Введение в матричные исчисления

В данном разделе изучаются элементарные основы матричных исчислений, которые позволят понять дальнейшее изложение материала. Основное внимание будет уделено изучению квадратных матриц размера 2х2.

Рассмотрим, каким образом возникает понятие матрицы. Предположим, что мы имеем систему линейных уравнений

(1)

где A, B, C, D – известные константы, x, y – переменные величины. Эти уравнения позволяют вычислить U и V, если известны x и y. Во многих случаях оказывается удобным отделить постоянные величины от переменных. При этом два уравнения можно записать в виде одного соотношения следующим образом:

(2)

Каждая из групп символов, заключенная между парой вертикальных скобок, рассматривается как единое целое и называется матрицей. Величины

представляют собой матрицы – столбцы, или векторы – столбцы.

Матрица

,

которая состоит из двух строк и двух столбцов, называется квадратной матрицей второго порядка (размера 2х2). Матрица – строка, или вектор – строка, записываются в виде [P Q], в ней отдельные символы – матричные элементы – расположенные горизонтально на одной строке.

Матричное произведение. Если заданы две матрицы

,

тогда матричное произведение имеет вид

.

(3)

При перемножении матриц необходимо учитывать следующие условия:

Ø должен соблюдаться порядок сомножителей (M₁M₂¹M₂M₁), т.е. произведение матриц некоммутативное;

Ø можно перемножить матрицы М₁ и М₂, тогда и только тогда, когда число столбцов в первом сомножителе (матрица М₁) такое же, как число строк во втором сомножителе (матрица М₂), в этом случае матрицы М₁ и М₂ называются согласованными.

Если мы хотим найти произведение трех матриц М₁, М₂, М₃, то можно поступить двумя способами:

Ø найти произведение (М₂ М₃), а затем умножить его слева на М₁;

Ø найти произведение (М₁ М₂), а затем умножить его справа на М₃.

При условии, что мы сохраняем порядок расположения матриц, эти два способа дают одинаковый результат, М₁×М₂×М₃=М₁×(М₂×М₃)=(М₁×М₂)×М₃. Таким образом, хотя произведение матриц не обладает свойством коммутативности, тем не менее, ассоциативный закон для него справедлив. Обобщая этот закон на большое число матриц, нетрудно показать, что для произведения четырех матриц М₁×М₂×М₃×М₄=М₁×(М₂×М₃)×М₄=(М₁×М₂×М₃)×М₄.

Нулевая матрица. Матрица, в которой все элементы равны нулю, называется нулевой матрицей. Нулевая матрица второго порядка имеет вид:

.

(4)

При умножении любой матрицы, имеющей в качестве первого или второго сомножителя нулевую матрицу (согласованной формы), мы получаем нулевую матрицу.

Диагональная матрица (L). Матрица, в которой элементы главной диагонали могут иметь любые значения, а недиагональные элементы равны нулю, называется диагональной матрицей.

Единичная матрица. Диагональная матрица, в которой элементы главной диагонали равны единице, называется единичной матрицей. Единичная матрица второго порядка имеет вид

.

(5)

Основное свойство единичной матрицы второго порядка: любая матрица из двух строк, умноженная на нее слева, и любая матрица из двух столбцов, умноженная на нее справа, в результате остаются неизменными.

Сложение и вычитание матриц. При условии, что две матрицы М₁ и М₂ имеют одинаковое число строк и столбцов, их сумма (или разность) получается простым сложением (или вычитанием) любых двух соответствующих матричных элементов. Матрицы подчиняются дистрибутивному закону: М₁ (М₂+М₃)=М₁×М₂+М₁×М₃.

Если мы одну и ту же матрицу сложим саму с собой l раз, то каждый из матричных элементов окажется умноженным на одно и то же число (или скалярную величину) l. Такую операцию называют иногда умножением матрицы на скаляр. Тот же результат можно получить перемножением матриц, если умножить матрицу справа или слева на диагональную матрицу l×I, все диагональные элементы которой равны l.

Транспонированная матрица. Матрица, полученная в результате замены строк на соответствующие столбцы в некоторой матрице М, называется транспонированной матрицей по отношению к М и обозначается М^Т. Если матрица М имеет m строк и n столбцов, то транспонированная к ней матрица М^Т состоит из n строк и m столбцов.

Существует важная теорема об умножении транспонированных матриц: матрица, транспонированная по отношению к произведению двух матриц, равна произведению их транспонированных матриц, выполненному в обратном порядке, (М₁×М₂)^Т=М₂^Т×М₁^Т. Используя ассоциативное свойство матричного умножения, нетрудно показать, что (М₁×М₂×М₃)^Т = ((М₁×М₂)×М₃)^Т = М₃^Т×(М₁×М₂)^Т= М₃^Т×М₂^Т×М₁^Т.

Определитель. Для любой квадратной матрицы существует единственное число или величина, которая называется ее определителем. Определитель матрицы М размером 2х2 имеет вид:

.

(6)

Правило для вычисления определителя квадратной матрицы размером 2х2 – найти произведение двух элементов главной диагонали и вычесть из него произведение остальных двух элементов.

Теорема об определителях - определитель произведения двух и более квадратных матриц равен произведению их определителей, т.е. det(M₁×M₂)=det(M₁)×det(M₂). Отметим, что для определителей порядок перемножения матриц не имеет значения.

Для определителя матрицы характерны следующие особенности

Ø если определитель матрицы равен нулю, такая матрица называется вырожденной (или особенной),в противном случае – невырожденной (или неособенной);

Ø если определитель матрицы размером 2х2 равен единице, такую матрицу называют унимодулярной.

Обратная матрица. Если матрица М не вырожденная, то существует одна и только одна обратная ей матрица R, обладающая тем свойством, что как произведение (MR), так и произведение (RM) равно единичной матрице I того же порядка. Эту матрицу будем обозначать через М^-1.

Обращение матриц. Правило нахождения обратной матрицы называется обращением матрицы. Это правило состоит в том, чтобы найти присоединенную матрицу, транспонировать ее, а затем разделить на определитель.

В случае матрицы размером 2х2 присоединенная матрица получается простой взаимной заменой диагональных элементов с одновременным изменением знака правого верхнего и левого нижнего элементов.

Для матрицы

можно записать присоединенную матрицу вида

.

Найдем матрицу, транспонированную по отношению к матрице adj(M),

,

и, наконец, разделим каждый ее элемент на определитель det(M)=(A×D-B×C). Заметим, что определители всех трех приведенных выше матриц одинаковы.

Чтобы обратить унимодулярную матрицу 2х2, нужно поменять местами элементы, расположенные на главной диагонали, и изменить знаки двух других элементов, оставляя эти элементы на своих местах:

,

тогда

.

Чтобы получить матрицу, обратную произведению нескольких матриц, необходимо перемножить в обратном порядке матрицы, обратные отдельным сомножителям:

.

Приведение матрицы к диагональному виду. Иногда возникает необходимость выполнить одно за другим умножение на одну и ту же невырожденную матрицу М. При этом оказывается удобным найти диагонализирующую матрицу F, т.е. матрицу, преобразующую исходную к диагональному виду:

,

(7)

где L - диагональная матрица, F^-1 – матрица, обратная к F.

Если допустить, что матрицы F и Lсуществуют, то F^-1 F=I, тогда

.

Аналогично,

.

В общем случае

.

(8)

Таким образом, если преобразование к диагональному виду найдено, то N-я степень исходной матрицы получается простым возведением диагональной матрицы в N-ю степень, причем все, что мы должны сделать, - это заменить каждый элемент главной диагонали l величиной l^N.

Диагональные элементы l₁, l₂, … l_r, … матрицы L называют характеристическими корнями или собственными значениями исходной матрицы F, а отдельные столбцы диагонализирующей матрицы F называют соответственно ее характеристическими векторами или собственными векторами. Для матрицы 2х2 существуют только два собственных значения

Собственные значения и собственные векторы унимодулярной матрицы. Если мы хотим привести квадратную матрицу М к диагональному виду, то следует начать с определения собственных значений l₁, l₂, … и т.д. Для этого обычно решают характеристическое уравнение матрицы М:

.

(8)

В случае унимодулярной матрицы размера 2х2:

.

Согласно условию, det(M)=(A×D-B×C)=1, характеристическое уравнение для двух значений lможно упростить:

.

Из уравнения видно, что два решения l₁, l₂ должны удовлетворять равенствам l₁+l₂=A+D и l₁×l₂=1. Решая квадратное уравнение, находим

.

(9)

Величину (A+D), т.е. сумму диагональных элементов, называется след матрицы. Если след матрицы принимает значение от 2 до -2, то два собственных значения удобно переписать в виде функции угла Q, выбирая его, так, чтобы он изменялся в пределах от 0 до p. Таким образом, можно записать

.

(10)

Тогда мы получим следующие равенства

(11)

В уравнении (11):

.

Наоборот, если (A+D)>2 или (A+D)<-2, то можно выбрать такую положительную величину t, что (A+D)=+2×ch(t) – в первом случае, или (A+D)=-2 ch(-t) – во втором случае, где ch(t) – гиперболический косинус от t. При этом собственные значения записываются виде:

Ø если (A+D)>2, тогда l₁=exp(+t) и l₂=exp(-t),

Ø если (A+D)>-2, тогда l₁= -exp(+t) и l₂= -exp(-t).

Чтобы завершить процесс приведения матрицы к диагональному виду, необходимо определить диагонализирующую матрицу F:

,

и обратную ей матрицу F^-1:

.

Итак, окончательное преобразование, приводящее матрицу к диагональному виду, имеет вид

,

(12)

где AD-BC=1, а l₁ и l₂ таковы, что l₁×l₂=1 и l₁+l₂=A+D.

ОСНОВЫ МАТРИЧНОЙ ОПТИКИ

В данном разделе мы рассмотрим, каким образом можно применить матрицы для описания геометрического построения изображений в центрированной системе линз, т.е. в системе, состоящей из последовательности сферических поверхностей, центры которых расположены на одной оптической оси. Все результаты будут справедливы в рамках следующих приближений:

1. длина волны света считается пренебрежимо малой и распространение света можно описать с помощью отдельных лучей;

2. будем рассматривать лишь параксиальные лучи, - лучи, которые при своем прохождении через оптическую систему остаются близкими к ее оси симметрии и почти параллельными ей.

В дальнейшем мы будем рассматривать получение лучей, лежащих в плоскости YZ в непосредственной близости от оси OZ. Ось OZ совпадает с оптической осью системы, а ось OY расположена в плоскости страницы и направлена вверх.

Траектория луча, поскольку он проходит через различные преломляющие поверхности системы, будет состоять из последовательности прямых линий. Каждая из этих прямых определяется координатами одной принадлежащей ей точки и углом, который составляет данная линия с осью OZ. Для оценки координат и углов вводится понятие опорной плоскости.

Опорная плоскость (ОП) – произвольная плоскость перпендикулярная оси OZ. Луч можно определить по отношению к ОП двумя параметрами: высотой (y), на которой этот луч пересекает ОП, и углом (v), который он составляет с осью OZ. Угол v измеряется в радианах и считается положительным, если он соответствует вращению против часовой стрелки от положительного направления оси Z к направлению, в котором свет распространяется вдоль луча (рис.1).

Рис.1

На каждом этапе расчетов выбирается новая ОП. В этом случае, параметры луча непрерывно переносятся с одной ОП на другую, по мере того как мы рассматриваем различные элементы системы. Если требуется выполнить полные расчет системы в целом, то возникает вопрос о полной матрице преобразования лучей, которая преобразовала бы все необходимые параметры луча от выбранной нами входной ОП непосредственно к выбранной выходной ОП.

Для проведения расчетов удобно заменить угол луча u соответствующим ему оптическим направляющим косинусом V=n u (или, точнее говоря, V=n sinu), где n – показатель преломления среды, в которой распространяется луч.

В таблице 1 приведены матрицы преобразования лучей, соответствующие наиболее часто встречающимся оптическим элементам.

Табл.1

№	Описание	Оптическая схема	Матрица преобразования лучей
	Перемещение в свободном пространстве (Т-матрица)
	Преломление на одной поверхности (R-матрица)
	Отражение от одной поверхности
	Тонкая линза в воздухе (фокусное расстояние F, оптическая сила Р)
	Преобразования луча между двумя главными плоскостями системы линз в воздухе (фокусное расстоя­ние F)
	Преобразование луча между фокальными плоскостями системы линз в воздухе (фокусное расстояние F)
	Преобразование луча между двумя сопряженными плоскостями оптической системы (поперечное увеличение m и фокусное расстояние F)
	Афокальная система с поперечным увеличением m

Таким образом, каждому элементу оптической системы можно поставить в соответствие свою унимодулярную матрицу преобразования лучей. Для того, чтобы получить общую матрицу преобразования лучей, описывающую всю оптическую систему в целом, следует перемножить в правильной последовательности все матрицы элементарных перемещений и преломлений, встречающихся в системе. Если

матрица системы, полученная в результате всех преобразований, то следует проверить, равен ли ее определитель единице, а затем использовать ее в уравнении преобразования луча

.

(13)