Некоторые понятия в свете свойств подгрупп группы подобий.

1⁰. Группа растяжений и структура векторного пространства.

Пусть R – группа растяжений пространства. Она имеет подгруппу– группу параллельных переносов T. Подмножество гомотетий группы R незамкнуто относительно операции умножения, а потому группы не образует (произведение гомотетий может оказаться параллельным переносом). Элементы группы R будем обозначать греческой буквой ρ (ро), если потребуется, будем использовать и индексы.

Теорема:Для любого ρ и любого τ ρ ◦ τ ◦ ρ^-1 – параллельный перенос.

Если ρ или τ являются тождественными преобразованиями, то ρ ◦ τ ◦ ρ^-1 есть либо τ, либо 1, то есть является элементомT.

Пусть ρ ≠ 1 и τ ≠ 1. Прежде всего, ρ ◦ τ ◦ ρ^-1 – растяжение. Допустим, что имеется неподвижная точка Р. Это означает: Начало и конец этой цепочки указывают на то, что Р₁ = Р₂, то есть τ имеет неподвижную точку. Но это противоречит условию: для любой М τ (М) ≠ М. Это противоречие и заставляет отбросить допущение. Таким образом, ρ ◦ τ ◦ ρ^-1 – растяжение без неподвижных точек, то есть параллельный перенос.

Итак, всякое растяжение определяет отображение T в себя:

τ¢ = ρ ◦ τ ◦ ρ^-1. Это отображение группы T является ее автоморфизмом (оно взаимнооднозначно и сохраняет структурное отношение на T). Автоморфизмы группы T обозначим буквой k, если потребуется, то и с индексами. Образ τ при автоморфизме k будем обозначать kτ, а если

ρ – растяжение, определяющее k, то kτ = ρ ◦ τ ◦ ρ^-1 , что сокращенно записываем как , в следствие этого kτ = .

Если (А, А¢) – пара точек пространства, соответствующих друг другу в τ, то (А₁, А¢₁), из которых А₁ = ρ(А) и А¢₁ = ρ(А¢) – пара точек параллельного переноса . Таким образом, для нахождения достаточно взять произвольную пару (А,А¢) для τ , найти образы ρ(А) и ρ(А¢), тогда пара (ρ(А), ρ(А¢)) определит .

Теперь покажем, что различные растяжения могут определять один и тот же автоморфизм k.

Найдем условие, при котором : ρ₁ ◦ τ ◦ ρ₁^-1 = ρ₂ ◦ τ ◦ ρ₂^-1 отсюда получаем (ρ₂^-1 ◦ ρ₁) ◦ τ ◦ (ρ₂^-1 ◦ ρ₁)^-1 = τ. Обозначив ρ₂^-1 ◦ ρ₁ через ρ, представляем это равенство в виде ρ ◦ τ ◦ ρ^-1 = τ. Отсюда получаем

ρ = τ ◦ ρ ◦ τ ^-1

Допустим, что ρ имеет инвариантную точку Р, тогда . Из заключаем, что . Значит Р₁ = Р₂. Итак, ρ имеет кроме Р еще одну неподвижную точку Р₁, а потому ρ = 1, то есть ρ Î T.

Если же ρ не имеет инвариантных точек, то ρ ÎT как параллельный перенос.

Итак, ρ₁ и ρ₂ определяют один и тот же автоморфизм тогда и только тогда, когда ρ₂^-1 ◦ ρ₁ (или ρ₁ ◦ρ₂^-1) – параллельный перенос. Это условие определяет на R отношение эквивалентности, поскольку:

1. для любого ρ ÎR ρ^-1 ◦ ρ ÎT ;

2. если ρ₂^-1 ◦ ρ₁ ÎT , то (ρ₂^-1 ◦ ρ₁ )^-1 Î T, а потому ρ₁^-1 ◦ ρ₂ Î T;

3. если ρ₂^-1 ◦ ρ₁ Î T и ρ₃^-1 ◦ ρ₂ Î T, то ρ₃^-1 ◦ ρ₁ Î T.

Для доказательства достаточно перемножить первое и второе произведения.

Это отношение эквивалентности на R разбивает его на непересекающиеся подмножества, классы эквивалентности. Один из классов есть множество всех параллельных переносов, включая 1. Все другие классы состоят из гомотетий. Как мы знаем, каждый класс эквивалентности полностью определяется одним любым своим элементом. Выберем множество представителей классов эквивалентности.

Отметим, прежде всего, что никакие две гомотетии из множества гомотетий с общим центром неэквивалентны как растяжения. Если допустить обратное для двух различных g₁ и g₂, то это означает, что

g₁ ◦ g₂^-1 ÎT . Так как у g₁ ◦ g₂^-1 общий центр гомотетий, то

он – инвариантная точка g₁ ◦ g₂^-1 , а потому g₁ ◦ g₂^-1 = 1и g₁ = g₂, что противоречит условию. Таким образом, гомотетии с общим центром представляют различные классы эквивалентных растяжений.

Пусть теперь g – гомотетия, представляющая произвольное растяжение, отличное от 1. Можно показать, что среди гомотетий с общим фиксированным центром S существует гомотетия, эквивалентная g. Конструктивно задача поиска такой гомотетии связана с задачей построения отрезка, равного данному, параллельного заданной прямой, у которого концы должны принадлежать сторонам данного угла

(см. рис. 44).

Рис.44

LL₁ – данный отрезок, который мы отложим на данной прямой l. Берем произвольную точку H на стороне h угла Ðhk и строим ее образ H₁ при параллельном переносе, отображающем L и L₁.

Прямая h₁ параллельная h и проходящая через H₁ – образ h в рассматриваемом параллельном переносе. Отмечаем М₁ – точку пересечения k и h₁. Ее прообраз М на h и определяет вместе с М₁ отрезок ММ₁, равный данному LL₁ и параллельный прямой l.

Пусть О – центр g и (А, А¢) и (В, В¢) – две пары соответствующих друг другу точек. (рис.45).

Рис.45

Проводим: SA¢ и SB¢. Через А проводим прямую параллельно ОВ¢ и отмечаем точку А₁¢ ее пересечения с А¢В¢. Через А₁¢ проводим прямую параллельно SB¢ и отмечаем точку А₁ ее пересечения с SA¢. Через А₁ проводим прямую, параллельно А¢В¢. Точка В₁ – пересечение этой прямой с SB¢.

Гомотетия с центром S, отображающая А₁ в А¢ и будет гомотетией эквивалентной гомотетии g. Гомотетии с центром S с присоединенным к ним тождественным отображением представляют все классы эквивалентных растяжений, потому этого множества растяжений достаточно для определения всех возможных автоморфизмов группыT . Обозначим множество этих гомотетий, включая 1, в виде H_s . Все автоморфизмы T связываем только элементами H_s.

Символом K обозначим множество автоморфизмов группы T . Определим на K две операции, одну из которых назовем умножением, а другую сложением.

Определение 1: Произведением автоморфизмов k₁ и k₂ из K называем такой автоморфизм k, для которого найдется такой параллельный перенос τ, что kτ = k₂ (k₁τ).

Отметим, что произведение k₁ и k₂ не зависит от выбора τ. Всякий автоморфизм определяется элементами группы H_s. Поэтому, если g₁ порождает k₁, а g₂ – k₂, то k порождается g = g₂ ◦ g₁.

В самом деле: k₁τ = g₁ ◦ τ ◦ g₁^-1 , k₂(k₁τ) = g₂ ◦ (g₁ ◦ τ ◦ g₁^-1) ◦ g₂ ^-1 =

= (g₂ ◦ g₁) ◦ τ ◦ (g₂ ◦ g₁)^-1. Если τ_i – любой другой элементT, то

kτ_i = g ◦ τ_{i °} g^-1 = (g₂ ◦ g₁) ◦ τ_i ◦ (g₂ ◦ g₁)^-1 = g₂ ◦ (g₁◦ τ_i ◦ g₁^-1)◦ g₂^-1 = k₂(k₁τ_i). Произведение k₁ и k₂ будем записывать в виде k₁ · k₂. Таким образом, можно писать k = k₁ · k₂. Произведение k₁ и k₂ определено для любых k₁ и k₂.

Определение 2:Суммой k₁ и k₂ называем такой автоморфизм k, для которого kτ = k₂τ ◦ k₁τ.

Будем говорить, что τ₁ и τ₂ имеют параллельные направления, если они имеют общий пучок инвариантных прямых. Очевидно, что это отношение на T является отношением эквивалентности, поскольку оно связано с отношением параллельности на множестве прямых.

Для доказательства независимости суммы автоморфизмов от параллельного переноса τ фигурирующего в определении 2, докажем предварительно вспомогательные утверждения.

Лемма 1.τ₁ и τ₂ имеют параллельные направления тогда и только тогда, когда существует автоморфизм k, для которого τ₂ = kτ₁ или

τ₁ = kτ₂.

1). Пусть τ₁ и τ₂ имеют параллельные направления, то есть для пар соответствующих друг другу точек (А₁, А₁¢) и (А₂, А₂¢), отвечающих τ₁ и τ₂, А₁А₁¢ ║ А₂А₂¢. В этом случае прямые А₁А₂ и А₁¢А₂¢ либо параллельны, либо пересекаются в одной точке S (эти прямые лежат в одной плоскости).

В первом случае τ₁ = τ₂ и тогда их можно связать равенством: τ₂ = 1◦ τ ₁◦ 1. Обозначив автоморфизм, порождаемый 1, цифрой 1, получаем τ₂ = 1τ₁.

Во втором случае для гомотетии g с центром S и парой точек (А₁А₂) получаем τ₂ = g ◦ τ₁◦ g^-1. В самом деле: , то есть τ₂ = kτ₁, где k – автоморфизм, порождаемый g.

2). Пусть существует автоморфизм k, для которого τ₂ = kτ₁. k – либо 1, либо k ≠ 1. В первом случае k порождается 1, а потому τ₂ = 1◦ τ ₁◦ 1, то есть τ₂ = τ₁. Это означает, что пары точек (А₁, А₁¢) и (А₂, А₂¢)- пары соответствующих точек одного и того же параллельного переноса, а потому А₁А₁¢ ║А₂А₂¢.

Если же k ≠ 1, то существует g, для которой τ₂ = g ◦ τ₁ ◦ g^-1. Тогда , а потому А₂А₂¢║ А₁А₁¢ .

Итак, τ₁ и τ₂ имеют параллельные направления. Сформулированная лемма 1 доказана полностью.

Лемма 2.Произведение гомотетий с общим центром коммутативно.

Пусть g₁ и g₂ – гомотетии с общим центром S. Пусть и , а точка В отображается в В₂ произведением g₂ ◦ g₁ (рис. 46).

Рис.46

Если В не принадлежит SА, то имеем шестиугольник АВА₁В₂А₂В₂^¢, находящийся в условиях теоремы Паппа (АВ ║ В₂А₂ и ВА₁ ║ А₂В₂^¢). Поэтому А₁В₂║ В₂¢А. По условию и . Из

ВА₁ ║ А₂В₂¢ следует, что . Из В₂¢А ║ А₁В₂ следует, что . Таким образом, . Отсюда вывод g₂ ◦ g₁= g₁ ◦ g₂.

Обратим внимание на то, что коммутативность произведения гомотетий явилась следствием теоремы Паппа.

Теорема: Если для некоторого τ₀ kτ₀ = k₂τ₀ ◦ k₁τ₀, то kτ = k₂τ ◦ k₁τ для любого τ.

Пусть τ – произвольный нетождественный параллельный перенос. Для τ₀ и τ имеются две возможности: τ₀ и τ имеют параллельные направления или τ₀ и τ имеют непараллельные направления. Рассмотрим эти случаи.

1. τ₀ и τ имеют параллельные направления. Тогда согласно лемме 1 существует k₀ такой, что τ = k₀τ₀ . Это означает, что во множестве гомотетий с общим центром S существует гомотетия g₀, для которой τ=g₀ ◦ τ₀ ◦ g₀^-1 или в степенной форме .

По условию kτ₀= k₂τ₀ ◦ k₁τ_0, что можно записать в виде . Из соотношения между τ и τ₀ можно получить выражение τ₀ через τ: . Подставим это в предыдущее равенство и получим . Используем свойства «степеней» с показателями, являющимися преобразованиями, тогда получим , что представляет следующее равенство:

(g ◦ g₀ ^-1) ◦ τ ◦ (g ◦ g₀^-1)^-1 = (g₂ ◦ g ₀^-1) ◦ τ ◦ (g₂ ◦ g₀^-1)^-1 ◦ (g₁ ◦ g₀^-1) ◦ τ ◦ (g₁ ◦ g₀^-1)^-1 = =(g₂ ◦ g ₀^-1) ◦ τ ◦ (g₀ ◦ g₂^-1) ◦ (g₁ ◦ g₀^-1) ◦ τ ◦ (g₀ ◦ g₁^-1).

Так как все рассматриваемые гомотетии имеют общий центр, то их как сомножители можно менять местами (см. лемму 2). В результате соответствующего перемещения гомотетий как сомножителей, а также используя ассоциативный закон умножения преобразований, полученное выше равенство можно представить в виде

g ₀^-1 ◦ (g ◦ τ ◦ g^-1) ◦ g₀ = g ₀^-1 ◦ (g₂ ◦ τ ◦ g₂^-1) ◦ (g₁◦ τ ◦ g₁^-1 ) ◦ g₀ .

Умножая последовательно обе части этого равенства слева на g₀, а справа на g₀^-1 получаем g ◦τ ◦g^-1 = (g₂ ◦ τ ◦ g₂^-1) ◦ (g₁◦ τ ◦ g₁^-1), что и означает

kτ =k₂τ ◦ k₁τ.

Теорема в первом случае доказана.

2. τ₀ и τ имеют непараллельные направления. Пусть τ₀ отображает некоторую точку А в точку В, а τ – в точку С. В силу условия точки А, В и С не принадлежат одной прямой (рис.47).

Рис.47

Пусть g₁ – гомотетия с центром S, порождающая автоморфизм k₁, а g₂ –гомотетия с центром S, порождающая k₂.

При этом (А,В,С) (А₁,В₁,С₁) и (А,В,С) (А₂,В₂,С₂).

Так как (А,В) пара переноса τ₀, (А,С) – пара переноса τ, то (А₁,В₁) – пара переноса k₁τ₀ или , (А₂, В₂) – пара переноса k₂τ₀ или , (А₁,С₁) – пара переноса k₁τ или и (А₂,С₂) – пара переноса k₂τ или .

◦ - параллельный перенос, отображающий А₁ в В₁¢, а ◦ – параллельный перенос, отображающий А₁ в С₁¢. Проведем через В₁¢ прямую, параллельную SA и в пересечении ее с SB получим точку В¢. Поведем через В¢ прямую, параллельную АВ и получим на SA точку А¢, образом которой при параллельном переносе ◦ будет точка В¢. Обозначим g гомотетию с центром S, отображающую А в А¢. Тогда параллельный перенос, отвечающий паре (А¢, В¢) или, что тоже самое, паре (А₁, В₁¢) есть образ τ₀ при автоморфизме, который определяется g. Таким образом, τ₀^g = ◦ или kτ₀=k₂τ₀ ◦ k₁τ₀.

Параллельный перенос ◦ отображает А₁ в С₁¢. Проводим через С₁¢ прямую, параллельную SA и в пересечении ее с SC получаем точку С¢, которая является образом точки С в гомотетии, отображающей А в А¢, т.е. в гомотетии g. Так как С¢ – образ точки С в g, то перенос, определяемый (А¢, С¢) есть τ^g. Но пары (А¢,С¢) и (А_1,С₁¢) принадлежат одному переносу, т.е. и (А₁,С₁¢) – пара переноса τ^g. Но пара (А₁,С₁¢) есть пара переноса

◦ .

Таким образом, или иначе kτ =k₂τ ◦ k₁τ.

Итак, наша теорема справедлива и во втором случае, а потому доказана полностью.

Рассмотрим теперь множество всех автоморфизмов группы T с операциями сложения и умножения, которые мы определили выше. Обозначим эти операции традиционно точкой × и знаком + (плюс). Таким образом, рассматриваем структуру (K +, ×).

Прежде всего, напомним, что K замкнуто относительно + и × . По операции умножения в Kсуществует нейтральный элемент, которым является автоморфизм, порождаемый 1. Мы обозначили его выше цифрой 1. Действительно, для любого автоморфизма k k×1 есть автоморфизм

k(1τ)= g ◦ (1◦ τ ◦ 1) ◦ g^-1= g ◦ τ ◦ g ^-1 = kτ . Это и означает, что k×1=k . Точно так же и 1×k=k.

Для введения нейтрального элемента по сложению рассматриваем отображение T в себя, при котором всякому τ соответствует 1. Это отображение обозначим q и присоединим его к K.Новое множество обозначим K . Из определения q следует, что для любого kÎK существует такой автоморфизм -k, для которого k + (-k) = (-k) + k=q. Обозначим через -k автоморфизм, порождаемый растяжением s_s ◦g, где g порождает k, а S – общий центр гомотетий, порождающих автоморфизмы T, s_s – частный случай гомотетий с центром S, т.к. s_s – растяжение с единственной неподвижной точкой S .

Тогда: (k+ (-k))τ = -kτ ◦ kτ=τ^ss◦g ◦ τ^g=(τ^g)^-1◦ τ^g = 1для любого τ изT (докажите самостоятельно, что τ^ss◦g =(τ^g)^-1).

В силу определения 2 суммы автоморфизмов мы имеем дело с таким отображением T в себя, которое всякому элементу группы ставит в соответствие только 1. Именно его мы и обозначили выше через q. Поэтому имеем для любого k из K что k + (-k)= q. Точно так же мы придем к заключению, что и (-k)+k=q.

Теперь обратимся к сумме k+q. Для любого τ из T (k+q)τ =qτ◦kτ, но

qτ = 1, а kτ=τ^g , поэтому (k+q)τ= 1◦ τ^g=τ^g=kτ. Этот результат и означает, что k+q=k.Точно так же получится и q+k=k. Таким образом, q – нейтральный элемент по сложению в множестве K.

Возвращаясь к предыдущему результату, можно заключить: в K для любого элемента k существует противоположный элемент -k. Ассоциативность операции сложения очевидна.

Таким образом, (K, +) – группа, причем коммутативная, что является следствием коммутативности группы T .

Итак, (K, , +) – абелева группа структуры (K ,+, ×).

Как мы видели выше, существует в K и нейтральный элемент по умножению – это автоморфизм 1. Есть ли в K обратный элемент по умножению для элементовK? Пусть k порождается g. Для g в H_sсуществует обратная гомотетия, которую обозначим g^-1. Для любого τ ÎT его образ при автоморфизме, соответствующем g^-1, есть g^-1 ◦ τ◦(g^-1)^-1 или

g^-1◦ τ ◦ g. Образом τ при k является g◦ τ ◦ g^-1. Тогда образом τ, при автоморфизме, являющемся произведением этих двух, будет

g^-1(g◦ τ ◦ g^-1) ◦ g = τ, иначе говоря этот автоморфизм есть 1. Tаким образом, автоморфизм, порождаемый g^-1, следует обозначить как k^-1. Вывод: у любого k ÎK существует в K обратный элемент, которым является k^-1.

Ассоциативность умножения автоморфизмов очевидна. Таким образом, (K, ×) – мультипликативная группа. В группах (K, +) и (K, ×) операции связаны дистрибутивным законом: (k₁+k₂)× k₃ = k₁ × k ₃ + k ₂ × k₃. Убедимся в этом. k₁ + k ₂ – это автоморфизм, для которого (k₁ + k ₂) τ =

= k ₂ τ ◦ k₁τ = ◦ .

С другой стороны, произведение k₁ × k₃ – автоморфизм, для которого

k₁ × k₃τ = k₃(k₁τ) = .Точно также k₂×k₃ отвечает равенство k₂×k₃τ =

= k₃(k₁τ) = .

Тогда k₁×k₃ + k₂×k₃ отвечает равенство (k₁×k₃ + k₂×k₃) τ = k₂×k₃τ ◦ k₁×k₃τ = = , но ◦ = k₂τ ◦ k₁×τ = (k₁ + k₂) τ поэтому

(k₁×k₃ + k₂×k₃) τ = ((k₁ + k₂) τ) = k₃((k₁ + k₂) τ) = (k₁ + k₂) ×k₃τ.

Отсюда (k₁ + k₂)×k₃ = k₁×k₃ + k₂×k₃.

Точно также дистрибутивность выполняется и при умножении слева:

k₃ (k₁ + k₂) = k₃ ×k₁ + k₃× k₂ .

В силу теоремы Паппа произведение гомотетий с общим центром коммутативно: g₂ ◦ g₁=g₁◦g₂ . Поэтому

Для k₁×k₂ имеем: k₁×k₂ τ = k₂(k₁τ) = = k₁(k₂τ)= k₂ × k₁τ, что и означает равенство k₁ × k₁ и k₂ ×k₁.

Таким образом, структура (K, +, ×) – поле. Заметим, что без справедливости теоремы Паппа не выполнялась бы коммутативность умножения автоморфизмов группы T. Структура (K, +, ×) была бы не полем, а более общей алгебраической структурой – телом. Теорема Паппа – геометрический эквивалент коммутативности умножения автоморфизмов группыT . Отсутствие коммутативности повлекло бы за собой разрушение всей теории подобия, а значит и геометрии Евклида в целом.

Полученные выше результаты позволяют вскрыть векторную структуру евклидова пространства. Прежде всего, изменим название и обозначение групповой операции группы T параллельных переносов, превращая ее в аддитивную группу (это часто делают для коммутативных групп).Вместо τ₂ ◦ τ₁ будем писать τ₂ + τ₁ и называть суммой элементов группы T.

Зададим отображение f: K ´ T ® T , ставя в соответствие паре (k, τ) параллельный перенос kτ, который назовем произведением τ на элемент k поля K.Обратимся к свойствам этой операции.

1. k (τ ₁ + τ₂) = k τ₁ + kτ₂, так как (τ ₁ + τ₂)^g = (τ ₁ ◦ τ₂)^g = τ₁^g ◦ τ₂^g = τ₁^g + τ₂^g,

т.е. k τ₁ + kτ₂.

2. (k₁ + k ₂ )τ = k₁τ + k₂τ, так как правая часть есть всего лишь другая форма выражения k₁τ ◦ k₂τ .

3. k₂ (k ₁τ)= (k₂ · k₁)τ , что следует из определения произведения k₁ и k ₂.

4. для любого τ Î T 1×τ=τ (здесь 1ÎK).

Вывод: (T, +, K) – векторное пространство над полем K (или телом K, если теорема Паппа не имеет места), В силу полученного результата элементы группы T называются векторами.

Так как в евклидовом пространстве, геометрию которого мы строим аксиоматически, всякая упорядоченная пара точек (А, А¢) однозначно связана с элементами группы T, то справедливо известное соотношение между векторами и точками геометрического пространства, которое при построении геометрической системы на векторной основе принимают за первую аксиому: для любой точки пространства А и фиксированного вектора τ в пространстве существует единственная точка А¢ такая, что паре точек (А, А¢) однозначно соответствует вектор τ векторного пространства (T, +, K ), Легко убедится в том, что выполнена и вторая аксиома «откладывания» вектора от точки: если А, В и С – три различные точки прямой, то сумма векторов τ_АВ и τ_ВС равна вектору τ_АС.

Отметим еще, что полученное нами векторное пространство таково, что в нем существуют линейно независимые системы векторов, состоящие не более чем из трех векторов (мы имели дело с трехмерным евклидовым пространством). Если же мы рассматриваем растяжения и параллельные переносы в плоскости (плоскость отображалась на себя), то наше пространство (T, +, K) имеет размерность 2 – максимальное число линейно независимых векторов (параллельных переносов как элементовT) равно двум.

Для определения метрики нужно, конечно, задать еще в (T, +, K) и скалярное произведение элементов T, но этого мы здесь делать не будем, поскольку наша задача – лишь демонстрация связи соответствующих свойств групп преобразований с раскрытием векторной структуры евклидова пространства.

В заключении отметим лишь некоторые следствия полученных выше результатов. Будем говорить, что векторы τ₁ и τ₂ – неколлинеарны, если τ₁ и τ₂ как параллельные переносы имеют непараллельные направления.

Пусть τ₁ и τ₂ – неколлинеарные векторы и точка О – произвольная точка плоскости. Пусть О О₁ и О О₂. Возьмем вT произвольный перенос τ который точку О отображает в точку А (рис.48).

Рис.48

Парам (О, А₁) и (О, А₂) отвечают параллельные переносы τ_х и τ_у коллинеарные соответственно τ₁ и τ₂. Существуют единственные k_х и k_у в K, для которых

τ_х =k_х τ₁ и τ_у =k_у τ₂. Но τ = τ _х + τ_у или τ=k_хτ ₁ + k_уτ₂ . Таким образом, если фиксированы два неколлинеарных вектора τ₁ и τ₂, то всякому вектору τ ставится в соответствие строго определенная пара (k_х, k_у) элементов поля K. Ясно, что выполнено и обратное. Таким образом, пара элементов

K (k_х, k_у) может рассматриваться как координаты вектора τ в репере (τ_1, τ₂). Кроме того, эту пару можно считать и координатами точки А, представленными в соответствующей системе координат.

Пусть теперь l– некоторая прямая, проходящая через точку Q и инвариантная относительно параллельного переноса τ. Представим координаты точек прямой lв репере (τ₁, τ₂).

Рис. 49

Возьмем на l произвольную точку L (рис.49). Обозначим векторы, отвечающие парам точек (O, Q) , (O, L) и (Q, L), в виде , и . Тогда

= . Векторы и τ коллинеарны, а потому = kτ.

Если (t₁,t₂) – координаты вектора τ в репере (τ₁, τ₂), то = kt₁τ₁ + kt₂τ₂. Если при этом (q₁, q₂) – координаты вектора , то

OL = (q₁τ₁+q₂τ₂) + (kt₁τ₁+kt₂τ₂) = (kt₁+q₁)τ₁ + (kt₂+q₂)τ₂ .

Следовательно, суммы в скобках при τ₁ и τ₂ являются координатами вектора , а значит и точки L. Обозначая ее координаты через х и у получаем знакомое по виду параметрическое представление условий принадлежности точки L прямой l

х = k t₁ + q₁

у = k t₂ + q₂

В заключении представим координатное задание линейных преобразований плоскости. Фиксируем две пары попарно неколлинеарных векторов (τ₁, τ₂) и (τ₁¢, τ₂¢) и две точки О и О¢. Всякой точке М плоскости ставим в соответствие такую точку М¢ этой же плоскости, которая в системе координат, определяемой точкой О¢ и парой векторов (τ₁¢, τ₂¢), имеет такие же координаты, какие точка М имеет в системе с началом О и репером (τ₁, τ₂) (рис.50).

Рис. 50

Пусть (х, у) – координаты точки М в системе с базисом (О, τ₁, τ₂), а

(х¢, у¢) – координаты М¢ в системе координат (О¢,τ₁¢, τ₂¢), тогда х¢ = х и у¢=у

= х₀τ₁ + у₀τ₂, где (х₀, у₀) – координаты О¢ в системе (О, τ₁, τ₂).

= х¢τ₁¢ + у¢τ₂¢ = х τ₁¢ + у τ₂¢. С другой стороны .

Таким образом, = (х₀ τ₁ + у₀ τ₂)+ ( х τ₁¢ + у τ₂¢) . Пусть τ₁¢= k₁₁τ₁ + k₁₂ τ₂ и τ₂¢= k₂₁τ₁ + k₂₂ τ₂. Отсюда = ( х k₁₁ + у k₁₂ + х₀) τ₁ + ( х k₂₁ + у k₂₂ + у₀) τ₂ .

Это означает, что х¢= х k₁₁ + у k₁₂ + х₀

у¢= х k₂₁ + у k₂₂ + у₀

Эти равенства (при переменных х, у, х¢, у¢ – уравнения) позволяют находить образ любой точки М плоскости, если известны: координаты точки О¢ и векторов τ₁¢ и τ₂¢ в заданной координатной системе (О, τ₁, τ₂).

Напоминаем, что аналитически стандартная форма представления, так называемых уравнений преобразования имеет непривычное толкование значений буквенных представлений как коэффициентов этих уравнений так и их переменных. И те и другие – элементы поля автоморфизмов группы параллельных переносов.

Далее можно ввести метрику путем определения скалярного произведения векторов и перейти к соответствующему описанию геометрии евклидовой плоскости. Таким образом, мы достаточно отчетливо видим, с одной стороны, фундаментальную роль группы движений в построении евклидовой геометрии, а с другой стороны, обнаруживаем и ключевое значение для этой геометрии теоремы Паппа в ее, так называемом аффинном варианте.

2°. О понятии «ориентация».

Понятие ориентации в практике преподавания считается одним из трудных и чаще всего используется без математически строго определения, что приводит на деле к смешению, хотя и связанных, но все же разных понятий. Прежде всего, следует сразу обратить внимание, что слово «ориентация» используют в двух различных случаях: для выделения фигур, соответствующие точки которых упорядочены и для названия некоторого специфического отношения эквивалентности, задаваемого на множестве фигур. Эти два разных понятия, в названии которых используется слово «ориентация», математически связаны друг с другом, но все же различны. Эта связь и различие должны быть ясны, в первую очередь, преподавателю, он несомненно должен быть готов при необходимости разъяснить математическую суть понятий и их связь.

Рассматриваем ориентацию как отношение на множестве фигур. Ориентацией в этом случае называют бинарное отношение на множестве фигур, являющееся отношением эквивалентности, фактор-множество по которому имеет порядок 2 (или иначе, множество классов эквивалентности состоит ровно из двух элементов).

Такое отношение мы можем задавать, используя группы преобразований, обладающие, прежде всего, свойством аналогичным базовому свойству понятия ориентации.

Пусть G–группа преобразований пространства, которая обладает подгруппой G⁺, являющейся нормальным делителем группыG , фактор-группа по которому имеет порядок 2, Вторым элементом фактор-группыG/G ⁺, будет множество, которое обозначаем G ^-, таким образом фактор группа группыG состоит из двух элементов G ⁺ и G ^- .

Примером таких групп являются группа движений D и группа подобий П (см. лекции 2 и 4).

Приведем критерий ориентируемости множества фигур.

Теорема: Множество фигур F ориентируемо, т.е. на нем можно задать ориентацию, тогда и только тогда, когда существует группа преобразованийG транзитивная на F и обладающая нормальным делителем, фактор-группа по которому имеет порядок 2, а фигуры из F отображаются на себе только преобразованиями первого рода.

1. Пусть F ориентируемо т.е. на F задана ориентация и кроме того группаG транзитивна на F. Доказать следует, что фигуры из F не могут отображаться на себя, преобразованиями второго рода из G. Отношение ориентации наF разбивает это множество на два класса эквивалентности F ⁺ иF ^-, не имеющие общих элементов. Допустим противное тому, что требуется доказать, т.е. существование в G преобразования g^- второго рода, которое отображает некоторую фигуру F из F на себя, т.е.

F F. Пусть, кроме того,

F⁺– образ F при некотором преобразовании g ⁺ первого рода изG . Тогда имеем: F F F ⁺ или F F⁺ .

g ⁺ ◦ g ^- – преобразование второго рода. Таким образом, с одной стороны, F и F⁺ принадлежат одному классу эквивалентности, т.к. F отображается на F⁺ преобразованием первого рода, а в следствии допущения та же фигура F отображается на F⁺ преобразованием второго рода, т.е. F и F⁺ должны принадлежать разным классам эквивалентности. Это противоречие и заставляет отбросить сделанное допущение.

2. Итак, G транзитивна на F и при этом любая фигура F изF отображается на себя только преобразованиями первого рода. Пусть множество образов фигуры F при всех возможных преобразованиях из G