Построение Эвальда. Методы структурного анализа

Набор векторов обратной решетки, удовлетворяющих условию Лауэ (4) при заданном векторе падающей волны k, можно определить с помощью простого геометрического построения, предложенного Эвальдом (рис.5).

Кружки в правой части рисунка - узлы обратной решетки кристалла. Направление вектора k совпадает с направлением падающего на кристалл рентгеновского луча. Вектор k закапчивается на произвольном узле обратной решетки. На рисунке показана проекция на плоскость сферы радиуса k=2p/lс центром в начале вектора k. Дифрагированный луч образуется, если эта сфера пересекает какой-нибудь другой узел обратной решетки. Сфера, показанная на рисунке, пересекает узел, связанный с концом вектора к вектором обратной решетки G. Дифрагированный луч распространяется в направлении вектора k’=k + G. Эго построение называется построением Эвальда.

Проведем в обратном пространстве волновой вектор падающей волны k так, чтобы он заканчивался в произвольном узле обратной решетки. Из начала вектора k, как из центра, опишем сферу радиуса k. При этом легко видеть, что для всех узлов решетки, попавших на поверхность сферы, выполняется условие Лауэ (4), в котором вектор k’ - вектор, соединяющий центр сферы с узлом обратной решетки, лежащим на ее поверхности. Построение Эвальда позволяет дать наглядную геометрическую интерпретацию различным экспериментальным методам, используемым для определения структуры кристалла.

В методе Лауэ используется неподвижный кристалл и пучок не монохроматического излучения, с длинами волн в интервале (l_min, l). Соответствующие волновые векторы лежат в интервале (k, k_max) и имеют одинаковое направление. Если провести векторы kи k’ в один и тот же узел обратной решетки и построить соответствующие им сферы Эвалъда, касающиеся в выбранном узле обратной решетки, то все векторы обратной решетки, попавшие в область, заключенную между этими сферами, будут удовлетворять условию Лауэ для какой-либо длины волны в пучке и задавать направления дифракции (рис. 6). Полученная дифракционная картина обладает полной симметрией кристалла в заданном направлении. Метод Лауэ, как правило, используется для установления ориентации кристаллов с известной структурой, симметрия которых для различных направлений известна.

В методе вращающегося кристалла используется монохроматическое излучение с заданной длиной волны l и вращающийся кристалл. Одновременно с поворотом прямой решетки в выбранной системе координат происходит поворот и обратной решетки. Поскольку направление k неизменно, то неизменно и положение сферы Эвальда. При вращении узлы обратной решетки описывают окружности, которые при пересечении со сферой Эвальда дают точки в обратном пространстве, указывающие направления дифракции.

Прост в реализации и широко используется на практике порошковый метод или метод Дебая-Шеррера, который с геометрической точки зрения аналогичен методу вращающегося кристалла, но в качестве образца используется поликристалл, состоящий из множества ма­леньких кристалликов, что эквивалентно набору вращений. Рассмотрим этот метод подробнее.

3.5. Метод порошка (метод Дебая-Шерера)

На образец, состоящий из очень большого числа маленьких кристалликов сразмерами 0.01 – 0.001 мм направляется узкий пучок монохроматического рентгеновского излучения. Образец имеет форму цилиндра диаметром 0.1 – 1.0 мм и длиной 5 - 15 мм. Образцы могут быть изготовлены из проволочек или приготовляться из порошка, просеянного через сито, путем набивки его в тонкостенные капилляры из целлулоида, кварца, боролитиевого стекла. Можно, смешивая порошки с каким-либо связующим, продавливать их через капилляры и рентгенографировать после сушки. Образец помещается в центре цилиндрической рентгеновской камеры, ось которой перпендикулярна первичному пучку.

Рентгеночувствительную фотопленку располагают на внутренней цилиндрической поверхности корпуса камеры. Пучок рентгеновских лучей проникает в камеру через коллиматор - оптическое устройство для получения пучков параллельных лучей. На рис.7 представлена принципиальная схема порошкового метода.

На рис.8 представлен общий вид цилиндрической рентгеновской камеры для получения рентгенограмм порошковым методом.

Цилиндрический корпус камеры укреплен на подставке 3, снабженной тремя установочными винтами. Ось цилиндра расположена горизонтально. Образец фиксируется в держателе 1, который закрепляется в камере на магните. Центрирование образца при установке его в держателе проводят в поле зрения микроскопа с малым увеличением. Рентгеновскую пленку крепят на внутренней поверхности корпуса, прижимая специальными распорными кольцами, закрепленными на внутренней стороне крышки камеры 4. Пучок рентгеновских лучей, омывающий образец, попадает в камеру через коллиматор 2. Так как первичный пучок, попадая непосредственно на пленку позади образца, вуалирует рентгенограмму, его перехватывают по пути к пленке ловушкой. Для устранения пунктирности колец на рентгенограмме крупнокристаллического образца при съемке его вращают. Коллиматор в некоторых камерах делают так, что, вкладывая в специальные пазы спереди и сзади него свинцовые или латунные кружки (экраны) с отверстиями, можно вырезать пучок лучей круглого или прямоугольного сечения (круглая и щелевая диафрагмы). Размеры отверстий диафрагмы следует подбирать так, чтобы пучок лучей омывал образец. Обычно камеры изготавливают так, чтобы диаметр пленки в ней был кратен 57.3 мм ( т.е. 57.3; 86.0; 114.6 мм). Тогда расчетная формула для определения угла q, упрощается.

Полученная в такой камере рентгенограмма приведена на рис.9.

Монохроматический рентгеновский луч встречает на своем пути множество мелких кристаллов, часть из которых ориентирована так, что семейство плоскостей (hkl)в них образует с рентгеновским лучом брэгговский угол Q, то есть находится в отражающем положении. Отраженный луч составляет угол 2Q с направлением первичного луча. Поскольку в образце имеются кристаллики любой ориентации, то лучи, отраженные одним семейством плоскостей, образуют поверхность кругового конуса, осью которого является первичный луч, а угол раствора равен 4Q. Каждому семейству плоскостей (hkl) соответствует конус отраженных лучей, если только межплоскостное расстояние этого семейства больше l/2, то есть, если уравнение Вульфа-Брэгга дает для sinQ в значение меньше единицы.

Метод сводится к регистрации углов Q, соответствующих отражению от различных семейств параллельных плоскостей. По углу Q с помощью формулы Вульфа-Брэгга определяются межплоскостные расстояния для различных семейств плоскостей.