Понятия о системах счисления. Исторические сведения.

Пояснительная записка

Данное пособие содержит теоретический материал по теме «Системы счисления», задания, разобраны решения типовых задач, предложены задания для самостоятельного изучения и закрепления новых знаний и умений. Рабочую тетрадь можно использовать для самостоятельного изучения нового материала. Теоретический материал и задания в рабочей тетради дополняют и углубляют сведения, имеющиеся в учебнике.

Тема «Системы счисления» вызывают у учащихся затруднения потому, что при изучении не предусмотрена работа на компьютере и приходится выполнять много вычислений. Это не способствует эффективному усвоению материала, и у ребят пропадает интерес к обучению. Для того чтобы этого не произошло, я предлагаю задания творческого характера.

По теме «Системы счисления» предусмотрено выполнение контрольной работы. Работая с тетрадью, учащиеся выполняют три обязательных самостоятельных работы обучающего характера. Самостоятельные работы составлены на 10 вариантов, что понижает возможность списывания. Понимая это, учащимся приходится вникать в тему и работать самим, чтобы избежать отрицательной отметки. Этим обуславливается хорошая подготовка к контрольной работе и твёрдые знания по теме.

После изучения темы «Системы счисления» учащиеся должны:

Знать:

· Определение алфавита системы счисления

· Определение цифр

· Определение системы счисления

· Определение развёрнутой формы числа

· Виды систем счислений (позиционные и непозиционные).

· Правила перевода чисел из двоичной системы счисления в десятичную систему счисления и наоборот.

· Правила перевода целых чисел из десятичной системы счисления в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную систему счисления.

· Правила перевода дробных чисел из десятичной системы счисления в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную систему счисления.

Уметь:

· Представлять числа в развёрнутой форме.

· Переводить числа в позиционных системах счисления

Понятия о системах счисления. Исторические сведения.

Потребность в записи чисел появилась в очень древние времена, как только люди научились считать. Известно множество способов представления чисел. В любом случае число изображается символом или группой символов.

Количество предметов изображалось нанесением черточек или засечек на какой-либо твердой поверхности: камне, глине и т.д. Люди рисовали палочки на стенах и делали зарубки на костях животных или ветках деревьев, завязывали узелки. Позднее люди вынуждены стали группировать, как вы это сейчас делаете, сотнями, десятками, единицами.

И для того, чтобы правильно читать и записывать числа были придуманы СС

ü Система счисления – это совокупность приемов и правил для обозначения и наименования чисел.

ü Алфавит системы счисления – это множество всех символов (знаков), используемых для записи чисел в данной системе счисления.

ü Цифры – это любой символ (знак), входящий в алфавит данной системы счисления.

Системы счисления

Позиционные

Непозиционные

ДОПОЛНИТЕЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ

1. Какое минимальное основание имеет система счисления, если в ней записаны числа 127, 222, 111? Определите десятичный эквивалент данных чисел в найденной системе счисления.

2. Существует ли треугольник, длины сторон которого выражаются числами 12₈, 11₁₆ и 11011₂. Ответ поясните.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА № 1

ВАРИАНТ 1

1. Переведите из восьмеричной системы счисления в десятичную 250, 2022, 2757, 123.
2. Определите десятичный эквивалент шестнадцатеричных чисел 113, 2ACF, 691, D306F.

ВАРИАНТ 2

1. Переведите из восьмеричной системы счисления в десятичную 247, 2021, 2756, 122.
2. Определите десятичный эквивалент шестнадцатеричных чисел 112, 2ACE, 690, D306E.

ВАРИАНТ 3

1. Переведите из восьмеричной системы счисления в десятичную 246, 2020, 2755, 121.
2. Определите десятичный эквивалент шестнадцатеричных чисел 111, 2ACD, 68F, D306D.

ВАРИАНТ 4

1. Переведите из восьмеричной системы счисления в десятичную 244, 2016, 2753, 117.
2. Определите десятичный эквивалент шестнадцатеричных чисел 10F, 2ACB, 68D, D306B.

ВАРИАНТ 5

1. Переведите из восьмеричной системы счисления в десятичную 243, 2015, 2752, 116.
2. Определите десятичный эквивалент шестнадцатеричных чисел 10E, 2ACA, 68C, D306A.

ВАРИАНТ 6

1. Переведите из восьмеричной системы счисления в десятичную 242, 2014, 2751, 115.
2. Определите десятичный эквивалент шестнадцатеричных чисел 10D, 2AC9, 68B, D3069.

ВАРИАНТ 7

1. Переведите из восьмеричной системы счисления в десятичную 241, 2013, 2750, 114.
2. Определите десятичный эквивалент шестнадцатеричных чисел 10C, 2AC8, 68A, D3068.

ВАРИАНТ 8

1. Переведите из восьмеричной системы счисления в десятичную 240, 2012, 2747, 113.
2. Определите десятичный эквивалент шестнадцатеричных чисел 10B, 2AC7, 688, D3067.

ВАРИАНТ 9

1. Переведите из восьмеричной системы счисления в десятичную 237, 2011, 2746, 112.
2. Определите десятичный эквивалент шестнадцатеричных чисел 10A, 2AC6, 688, D3066.

ВАРИАНТ 10

1. Переведите из восьмеричной системы счисления в десятичную 236, 2010, 2745, 111.

2. Определите десятичный эквивалент шестнадцатеричных чисел 109, 2AC5, 687, D3065.

Преобразование из 10- ой в двоичную систему счисления:

Задание 27.

Мартышка-мама связала 111 своим непослушным детишкам по перчатке на каждую руку и ногу. Но они порвали все свои перчатки, кроме младшего, который порвал только 11. Сколько перчаток попадет маме в починку? Ответ дайте в 8-й системе счисления.___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Задание 28.Переведите координаты точек в 10-ую СС и постройте рисунок в координатной плоскости:

1. (1; 11)

2. (101; 11)

3. (101;1001)

4. (1000; 110)

5. (101; 11)

6. (1010; 110)

7. (1001; 1)

8. (11;1)

9. (1;11)

10. (101; 1001)

11. (101; 1010)

12. (1000; 1010)

13. (1000; 1001)

14. (101; 1001)

Задание 29.Переведите числа:

в восьмеричную систему счисления

а) 26₁₀ = ______________________________________________________________________

б) 84₁₀ =______________________________________________________________________

в) 91₁₀ = ______________________________________________________________________

в десятичную систему счисления

а) 15₈= _______________________________________________________________________

б) 107₈ =______________________________________________________________________

в) 1003₈ = _____________________________________________________________________

Задание 30. Блиц-опрос:

1. Верно ли, что число 1001101 может быть записано в двоичной системе счисления?
2. Верно ли, что римская система счисления непозиционная?
3. Верно ли, что в компьютерах используется римская система счисления?
4. Верно ли, что для сложных арифметических вычислений удобно пользоваться римской системой счисления?
5. Верно ли, что в двоичной системе счисления существует цифра 2?
6. Верно ли, что число 23222112 может быть записано в четырехричной системе счисления?
7. Верно ли, что арабские цифры удобны для сложных арифметических вычислений?
8. Верно ли, что в памяти компьютера используется десятичная система счисления?
9. Верно ли, что все системы счисления делятся на две большие группы?
10. Верно ли, что десятичная система счисления позиционная?

САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА № 2

КАРТОЧКА № 1

1. Используя таблицу кодировки букв и правила перевода чисел 2®10, расшифруйте приведенное слово: 1101₂ 0100₂ 1010₂ 1011₂

Буква

А

В

Д

Е

Ж

И

К

Л

М

Н

О

П

Р

Ь

Ш

10-тичный код

Ответ: _____________

1. Из таблицы составьте свое слово (3-4 буквы) и получите его двоичный код.

Ответ: _____________

КАРТОЧКА № 2

1. Используя таблицу кодировки букв и правила перевода чисел 2®10, расшифруйте приведенное слово: 1011₂ 1100₂ 0100₂ 1000₂ 1110₂

Буква

А

В

Д

Е

Ж

И

К

Л

М

Н

О

П

Р

Ь

Ш

10-тичный код

Ответ: ___________

1. Из таблицы составьте свое слово (3-4 буквы) и получите его двоичный код.

Ответ: ___________

КАРТОЧКА № 3

1. Используя таблицу кодировки букв и правила перевода чисел 2®10, расшифруйте приведенное слово: 1100₂ 0100₂ 0101₂ 1011₂

Буква

А

В

Д

Е

Ж

И

К

Л

М

Н

О

П

Р

Ь

Ш

10-тичный код

Ответ: ____________

1. Из таблицы составьте свое слово (3-4 буквы) и получите его двоичный код.

Ответ: ____________

КАРТОЧКА № 4

1. Используя таблицу кодировки букв и правила перевода чисел 2®10, расшифруйте приведенное слово: 0010₂ 1011₂ 1000₂ 1110₂ 0010₂ 1011₂

Буква

А

В

Д

Е

Ж

И

К

Л

М

Н

О

П

Р

Ь

Ш

10-тичный код

Ответ: ______________

1. Из таблицы составьте свое слово (3-4 буквы) и получите его двоичный код.

Ответ: ______________

КАРТОЧКА № 5

1. Используя таблицу кодировки букв и правила перевода чисел 2®10, расшифруйте приведенное слово: 0011₂ 0110₂ 1011₂ 1101₂

Буква

А

В

Д

Е

Ж

И

К

Л

М

Н

О

П

Р

Ь

Ш

10-тичный код

Ответ: ______________

2. Из таблицы составьте свое слово (3-4 буквы) и получите его двоичный код.

Ответ: ______________

КАРТОЧКА № 6

1. Используя таблицу кодировки букв и правила перевода чисел 2®10, расшифруйте приведенное слово: 1000₂ 1001₂ 1101₂ 0001₂ 1010₂

Буква

А

В

Д

Е

Ж

И

К

Л

М

Н

О

П

Р

Ь

Ш

10-тичный код

Ответ: ______________

1. Из таблицы составьте свое слово (3-4 буквы) и получите его двоичный код.

Ответ: ______________

КАРТОЧКА № 7

1. Используя таблицу кодировки букв и правила перевода чисел 2®10, расшифруйте приведенное слово: 1111₂ 0001₂ 1010₂ 0100₂ 1000₂ 1110₂

Буква

А

В

Д

Е

Ж

И

К

Л

М

Н

О

П

Р

Ь

Ш

10-тичный код

Ответ: ______________

1. Из таблицы составьте свое слово (3-4 буквы) и получите его двоичный код.

Ответ: ______________

КАРТОЧКА № 8

1. Используя таблицу кодировки букв и правила перевода чисел 2®10, расшифруйте приведенное слово: 0111₂ 1000₂ 0001₂ 0011₂

Буква

А

В

Д

Е

Ж

И

К

Л

М

Н

О

П

Р

Ь

Ш

10-тичный код

Ответ: ______________

1. Из таблицы составьте свое слово (3-4 буквы) и получите его двоичный код.

Ответ: ______________

Задание 31.Расшифруй слово.

Самый популярный из искусственных языков – ____________________________________

120₁₀ = …₈ 45₁₀ = …₈ 31₁₀ = …_{8 ГОРОД}

Белосток	1010
Варшава	1410
Торунь	910
Гданьск	1110

50₁₀ = …₈ 33₁₀ = …₈ 22₁₀ = …₈

11₁₀ = …₈ 9₁₀ = …₈ 8₁₀ = …₈

Н	П	С	Р	Э	Е	А	О	И	Т
138	378	558	418	1708	628	268	108	178	118

Изобретен в 23_{8 ____________} веке жителем польского города 12₈ _______________________

Людвигом Заменгофом, который в 3537₈ _____________году опубликовал брошюру, описывающую новый язык, и подписал ее “доктор …” (надеющийся).

Перевод дробных чисел из десятичной системы счисления
в систему счисления с основанием n.

Нужно последовательно умножать дробь на n, при этом перемножаются только дробные части. Дробь записывается в виде целых частей получающихся произведений, начиная с первого.

Пример: 0, 375 0,375₁₀ =0,011₂

* 2

0 7 5 0

1 5 0 0

1 0 0 0

Для перевода неправильных дробей нужно отдельно перевести целую часть (См. правило выше) и дробную.

Алгоритм перевода:

1) Перевести целую часть

2) Перевести дробную часть

3) Сложить полученные результаты

Пример:

6,875₁₀ x₂=110,111₂

6₁₀ = 110_{2 *} 0, 875

6 2 2

6 3 2 1 750

0 2 1 2

1 1 500

1 000

Задание 31.Выполните перевод чисел из одной системы счисления в другую

1. 0,1875₁₀ x₈

_2. 0,65625₁₀ x ₁₆

3. 69,15₁₀ x ₂

Задание 32.Переведите координаты точек из 8-ой системы счисления в десятичную и постройте рисунок в координатной плоскости

№ п/п	Х	У

САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА № 3

ВАРИАНТ 1

1. Перевести из 2 системы в 10

2. Переведите из десятичной системы счисления в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную следующие числа: 168, 1042, 1517.

3. Перевести из 10 системы в 2 числа: 512 238 1036

4. Записать в 8 системе: (111001101)₂; (101010101) ₂

ВАРИАНТ 2

1. Перевести из 2 системы в 10

2. Переведите из десятичной системы счисления в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную следующие числа: 167, 1041, 1516.

3. Перевести из 10 системы в 2 числа:192 1024 528

4. Записать в 8 системе: (101001101) ₂; (100010111) ₂

ВАРИАНТ 3

1. Перевести из 2 системы в 10

2. Переведите из десятичной системы счисления в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную следующие числа: 166, 1040, 1515.

3. Перевести из 10 системы в 2 числа: 644 128 1063

4. Записать в 8 системе: (110101101) ₂; (111010101) ₂

ВАРИАНТ 4

1. Перевести из 2 системы в 10

2. Переведите из десятичной системы счисления в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную следующие числа: 164, 1038, 1513.

3. Перевести из 10 системы в 2 числа: 572 256 1098

4. Записать в 8 системе: (1001101101)₂; (101010101)₂

ВАРИАНТ 5

1. Перевести из 2 системы в 10

2. Переведите из десятичной системы счисления в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную следующие числа: 163, 1037, 1512.

3. Перевести из 10 системы в 2 числа: 389 272 1142

_4. Записать в 8 системе: (101101101)₂; (110101011)₂

ВАРИАНТ 6

1. Перевести из 2 системы в 10

2. Переведите из десятичной системы счисления в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную следующие числа: 162, 1036, 1511.

3. Перевести из 10 системы в 2 числа: 489 138 512

4. Записать в 8 системе: (110011001)₂; (101001001)₂

ВАРИАНТ 7

1. Перевести из 2 системы в 10

2. Переведите из десятичной системы счисления в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную следующие числа: 161, 1035, 1510.

3. Перевести из 10 системы в 2 числа:583 128 1319

4. Записать в 8 системе: (110001111)₂; (111110101)₂

ВАРИАНТ 8

1. Перевести из 2 системы в 10

2. Переведите из десятичной системы счисления в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную следующие числа: 160, 1034, 1509.

3. Перевести из 10 системы в 2 числа: 644 128 1063

4. Записать в 8 системе: (110001111)₂; (111110101)₂

ВАРИАНТ 9

1. Перевести из 2 системы в 10

2. Переведите из десятичной системы счисления в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную следующие числа: 159, 1033, 1508.

3. Перевести из 10 системы в 2 числа:510 235 1045

4. Записать в 8 системе: (111001100)₂; (1000010101)₂

ВАРИАНТ 10

1. Перевести из 2 системы в 10

2. Переведите из десятичной системы счисления в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную следующие числа: 158, 1032, 1507.

3. Перевести из 10 системы в 2числа: 112 538 1070

4. Записать в 8 системе: (111001001)₂; (101000101)₂

A

Ответ: 101001010₂ = 14А₁₆

Таблица 2

Задание 33.

1. Для каждого из чисел: 123₁₀, 456₁₀ выполнить перевод: 10®2, 10 ® 8, 10 ® 16.
2. Для каждого из чисел: 100011₂, 101001011₂, 1110010001₂ выполнить перевод: 2 ® 10, 2 ® 8, 2 ® 16.
3. Для чисел: 54321₈, 54525₈, 777₈, 1AB₁₆, A1B₁₆, E2E4₁₆, E7E5₁₆ выполнить соответствующий перевод: 8 ® 2, 16 ® 2

Для любознательных. Ещё два способа преобразования чисел 10-й в 2-ую систему счисления: I. Метод вычитания

С детства мы считать учились – раз, два, три, четыре, пять

Десятичной ту систему мы привыкли называть.

Были палочки и счеты, калькулятор, Пифагор,

А теперь перед глазами – серебристый монитор.

Эта умная машина сможет все нам сосчитать

Ну, а как она считает – предстоит нам разобрать.

Мы считаем в десятичной – два, двенадцать, сто один,

А компьютер лишь в двоичной – либо ноль, либо один.

Разберемся на примере: число будет – сорок пять

Наибольшую здесь степень нам придется сосчитать

Раз считаем мы в двоичной основанье всегда два

Показатель мы находим от начального числа.

И поскольку изначально наша цифра сорок пять,

32=25

Мы подумаем и скажем показатель будет пять.

В показателе пятерка в основанье цифра два

8=23

Возведем мы двойку в степень и получим 32.

Возвращаемся мы снова к нашей цифре 45

4=22

Нам теперь от этой цифры 32 нужно отнять.

Разность сосчитать нам просто мы уже не первый класс

1=20

Видим: циферка 13 получается у нас.

Теперь циферку 13 также как и 45

Вместе с вами нам придется разложить и посчитать

Снова в основанье двойка показатель будет три

Двойка в третьей будет восемь ну, а дальше сам смотри.

У 45-ти два в пятой умножаем на один

У 13 два в третьей тоже множим на один

Два в четвертой не встречалась, тут и нечего гадать

Значит, будем два в четвертой мы на нолик умножать.

Запись: 45₁₀ = 1*2⁵+0*2⁴+1*2³+1*2²+0*2¹+1*2⁰ =101101₂

Подводим итог: Необходимо разложить данное нам число по степеням «2». В том случае, если полная степень «2» присутствует при разложении, сомножителем будет единица, если степени «2» нет – сомножитель ноль. Важно! При записи числа в «2»-ой системе счисления нельзя пропускать ни одну степень.

II. Метод степеней

Разберем еще один пример: Перевести из «10»-ой системы счисления в «2»-ю число 23. Какие степени «2» представлены в этом числе?

1) Ищем максимальную степень «2» – это 2⁴ =16. Итак: 23-16=7

2) Для числа 7 подбираем максимальную степень это 2² =4. Вычитаем 7-4=3.

3) Для числа 3 подбираем максимальную степень это 2¹ =2. Вычитаем 3-2=1.

4) Для числа 1 остался единственный вариант это степень 2⁰ =1.

Теперь можем записать разложение числа 23 по степеням «2»:

Запись: 23₁₀ =1*2⁴ +0*2³ +1*2² +1*2¹ +1*2⁰

ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЙ РАЗДЕЛ: «ЗАНИМАТЕЛЬНО И ИНТЕРЕСНО!»

1. Выпишите целые десятичные числа, принадлежащие следующим числовым промежуткам: а)[101101₂;110000₂]; б) [14₈; 20₈]; в) [28₁₆; 30₁₆].

______________________________________________________________________________________________________________________________________________

1. В классе 1111₂ девочек и 1100₂ мальчиков. Сколько учеников в классе?

______________________________________________________________________________________________________________________________________________

1. В классе 36_q учеников, из них 21_q девочек и 15_q мальчиков. В какой системе счисления велся счет учеников?

______________________________________________________________________________________________________________________________________________

1. В саду 100_q фруктовых деревьев, из них 33_q яблони, 22_q груши, 16_q слив и 5_q вишен. В какой системе счисления посчитаны деревья?

______________________________________________________________________________________________________________________________________________

1. У меня 100 братьев. Младшему 1000 лет, а старшему 1111 лет. Старший учится в 1001 классе. Может ли такое быть?

______________________________________________________________________________________________________________________________________________

1. Некогда был пруд, в центре которого рос один лист водяной лилии. Каждый день число таких листьев удваивалось, и на десятый день вся поверхность пруда уже была заполнена листьями лилий. Сколько дней понадобилось, чтобы заполнить листьями половину пруда? Сколько листьев было после девятого дня?

______________________________________________________________________________________________________________________________________________

7. Путем подбора степеней числа 2, в сумме дающих заданное число, переведите в двоичную систему счисления следующие числа: а) 5; б) 7; в) 12; г) 25; д) 32; е) 33.

ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ МАТЕРИАЛЫ:

1. И.Семакин «Информатика. Базовый курс 7-9» - М: 2006

2. И.А.Иванова Информатика. 10 класс: Практикум. – Саратов: Лицей, 2005

3. http://www.rusedu.ru/detail_1416.html

4. http://informatika.na.by/files/razrabotkiurokovimeropriiatii/scenarii/new1/new1/rfjklsa

5. http://festival.1september.ru/articles/411324/

6. http://www.rusedu.ru/detail_1457.html

7. http://infoschool.narod.ru/lesson.htm

Пояснительная записка

Данное пособие содержит теоретический материал по теме «Системы счисления», задания, разобраны решения типовых задач, предложены задания для самостоятельного изучения и закрепления новых знаний и умений. Рабочую тетрадь можно использовать для самостоятельного изучения нового материала. Теоретический материал и задания в рабочей тетради дополняют и углубляют сведения, имеющиеся в учебнике.

Тема «Системы счисления» вызывают у учащихся затруднения потому, что при изучении не предусмотрена работа на компьютере и приходится выполнять много вычислений. Это не способствует эффективному усвоению материала, и у ребят пропадает интерес к обучению. Для того чтобы этого не произошло, я предлагаю задания творческого характера.

По теме «Системы счисления» предусмотрено выполнение контрольной работы. Работая с тетрадью, учащиеся выполняют три обязательных самостоятельных работы обучающего характера. Самостоятельные работы составлены на 10 вариантов, что понижает возможность списывания. Понимая это, учащимся приходится вникать в тему и работать самим, чтобы избежать отрицательной отметки. Этим обуславливается хорошая подготовка к контрольной работе и твёрдые знания по теме.

После изучения темы «Системы счисления» учащиеся должны:

Знать:

· Определение алфавита системы счисления

· Определение цифр

· Определение системы счисления

· Определение развёрнутой формы числа

· Виды систем счислений (позиционные и непозиционные).

· Правила перевода чисел из двоичной системы счисления в десятичную систему счисления и наоборот.

· Правила перевода целых чисел из десятичной системы счисления в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную систему счисления.

· Правила перевода дробных чисел из десятичной системы счисления в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную систему счисления.

Уметь:

· Представлять числа в развёрнутой форме.

· Переводить числа в позиционных системах счисления

Понятия о системах счисления. Исторические сведения.

Потребность в записи чисел появилась в очень древние времена, как только люди научились считать. Известно множество способов представления чисел. В любом случае число изображается символом или группой символов.

Количество предметов изображалось нанесением черточек или засечек на какой-либо твердой поверхности: камне, глине и т.д. Люди рисовали палочки на стенах и делали зарубки на костях животных или ветках деревьев, завязывали узелки. Позднее люди вынуждены стали группировать, как вы это сейчас делаете, сотнями, десятками, единицами.

И для того, чтобы правильно читать и записывать числа были придуманы СС

ü Система счисления – это совокупность приемов и правил для обозначения и наименования чисел.

ü Алфавит системы счисления – это множество всех символов (знаков), используемых для записи чисел в данной системе счисления.

ü Цифры – это любой символ (знак), входящий в алфавит данной системы счисления.

Системы счисления

Позиционные

Непозиционные