Условия совместности и определенности системы линейных уравнений. Теорема Кронекера -- Капелли

Пусть дана система линейных уравнений с произвольной матрицей

(9.1)

Системе (9.1) соответствует прямоугольная матрица , где

_, (9.2)

и расширенная матрица

_. (9.3)

Заметим, что ранг матрицы не может превышать ранга матрицы .

В матрице присутствуют все возможные миноры матрицы , но возможны также миноры, содержащие элементы столбца правых частей из матрицы . Таким образом, ранг матрицы может быть больше , разве что на единицу.

Пример 9.1. Найти ранги простой и расширенной матрицы. Выяснить, является ли совместной система

Решение. Умножив первое уравнение на 2, имеем Поскольку это равенство противоречит второму уравнению системы, можно сделать вывод, что система не имеет решения.

Исследуем теперь ранги матриц и , где

_{; .}

Определитель матрицы равен нулю, значит, её ранг заведомо меньше двух, то есть , так как матрица содержит ненулевые элементы.

Если обратиться к матрице B, то определитель , составленный из элементов первого и третьего столбцов, в ноль не обращается. Следовательно, .

Для данной системы мы получили несовпадение рангов простой и расширенной матриц и одновременно несовместность исследуемой системы.

Отметим, что ранг матрицы не может превышать числа неизвестных переменных в системе.

Теорема 9.1 Кронекера -- Капелли (условие совместности).Для того чтобы система (9.1) была совместна, необходимо и достаточно, чтобы ранги матрицы (9.2) и расширенной матрицы (9.3) совпадали, то есть

.

Теорема 9.2 Кронекера -- Капелли (условие определенности).Совместная система является определенной (имеет единственное решение), если ранг матрицы A равен числу неизвестных:

.

Если ранг матрицы меньше числа неизвестных

,

то система является неопределенной (имеет бесконечное множество решений).

Рассмотрим теперь однородную систему

(9.4)

с матрицей коэффициентов .

Расширенная матрица этой системы имеет нулевой столбец – столбец правых частей, а значит для неё . По теореме 9.1 Кронекера – Капелли однородная система (9.4) всегда совместна. Действительно, она имеет очевидное нулевое решение. По теореме 9.2 Кронекера-Капелли нулевое решение будет единственным, если ранг матрицы системы (9.4) будет равен числу неизвестных . Если же , то система (9.4) будет неопределенной, то есть будет иметьбесконечное множество решений, среди которых только одно нулевое, а остальные – ненулевые решения. Для однородной системы важно установить, имеет ли она ненулевые решения.

Теорема 9.3.Однородная система (9.4) имеет ненулевые решения тогда и только тогда, когда ранг матрицы меньше числа неизвестных:

.

Следствие.Если число уравнений в однородной системе (9.4) меньше числа неизвестных, то однородная система имеет ненулевые решения.

Отметим, что на практике ранг матрицы и ранг расширенной матрицы произвольной системы (9.1) определяются автоматически в процессе решения системы методом Гаусса. В конце «прямого хода» следует сосчитать количество единиц или отличных от нуля чисел на всей главной диагонали (это ) и до черты (это ). Затем следует дать ответ на вопрос о совместности и определённости системы на основании теоремы Кронекера – Капелли.

В примере 5.2 в конце «прямого хода» получили матрицу

.

Тогда , , . Значит, система, заданная в примере 5.2, несовместная.

Пример 9.2. Найти ранги матрицы и расширенной матрицы системы

Выяснить, является ли эта система совместной. Если да, то найти её решения.

Решение. Запишем систему в матричном виде и совершим преобразования над строками, воспользовавшись методом Гаусса. Разделим первую строку на 2 и «размножим» нули под ведущей 1 в первом столбце. Для этого первую строку умножим на (–4) и прибавим ко второй строке. Первую строку умножим на (–7) и прибавим к третьей строке.

Разделим вторую строку на 15. Затем умножим вторую строку на (–9) и прибавим к третьей строке.

Тогда получим

.

Итак, нам необходимо сравнить ранги матрицы. Ясно, что . Для расширенной матрицы, содержащей нулевую строку, . На основании первого утверждения теоремы Кронекера – Капелли система является совместной. Согласно второму утверждению система является определённой, то есть, имеющей единственное решение, поскольку ранг матрицы совпадает с числом неизвестных в системе: , .

Найдем это решение, записав две первые строки преобразованной матрицы в виде системы уравнений

Отсюда . Решение системы окончательно запишем в виде

Ответ: ; ; система совместная, определённая.

Проверка.

ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ. КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ

2.1.Понятие об -мерном арифметическом пространстве и

-мерном векторе

Пусть задано произвольных чисел .

Определение 1.1.Упорядоченную совокупность чисел назовемn-мерным вектором и обозначим . Числа назовем координатами вектора.

Введем алгебру -мерных векторов. Пусть даны два вектора и . Тогда по аналогии с геометрическим вектором положим:

1) два вектора равны, если равны соответствующие координаты, то есть тогда и только тогда, когда выполняются скалярных равенств вида

2) ноль вектором называется вектор ;

3) суммой векторов назовем вектор

; (1.1)

4) произведением скаляра (числа) на вектор назовем вектор

. (1.2)

Определение 1.2.Множество -мерных векторов, для которых определены операции сложения и умножения на скаляр, называютсяn-мерным арифметическим пространством.

Пусть – -мерные векторы, а – скаляры. С помощью правил (1.1) и (1.2) составим новый -мерный вектор

. (1.3)

Вектор называется линейной комбинацией векторов

Пример 1.1.Найти линейную комбинацию двух заданных векторов при заданных скалярах .

Решение. Составим вектор по формуле (1.3), где :

Координаты вектора найдем по правилам (1.1) и (1.2), полагая и . Тогда полуим:

Таким образом,

Пример 1.2.Найти линейную комбинацию заданных векторов , если в качестве постоянных множителей выбирают три произвольных числа .

Решение. Составим вектор по формуле (1.3), где :

Координаты вектора найдём по правилам (1.1) и (1.2). Поскольку

;

;

;

,

то

.

Рассмотрим векторов вида

(1.4)

Тогда любой вектор -мерного пространства является их линейной комбинацией. Действительно, легко убедиться, что Система векторов (1.4) называется естественным базисом.

При арифметическое пространство имеет геометрическую интерпретацию. Вектор – направленный отрезок прямой.

По аналогии с операциями над геометрическими векторами введём следующие операции.

Пусть даны два вектора и . Тогда

Определение 1.3.Скалярным произведением векторов и называется число , которое определяется по формуле

. (1.5)

Определение 1.4.Нормой вектора называется число , которое определяется по формуле

. (1.6)

Норма является обобщённым понятием длины -мерного вектора.