Аналитическое моделирование трещиностойкости полимерной композиционной матрицы

Как было указано выше вдоль поверхности волокна на границе раздела со связующим имеются определенные дефекты в виде трещин, пор и каналов. Установлено, что образование пор в связующем приводит к увеличению внутренней поверхности материала и соединяет трещины и каналы, расположенные вдоль волокон, в единую систему. Анализ напряжённого состояния материала с такой системой дефектов требует применения аналитических подходов механики разрушения.

Модель Ирвина-Орована

Первыми микромеханический подход к анализу поведения кончика трещины в упруго-пластичных, т.е. линейно-упругих до предела текучести материалах с мгновенным развитием больших необратимых деформаций при достижении предела текучести, применил Ирвин и Орован. Так как при любом удаленном напряжении локальные напряжения вблизи вершины трещины стремятся к бесконечно большим значениям (сингулярны), то они предположили, что в некоторой зоне вблизи вершины трещины локальные напряжения должны превышать критерий пластичности, т.е. в простейшем случае одноосного растяжения или чистого сдвига они должны превысить предел текучести материала (σy или τy) и образовать зону пластической деформации. Если эта зона достаточно мала и существенно не нарушает распределение напряжений вокруг трещины, то форму и размеры пластической зоны можно рассчитать по формулам с использованием предельных локальных напряжений, равных пределу текучести материала. Например, при нагружении трещины по моде I и в предположении о плоском деформированном состоянии материала с пределом текучести σy размер такой зоны равен:

Поскольку малая зона пластичности в упруго-пластичных материалах с трещиной при нагружении окружена упругим полем, то размер этой зоны полностью контролируются коэффициентом интенсивности напряжений и характеристикой сопротивления материала развитию пластических деформаций - пределом текучести с учетом деформационного упрочнения или размягчения в процессе пластического течения. Форма рассчитанных таким образом зон пластических деформаций дляплоского деформированного и плоского напряженного состояний приведены на рис.2.7 а-б.

(а) (б) (в) (г)

Рисунок 2.7 Схематические изображения зон пластических деформаций для плоского напряженного (вблизи поверхности) и плоского деформированного (в центральной части пластины) состояний (а) с сопоставлением размеров этих зон (б)(Crack tip – кончик трещины; Mid-section – центральная часть; Surface - поверхность; Plane stress - плоское напряженное состояние; Plane strain - плоскоедеформированное состояние);наличие и отсутствие (г) ограничения (стеснения) развитию локальных пластических деформаций в толстой (в) и тонкой (в) пластинах с трещинами соответственно (thickness B – толщина В; thick plate, no contraction – толстая пластина, стеснение зоны; thin plate, free contraction – тонкая пластина, отсутствие стеснения зоны).

Наибольшая по размеру и близкая к сферической форма такой зоны образуется при плоском напряженном состоянии материала, и ее радиус в интервале углов – π/2<θ<π/2 может быть рассчитан по формуле:

, (2.1)

где σ_у - предел текучести материала.

Зона пластических деформаций для плоского деформированного состояния имеет максимальные размеры порядка ¾ , что объясняется стеснением деформаций материала в таком состоянии. При этом размер пластической зоны во многом зависит от степени стеснения пластических деформаций, которая резко возрастает при переходе от плоского напряженного к плоско­му деформированному состоянию, т.е. от толстых пластин к тонким или от поверхности пластины к ее центральной части (Рис.2.7 в-г).

Как указывалось, выше, возникновение небольшой локальной зоны пластических деформаций вблизи вершины трещины приводит к так называемому псевдо-хрупкому росту трещины при линейно-упругом поведении материала в целом. При этом в результате развития пластических деформаций в окрестности вершины трещины глобальные деформации материала оказываются больше, а глобальная жесткость — меньше, чем в случае идеально хрупкого материала, т.е. псевдо-хрупкий материал по сравнению с идеально хрупким ведет себя так, будто он со­держит трещину несколько большего размера, чем на самом деле (Рис.2.8).

Рисунок 2.8 Схема распределения напряжений вблизи кончика трещины при развитии локальной пластической зоны (а) (Сrack – трещина; Apparent elastic stress – локальное упругое напряжение при отсутствии пластической зоны; Real stress distribution - фактическое распределение напряжений при наличии пластической зоны; Plastic zone - пластическая зона).

Ис­ходя из этого вводится понятие эквивалентной краевой или центральной трещины, размер которой (а_эф) больше фактической (реальной) а на размер зоны пластических деформаций r_у: а_эф=а+r_у. Это позволяет рассчитывать для псевдо-хрупких материалов коэффици­ент интенсивности напряжений К по тем же фор­мулам 2.1), что и в случае идеально хрупких материалов введением такой поправки на локальную пластичность (поправки Ирвина).

К классическим микромеханическим моделям, аналитически описывающим поведение материала вблизи кончика трещины, относятся также модели Дагдейла и Баренблатта.

Модель Дагдейла

В этой модели, также как и в модели Ирвина-Орована расписывается поведение кончика трещины в материале, способном к мгновенным упруго-пластическим деформациям с пределом текучести σ_у. Трещина находится в бесконечной пластине и нагружается по моде I при однородном растяжении удаленным напряжением σ, т.е. при плоском напряжении (Рис.2.9), и пластические деформации материала локализованы в тонкой, компланарной с трещиной, зоне вблизи ее кончика (края).

Рисунок 2.9 Модель неупругого (упруго-пластического) поведения трещины (Plastic zone – пластическая зона; Crack – трещина: COD – Crack Opening Displacement – раскрытие трещины; CTOD – Crack Tip Opening Displacement – раскрытие трещины в ее кончике).

Пластическая зона при этом моделируется фиктивной трещиной некоторой длины Δа_y с равномерным распределением сил сцепления (когезионного связывания), равных пределу текучести материала σ_у. Длина пластической зоны рассчитывается из условия плавного (smooth) закрытия трещины, соответствующего равным и противоположным по знаку значениям коэффициентов интенсивности напряжений, вызываемых удаленным напряжением и силами когезионного связывания соответственно, т.е. равенству нулю их суммы, при длине трещины, равной сумме длин исходной и фиктивной трещин а+Δа_y. В соответствие с подходом Ирвина при σ<< σ_у и а>>Δа_y рассчитанная длина пластической зоны равна:

Другим важным деформационным параметром пластической зоны (фиктивной трещины) кроме длины является ее раскрытие δ в поперечном направлении - перпендикулярном плоскости трещины или по оси у (см. Рис.2.9), зависящее от предела текучести и модуля упругости упруго-пластичного материала, размера трещины и прикладываемого удаленного напряжения: . При σ<< σ_у и а>>Δа_y:

При критических условиях инициирования роста трещины длина пластической зоны и ее раскрытие δ достигают предельных значений Δа_yс и , сохраняясь постоянными в процессе стабильного равновесного роста трещины (мобильного равновесия). При σ<<σ_у и а>>Δа_y: . и , причем и . Предельное раскрытие пластической зоны иногда рассматривается как деформационный критерий разрушения и параметр устойчивости материала к росту трещин: трещина начинает расти, если δ = δ_с.

Модель Баренблатта[18]

Эта модель, развитая раньше модели Дагдейла и достаточно близкая к ней, позволяет математически в самом общем виде описать равновесное состояние трещин в упругом, идеально хрупком теле, сохраняющем свойство линейной упругости вплоть до разрушения, с учетом действия у краев трещин (когезионной зоне) атомно-молекулярных связей (когезионных сил), сильно притягивающих противоположные стороны (берега) трещин друг к другу (Рис.2.10).

(а) (б)

Рисунок 2.10 Схемы общего вида трещины в хрупком теле с когезионной зоной в модели Баренблатта (а) и плавного смыкания берегов трещины у ее края (б) .

В этой модели анализируется поведение трещины нормального разрыва (с раскрытием по моде I), представляющей собой поверхности разрыва сплошности тела (разрыва вектора смещения), хотя такой же подход может быть применен и к аналогичным касательным (сдвиговым) компонентам смещения по модам II и III. В кончике трещины нормального разрыва интенсивность сил сцепления с увеличением расстояния δ между противоположными берегами очень быстро достигает максимальной величины (критического значения σ_с), а затем быстро убывает до нуля при критическом раскрытии δ=δ_с (Рис.2.11).

Рисунок 2.11 Зависимость локального напряжения от раскрытия кончика трещины.

Максимальное значение сил когезионного сцепления соответствует прочности атомно-молекулярных связей (идеальной локальной прочности тела) и примерно равно

где Е и γ_s – модуль Юнга и поверхностная энергия материала соответственно, b – межатомное или межмолекулярное расстояние (величина порядка 10^-7 мм).

При этом поверхность трещины рассматривается состоящей из двух областей: внутренней, длиной а, свободной от когезионных сил, и концевой, длиной d, в которой действуют когезионные силы на расстоянии раскрытия концевой зоны δ в перпендикулярном росту трещины направлении, т.е. на расстоянии между противоположными поверхностями (берегами) трещины у ее краев. Математический анализ базируется на двух основных гипотезах:

1. Продольные размеры зоны, где действуют силы сцепления, т.е. длина в направлении роста трещины d значительно меньше размеров внутренней области трещины в этом направлении, хотя в принципе эта модель может быть применена и к очень узким начальным трещинам, в которых размеры когезионной зоны соизмеримы с общим размером трещины или равны им. При этом длина когезионной зоны d значительно больше атомно-молекулярных размеров, например, постоянной кристаллической решетки, так что на расстояниях порядка d можно пользоваться методами механики сплошных сред.

2. Форма нормального сечения поверхности трещины в концевой области (сечения плоскостью, нормальной к контуру трещины) и, следовательно, локальное распределение сил сцепления вблизи их максимального действия не зависят от прилагаемых внешних сил и для данного материала при данных условиях (температура, давление, состав) всегда одинакова.

Действующие между берегами трещины в ее кончике силы сцепления компенсируются локальными разрывными силами от прилагаемого удаленного напряжения, причем конечность растягивающего напряжения и плавность смыкания берегов (закрытия) трещины в ее кончике (на ее контуре) обеспечивают равновесное состояние трещины. С увеличением разрывных нагрузок и возрастания раскрытия трещины δ силы сцепления также возрастают и после достижения ими максимального значения трещина переходит в подвижное равновесное состояние - устойчивое или неустойчивое. В случае устойчивого состояния медленное превышение нагрузками максимальных сил сцепления приводит к медленному переходу трещины из одного равновесного состояния в другое наподобие раскрытия застежки-молнии (скачкообразный устойчивый рост трещины), а в случае неустойчивого состояния малейшее превышение равновесной нагрузки приводит к началу быстрого развития трещин, имеющее динамический характер (критический катастрофический рост трещины). Хотя второй вариант на практике встречается очень часто при разрушении хрупких тел с трещиной, первый вариант теоретически также возможен. В обоих случаях при расширении (росте) трещины ее концевая область как бы перемещается на некоторое расстояние, но форма ее нормального сечения остается неизменной, т.е. выражаясь современным языком, трещина распространяется самоподобно.

Так как зона действия сил когезионного сцепления мала и практически не влияет на распределение напряжений в окрестностях трещины, то в условиях подвижного равновесия в линейно-упругом теле с трещиной поле упругих напряжений представляется в виде суммы двух полей: вычисленного с учетом только внешних нагрузок и с учетом только сил сцепления, коэффициенты интенсивности напряжений которых равны, но противоположны по знаку. Расчет коэффициента интенсивности напряжений с учетом только внешних нагрузок проводится классическим методом для линейно-упругого тела с трещиной, а с учетом только сил сцепления – по выведенной формуле:

,

где N(t) – распределение сил сцепления, отличных от нуля, в концевой области трещины 0≤ t ≤d. Интеграл в правой части уравнения , названный модулем сцепления, и равный ему по величине интеграл, рассчитываемый только с учетом внешних нагрузок, являются характеристиками трещинодвижущей силы, а их критические значения, соответствующие началу распространения трещины - параметрами сопротивления росту трещин, т.е. трещиностойкости материала при данных условиях. Однако, как было показано позднее, более важным и эффективным методом определения параметра трещиностойкости в модели Баренблатта является интегрирование кривой когезионных сил, по величине раскрытия трещины в ее конце, что дает энергию разрушения материала, соответствующую удвоенной поверхностной энергии идеально хрупкого тела или, в более общем случае для линейно-упругих тел с возможными дополнительным процессами диссипации энергии при росте трещины – критическую величину интенсивности высвобождения упругой энергии при росте трещины: . Эквивалентность этих параметров, определяемых в модели Баренблатта и в энергетических походах Гриффита и Ирвина-Орована , доказывается определением J-интеграла в случае трещины длиной а, в кончике которой развивается плоская зона разрыва атомно-молекулярных связей длиной d и раскрытием δ с действующей в ней силой сцепления (когезионной силой) σ(δ). Рассматривается путьинтегрирования Г, для которого при dу=0 и dS=dx для и dS=-dx для , Т₁=0, Т₂=- σ(δ):

При предельном раскрытии когезионной зоны (δ=δС) начинается рост трещины, что соответствует параметру трещиностойкости:

,

при малой зоне неупругих деформаций равному в теории Ирвина GIC.

В результате проведенного анализа литературы выявлено следующее:

Наиболее соответствует цели данной работы микроподход и блочный метод построения МКЭ модели ПКМ с учётом развития дефекта в виде поры на границе раздела фаз.

Для описания поведения при нагружении ПКМ армированных непрерывными волокнами предложено множество различных моделей. Однако, для исследований в качестве базовой выбрана модель Розена так, как она наиболее полно описывает рассматриваемый в работе случай.

В исследовательской части необходимо решить следующие задачи:

Выбрать метод расчета и разработать методику построения конечно-элементной модели углепластика, содержащей дефект в виде поры на границе волокно-матрица, в программном комплексе ANSYS.

Исследовать модель и проанализировать полученные данные

Проверить модель на адекватность.