаны все возможные сочетания осей.

Классы симметрии высшей категории, возникающие при добавлении

Центра и/или плоскости симметрии

Элементы симметрии	Класс симметрии
порождающий	порождённый	символ	формула
	`1	Три координатных плоскости	m3	4L33L23PC
Плоскость m вдоль оси 2	`1	m3	- " -
Плоскость m вдоль оси 3	Шесть диагональных плоскостей; вместо осей 2 оси 4	`43m	3L44L36P
	`1	Три координатных плоскости; шесть диагональных плоскостей	m3m	3L44L36L29PC
Плоскость m вдоль оси 4	`1; шесть диагональных плоскостей	m3m	- " -
Плоскость m вдоль оси 3	Три координатных плоскости;`1	m3m	- " -

Окончательно для кубической сингонии получаем 5 классов симметрии, которые представлены в табл. 17.