Метод конечных элементов в моделировании деформационно-прочностных свойств ПКМ

В методе конечных элементов сплошное тело, имеющее бесконечное число степеней свободы, разбивают на элемен­ты ограниченной протяженности и, используя характеристики отдельных элементов, описывают поведение системы в це­лом.

Метод конечных элементов получил значительное развитие с 1950-х годов, когда появились большие ЭВМ. В на­стоящее время этот метод находит широкое применение при решении различных технических задач, к которым можно отнести задачи сопротивления материалов, гидромеханики, теплотехники, электротехники и др. При рассмотрении ко­нечных элементов используются различные методы: метод перемещений, метод напряжений, комбинированный метод и т. д. При исследовании механизма поведения композитов методом конечных элементов обычно ограничиваются анали­зом двумерной задачи.

Для установления характеристик элементов используют энергетические принципы. Выбор соответствующего энерге­тического принципа зависит от используемого метода. Наиболее распространённому методу перемещений соответствует принцип виртуальных работ.

Основная идея метода конечных элементов состоит в том, что любую непрерывную функцию можно аппроксимировать моделью, состоящей из отдельных участков (элементов), на каждом из которых она приближается кусочно-непрерывной функцией, построенной на значениях исследуемой непрерывной величины в конечном числе точек рассматриваемого элемента. В общем случае непрерывная функция заранее неизвестна, и нужно определить её значения в некоторых внутренних точках рассматриваемой области. Первоначально предполагаются известными числовые значения функции в некоторых внутренних точках области (в узлах). После этого переходят к общему случаю. Таким образом, порядок построения дискретной модели состоит из следующих этапов:

Область определения непрерывной функции разбивается на конечное число подобластей (элементов). Эти элементы составляют область и имеют общие точки (узлы).

В рассматриваемой области фиксируется конечное число точек (узлов). В этих точках вводятся фиктивные силы, эквивалентные поверхностным напряжениям, распределенным по границам элементов. Элементы взаимодействуют между собой только в узловых точках.

Первоначальное значение непрерывной функции в узловых точках предполагается известным.

Для каждого из элементов области определяется аппроксимирующая функция (функция элемента). Чаще всего она выбирается в виде линейных, квадратичных или кубических полиномов. Для каждого элемента можно подбирать свой полином, однако должно выполняться условие непрерывности функции вдоль границ элемента.

На множестве узлов опять задаются значения функции, на этот раз являющиеся переменными. Узловые значения функции выбираются из условия минимизации функции, связанной с физической природой задачи. Например, в прочностных задачах, где определяются поля перемещений, деформаций и напряжений, минимизируется потенциальная энергия деформируемого тела. Процесс минимизации сводится к решению систем линейных алгебраических уравнений относительно значений функции в выбранных узлах.

Таким образом, структура ПКМ рассматривается как совокупность элементов, соединенных в конечном числе узловых точек. Если известны соотношения между силами и перемещениями для каждого из элементов, известно и состояние системы в целом.

Если описанная идеализация допустима, то задача сводится к обычной задаче строительной механики, решаемой численным методом. Таким образом, при использовании МКЭ решение краевой задачи для заданной области ищется в виде набора функций, определенных на некоторых подобластях (конечных элементах).

Решение задачи по МКЭ состоит из следующих этапов:

1. Постановка задачи.

2. Создание геометрии.

3. Разбиение модели на сетку конечных элементов.

4. Приложение к модели условий закрепления и нагружения. Задание начальных условий в случае динамического анализа.

5. Численное решение системы уравнений.

6. Анализ полученных результатов.

Этапы 1÷4 относятся к препроцессорной стадии, этап 5 – к процессорной стадии, этап 6 – к постпроцессорной стадии.

Построенная модель разбивается на конечные элементы простой формы, которые выбираются сообразно физической сущности задачи. Имеются несколько форм элементов, использующихся при моделировании. Выбор типа элемента также зависит от природы задачи, ожидаемых результатов, требований к производительности используемого ПК и т.д. По определяемым смещениям в узлах элементов строится поле перемещений и напряжений системы.

Разбиение модели на сетку конечных элементов производится либо автоматически (программными средствами), либо вручную пользователем. Густота сетки и её форма зависят от геометрии модели, способов закрепления и нагружения. Например, в местах приложения нагрузок и в местах перегиба модели сетка делается более густой, чтобы получить более точное распределение смещений и напряжений. Правильное приложение нагрузок, а также условий закрепления модели также может представлять трудности.

Этап численного решения обычно не представляет особых трудностей, так как выполняется автоматически. Исключение составляют системы с плохо обусловленной матрицей жесткости.

Учитывая, что в КЭ задачах неизвестными являются перемещения в узлах, а в трехмерных задачах узел тетрагонального элемента может иметь перемещения по трем направлениям, система уравнений равновесия может иметь высокую размерность. При составлении уравнений равновесия учитывается, что сумма проекций всех сил на каждую из координатных осей равна нулю, а сумма внутренних сил равна внешней силе с обратным знаком.

В трехмерных моделях число узлов обычно больше числа элементов, а число степеней свободы в 3 раза больше числа узлов (за исключением числа кинематических граничных условий).

При расчете композитов используется как микро-, так и макроподходы. При микроподходе композит разде­ляют на матрицу и армирующий наполнитель и, исходя из осо­бенностей соединения матрицы и армирующего материала, рассматривают механику поведения композита. В случае мак­роподхода наполнитель и матрицу рассматри­вают как одно целое.

Из этого следует, что для моделирования развития дефекта на границе волокно-матрица необходимо использовать микроподход.

В рассматриваемом случае задача состоит в том, как правильно охарактеризовать разнородные материалы, сово­купность которых образует композит. Это означает, что для каждого компонента необходимо иметь исходные данные, которые характеризуют константы материалов. Получение таких данных представляет собой довольно трудоемкую за­дачу, и это является существенным препятствием при про­ведении моделирования. При рассмотрении конечных эле­ментов используются различные методы. При применении метода конечных элементов для композитов с учетом указан­ного выше обстоятельства эффективным оказывается блоч­ный метод.

В блочном методе при разбиении выделяются целые об­ласти, которые затем разбиваются на элементы. Для каждой такой области полагают, что постоянные материала являются неизменными. Следовательно, если имеются разнородные материалы, то в таком случае разбиение на области жела­тельно проводить по материалам. Остановимся на этом более подробно.

Для армирования используют как непрерывные волокна, так и волокна, которые имеют ограниченную длину. В случае волокон ограниченной длины (коротких волокон) возникают проблемы, связанные с концентрацией напряжений на кон­цах волокна, что оказывает большое влияние на прочность связи на поверхности, разделяющей волокно и матрицу.

В рассматриваемом случае воспользуемся моделью, при­веденной на рис. 2.1.

На этом рисунке показана четвертая часть области модели с одиночным волокном. На рис. 2.2 дано разбиение на треугольные элементы, используемое для определения напряжений Рассматриваемый композит со­стоит из двух разнородных материалов: матрицы и армирующего волокна. Поэтому необходимо выделить по меньшей мере два блока. Одним из блоков является армирующее волокно. Для этого блока полагают, что все константы мате­риала являются неизменными. Это позволяет в существенной степени упростить исходные данные для расчета. Для МКЭ анализа необходимо воспользоваться уравне­нием состояния, которое имеет следующий вид:

{dδ} = [D]{dε}

[D]—матрица напряжений — деформаций. Для армирующих волокон обозначается [Df], а для полимерной матрицы — через [D_m]. Мат­рицы [Df] и [D_m] определяются механическими свойствами соответствующих материалов. В расчетах считают, что ком­позит под действием нагрузки равномерно деформируется в направлении упрочняющих волокон. Воспользуемся здесь допущением о том, что сцепление волокна с матрицей явля­ется идеальным.

1 — матрица (смола) 2 — армирующий элемент (волокно).

Рисунок 2.1. Модель ПКМ, армированного волокном.

Рисунок 2.2. Разбиение на треугольные элементы.

На рис. 2.3 и 2.4 представлены результаты моделирования. На рис. 2.3 показано распределение касательных напряжений на поверхности волокна. В анализе разрушения и текучести при растяжении упрочняющего волокна важными факторами яв­ляются условия разрушения и текучести. Если в рассматри­ваемом случае воспользоваться эквивалентным напряжением, то можно установить распределение напряжений, показан­ное на рис. 2.4. При построении распределения напряжений использовалась безразмерная величина σ/σ_т,в которой σ_т — среднее напряжение. Следует обратить внимание на заштри­хованные области. Эти области соответствуют элементам, в которых имеет место текучесть

Рисунок 2.3. Распределение касательных напряжений, действующих на поверхности волокна.

Рисунок 2.4. Распределение эквивалентных напряжений на конце волокна.

Блочный метод для микроподхода в моделировании ПКМ требует наличия адекватных физических моделей с явной границей раздела между волокном и матрицей.

Модель Розена для непрерывных волокон рис.2.5 [17] является базовой для моделирования деформационно-прочностных свойств ПКМ. Эта модель, как и все блочные модели является осесиметричной и состоит из цилиндрических блоков матрицы и армирующего волокна. Передача на­грузки осуществляется в основном по граничным поверхно­стям матрицы и волокна. Важными факторами при этом являются характеристики граничных поверхностей матрицы и волокна, отношение диаметра к его длине, отноше­ние модулей упругости волокна и матрицы. В своей модели Розен предположил, что волокна разрушаются друг за другом последовательно.

Упрочняющее волокно равномерно распределено по мат­рице и ориентировано в одном направлении. Считается, что все волокна в любом сечении находятся в равных условиях с точки зрения нагружения и вероятности разрушения.

В этой модели учтён разброс прочности волокна. Розен предпринял попытку создать статисти­ческую методику. На рисунке 2.5 для случая одиночного разрушения волокна показаны напряжения в волокне и распреде­ление напряжений на границе волокна и матрицы [17].

Рисунок 2.5. Повреждение при растяжении (модель Розена)

Для изучения влияния пор на деформационно-прочностные свойства ПКМ модель Розена может быть модифицирована путём введения геометрически определённых дефектов в виде пустот на границе раздела волокно-матрица (рис.2.6).

Рисунок 2.6. Модифицированная модель Розена.